Ters Pisagor teoremi

Geometride, ters Pisagor teoremi (çarpmaya göre ters Pisagor teoremi veya alt-üst Pisagor teoremi olarak da bilinir) aşağıdaki gibidir:

Ters Pisagor teoreminin Pisagor teoremi ile karşılaştırılması en küçük pozitif tam sayı kullanılarak ters Pisagor üçlüsü aşağıdaki tabloda verilmiştir.

A, B bir △ABC dik üçgenin hipotenüsünün uç noktaları olsun. Dik açının tepe noktası olan C'den hipotenüse inen bir dikmenin hipotenüsü kestiği nokta D olsun. O halde,

${\frac {1}{CD^{2}}}={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}.$

Bu teorem Öklid'in Elementler adlı eserinin 1. kitabında yer alan 48. önerme ile karıştırılmamalıdır, bir üçgenin bir kenarındaki karenin diğer iki kenarındaki karelerin toplamına eşit olması durumunda, diğer iki kenarın bir dik açı içerdiğini ifade eden Pisagor teoreminin ilişkisel karşıtıdır.

İspat

△ABC üçgenin alanı, CD > 0, AC > 0 ve BC > 0 olmak üzere AC ile BC ya da AB ile CD cinsinden ifade edilebilir:

${\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}AC\cdot BC&={\tfrac {1}{2}}AB\cdot CD\\[4pt](AC\cdot BC)^{2}&=(AB\cdot CD)^{2}\\[4pt]{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {AB^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\end{aligned}}$

Pisagor teoremini kullanarak, yukarıdaki gibi:

${\begin{aligned}{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {BC^{2}+AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\[4pt]&={\frac {BC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}+{\frac {AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\[4pt]\quad \therefore \;\;{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}\end{aligned}}$

Özellikle dikkat edin ki:

${\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}AC\cdot BC&={\tfrac {1}{2}}AB\cdot CD\\[4pt]CD&={\tfrac {AC\cdot BC}{AB}}\\[4pt]\end{aligned}}$

Temel Pisagor üçlüsü	AC	BC	CD		AB
(3,  4,  5)	20 =  4× 5	15 =  3× 5	12 =  3× 4		25 =  52
(5, 12, 13)	156 = 12×13	65 =  5×13	60 =  5×12		169 = 132
(8, 15, 17)	255 = 15×17	136 =  8×17	120 =  8×15		289 = 172
(7, 24, 25)	600 = 24×25	175 =  7×25	168 =  7×24		625 = 252
(20, 21, 29)	609 = 21×29	580 = 20×29	420 = 20×21		841 = 292
Karşılaştırma için hipotenüs ile birlikte en fazla üç basamaklı tüm pozitif tam sayı ilkel ters-Pisagor üçlüleri

Haç biçimli eğrinin özel durumu

Haç biçimli eğri veya çapraz eğri, denklem tarafından verilen bir kuartik düzlem eğrisidir.

$x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0$

burada eğrinin şeklini belirleyen iki parametre, a ve b'nin, her biri CD'ye eşittir.

x yerine AC ve y yerine BC yazıldığında;

${\begin{aligned}AC^{2}BC^{2}-CD^{2}AC^{2}-CD^{2}BC^{2}&=0\\[4pt]AC^{2}BC^{2}&=CD^{2}BC^{2}+CD^{2}AC^{2}\\[4pt]{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {BC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}+{\frac {AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\[4pt]\therefore \;\;{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}\end{aligned}}$

Ters Pisagor üçlüleri t ve u tam sayı parametreleri kullanılarak aşağıdaki gibi oluşturulabilir.

${\begin{aligned}AC&=(t^{2}+u^{2})(t^{2}-u^{2})\\BC&=2tu(t^{2}+u^{2})\\CD&=2tu(t^{2}-u^{2})\end{aligned}}$

Uygulama

Eğer A ve B noktalarına iki özdeş lamba yerleştirilirse, ters Pisagor teoremi ve ters-kare yasası, C noktasındaki ışık yoğunluğunun D noktasına tek bir lamba yerleştirildiğinde elde edilenle aynı olacağını ifade eder.

Ayrıca bakınız

• Geometrik ortalama teoremi
• Pisagor teoremi
• Pisagor üçlüsü