Babenko-Beckner eşitsizliği

Matematikte Babenko-Benker eşitsizliği iki Lebesgue uzayı arasındaki Fourier dönüşümünün operatör normunu veren en iyi eşitsizliktir. Babenko-Benker eşitsizliği, Hausdorff-Young eşitsizliğinin iyileştirilmiş bir hâlidir ve bu eşitsizliği değişik hâllerde ispatlamış olan Konstantin Babenko and William Beckner'in adlarını taşımaktadır.

Eşitsizliğin, entropik belirsizlikte, zamansal ve spektral Shannon entropilerinin toplamının alttan sınırlı olduğunu ispatlamada önemli bir yeri vardır.

Eşitsizliğin ifadesi

$1<p\leq 2$ olmak üzere, $q$ ve $p$ birbirinin Hölder eşleniği olsun. ${\mathcal {F}}:L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{q}(\mathbb {R} ^{n})$ Fourier dönüşümü olsun. O zaman,

$\|{\mathcal {F}}f\|_{q}\leq \left(p^{1/p}/q^{1/q}\right)^{n/2}\|f\|_{p}$

olur. Babenko, teoremi 1961 yılına $q$ sayısının çift olduğu durumlarda ispatlamıştır. Beckner ise teoremi 1975 yılında $q\geq 2$ değerleri için, Hermite fonksiyonlarını Fourier dönüşümünün özfonksiyonları gibi kullanarak, ispatlamıştır.

Ayrıca bakınız

• Entropik belirsizlik