Özdeğer ayrışımı

Lineer cebirde, özdeğer ayrışımı ya da eigen ayrışımı, bir matrisin özdeğerleri ve özvektörleri cinsinden ifade edilen daha basit matrislere ayrıştırılmasıdır. Sadece kare matrisler özdeğerlerine ayrıştırılabilir.

Tanım

n adet doğrusal olarak bağımsız q_i (i = 1, ..., n) özvektörleri olan n × n boyutlu A kare matrisi şu şekilde ayrıştırılabilir:

$\mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}$

Burada Q, i numaralı sütunu A'nın q_i özvektörü olan n × n boyutlu kare matristir. Λ ise köşegen değerleri bu vektörlere denk gelen özdeğerler (Λ_ii = λ_i) olan bir köşegen matristir. Sadece köşegenlenebilir matrisler bu şekilde ayrıştırılabilir. Örneğin, $\left[{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right]$ ayrıştırılamaz.

Özvektörler q_i genellikle normaldir, ama bazen Q'nun sütunları olarak normalleştirilmemiş n adet v_i özvektörü de kullanılır. Çünkü ayrışımdaki Q⁻¹ ile çarpımın sonucu olarak vektör büyüklükleri kaybolur.

Ayrışım, özvektörlerin temel özelliğinden türetilebilir:

${\begin{aligned}\mathbf {A} \mathbf {v} &=\lambda \mathbf {v} \\\mathbf {A} \mathbf {Q} &=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \\\mathbf {A} &=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}.\end{aligned}}$

Örnek

2 × 2 boyutlu A matrisi

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&0\\1&3\\\end{bmatrix}}$

tekil olmayan B matrisi kullanılarak özdeğerlerine ayrıştırılabilir.

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}.$

Herhangi bir köşegen matrisi $C=\left[{\begin{smallmatrix}x&0\\0&y\end{smallmatrix}}\right]$ için, $\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {C}$ özdeşliği:

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}},$

İki taraf da B ile çarpılırsa:

${\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}}.$

Yukarıdaki denklem iki eşanlı denkleme ayrılır:

${\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ax\\cx\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}by\\dy\end{bmatrix}}\end{cases}}.$

Özdeğerler x ve y ayrıştırılır:

${\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=x{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=y{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}\end{cases}}$

Vektörleri isimlendirirsek:

${\overrightarrow {a}}={\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}},\quad {\overrightarrow {b}}={\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}},$

iki vektör denklemi elde ederiz:

${\begin{cases}A{\overrightarrow {a}}=x{\overrightarrow {a}}\\A{\overrightarrow {b}}=y{\overrightarrow {b}}\end{cases}}$

İki çözümlü bir vektör denklemi olarak da gösterilebilir:

$\mathbf {A} \mathbf {u} =\lambda \mathbf {u}$

burada λ iki özdeğeri (x, y), u ise iki vektörü (a→, b→) içerir.

λu'u sola kaydırıp u'yu ayırırsak:

$(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )\mathbf {u} =\mathbf {0}$

B tekil olmadığı için u sıfırdan büyüktür. Yani,

$\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0$

Böylece,

$(1-\lambda )(3-\lambda )=0$

A matrisinin özdeğerlerini verir (λ = 1, λ = 3). Sonuç olarak özdeğer ayrışımından elde edilen köşegen matrisi $\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&3\end{smallmatrix}}\right]$ olur.

Çözümleri yukarıdaki denkleme yerleştirirsek

${\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=3{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}\end{cases}}$

ve bu denklemi çözersek:

$a=-2c\quad {\text{and}}\quad b=0,\qquad c,d\in \mathbb {R} .$

B'yi buluruz

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}},\qquad c,d\in \mathbb {R} ,$

ve özdeğer ayrışımını tamamlarız:

${\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}},\qquad c,d\in \mathbb {R}$