Öklid geometrisinde , Brahmagupta formülüdörtgen ) alanını bulmak için kullanılır.
Brahmagupta formülü, kenarlarının uzunluğu a b c d K
K
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
burada s
s
=
a
+
b
+
c
+
d
2
.
{\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}
Bu formül, bir üçgenin alanını hesaplamak için verilen için Heron formülünü genelleştirir. Bir üçgen, bir kenarı sıfır olan bir dörtgen olarak kabul edilebilir. Bu perspektiften, d çember içine çizilen bir üçgene yakınsar (tüm üçgenler çember içine çizilebilir) ve Brahmagupta formülü, Heron formülüne sadeleştirilir.
Yarı çevre kullanılmazsa, Brahmagupta formülü aşağıdaki şekilde yazılır:
K
=
1
4
(
−
a
+
b
+
c
+
d
)
(
a
−
b
+
c
+
d
)
(
a
+
b
−
c
+
d
)
(
a
+
b
+
c
−
d
)
.
{\displaystyle K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}.}
Başka bir eşdeğer versiyon da aşağıdaki gibidir:
K
=
(
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
)
2
+
8
a
b
c
d
−
2
(
a
4
+
b
4
+
c
4
+
d
4
)
4
⋅
{\displaystyle K={\frac {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}+8abcd-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})}}{4}}\cdot }
İspat için referans çizim
Burada sağdaki şekildeki gösterimler kullanılmıştır. Kirişler dörtgeninin K △ADB ve △BDC alanlarının toplamına eşittir:
=
1
2
p
q
sin
A
+
1
2
r
s
sin
C
.
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C.}
Ancak ABCD ∠DAB = 180° − ∠DCB . Dolayısıyla, sin A = sin C 'dir. Bu nedenle,
K
=
1
2
p
q
sin
A
+
1
2
r
s
sin
A
{\displaystyle K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A}
K
2
=
1
4
(
p
q
+
r
s
)
2
sin
2
A
{\displaystyle K^{2}={\frac {1}{4}}(pq+rs)^{2}\sin ^{2}A}
4
K
2
=
(
p
q
+
r
s
)
2
(
1
−
cos
2
A
)
{\displaystyle 4K^{2}=(pq+rs)^{2}(1-\cos ^{2}A)}
Ortak kenar DB △ADB ve △BDC üçgenlerinde Kosinüs yasası aşağıdaki özdeşliği verir:
p
2
+
q
2
−
2
p
q
cos
A
=
r
2
+
s
2
−
2
r
s
cos
C
.
{\displaystyle p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.}
cos C = −cos A (A C bütünler açı olduğu için) yerine konur ve eşitlik yeniden düzenlenirse aşağıdaki ifade elde edilir;
2
(
p
q
+
r
s
)
cos
A
=
p
2
+
q
2
−
r
2
−
s
2
.
{\displaystyle 2(pq+rs)\cos A=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.}
Bunu alan denkleminde yerine yazarsak,
4
K
2
=
(
p
q
+
r
s
)
2
−
1
4
(
p
2
+
q
2
−
r
2
−
s
2
)
2
{\displaystyle 4K^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}}
16
K
2
=
4
(
p
q
+
r
s
)
2
−
(
p
2
+
q
2
−
r
2
−
s
2
)
2
.
{\displaystyle 16K^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}.}
Sağ taraf a 2 − b 2 = (a − b )(a + b )
[
2
(
p
q
+
r
s
)
−
p
2
−
q
2
+
r
2
+
s
2
]
[
2
(
p
q
+
r
s
)
+
p
2
+
q
2
−
r
2
−
s
2
]
{\displaystyle [2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2}][2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}]}
köşeli parantez içindeki terimleri yeniden düzenledikten sonra,
=
[
(
r
+
s
)
2
−
(
p
−
q
)
2
]
[
(
p
+
q
)
2
−
(
r
−
s
)
2
]
{\displaystyle =[(r+s)^{2}-(p-q)^{2}][(p+q)^{2}-(r-s)^{2}]}
=
(
q
+
r
+
s
−
p
)
(
p
+
r
+
s
−
q
)
(
p
+
q
+
s
−
r
)
(
p
+
q
+
r
−
s
)
.
{\displaystyle =(q+r+s-p)(p+r+s-q)(p+q+s-r)(p+q+r-s).}
Yarı çevre S = p + q + r + s / 2
16
K
2
=
16
(
S
−
p
)
(
S
−
q
)
(
S
−
r
)
(
S
−
s
)
.
{\displaystyle 16K^{2}=16(S-p)(S-q)(S-r)(S-s).}
Her iki tarafın karekökünü alırsak,
K
=
(
S
−
p
)
(
S
−
q
)
(
S
−
r
)
(
S
−
s
)
.
{\displaystyle K={\sqrt {(S-p)(S-q)(S-r)(S-s)}}.}
elde edilir.
Brahmagupta Formülünün ispatı için kullanılacak şekil
Trigonometrik olmayan alternatif bir kanıt, Heron'un üçgen alan formülünün benzer üçgenler üzerindeki iki uygulamasını kullanır.[ 1]
Kirişler dörtgenine
A
C
{\displaystyle AC}
A
B
{\displaystyle AB}
C
D
{\displaystyle CD}
P
{\displaystyle P}
∠
A
D
C
{\displaystyle \angle ADC}
∠
A
B
C
{\displaystyle \angle ABC}
A
C
{\displaystyle AC}
bütünler açılardır .
∠
A
D
P
{\displaystyle \angle ADP}
∠
A
D
C
{\displaystyle \angle ADC}
∠
A
D
P
≅
∠
A
B
C
{\displaystyle \angle ADP\cong \angle ABC}
△
P
B
C
{\displaystyle \triangle PBC}
△
P
D
A
{\displaystyle \triangle PDA}
d
b
{\displaystyle {\frac {d}{b}}}
A
l
a
n
(
△
P
D
A
)
=
d
2
b
2
A
l
a
n
(
△
P
B
C
)
{\displaystyle {Alan}(\triangle PDA)={\frac {d^{2}}{b^{2}}}{Alan}(\triangle PBC)}
A
l
a
n
(
A
B
C
D
A
)
=
A
l
a
n
(
△
P
B
C
)
−
A
l
a
n
(
△
P
D
A
)
{\displaystyle {Alan}(ABCDA)={Alan}(\triangle PBC)-{Alan}(\triangle PDA)}
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
A ve
△
P
B
C
{\displaystyle \triangle PBC}
T diyelim.
A
=
T
−
d
2
b
2
T
=
(
1
−
d
2
b
2
)
T
=
(
b
2
−
d
2
)
b
2
T
{\displaystyle A=T-{\frac {d^{2}}{b^{2}}}T=(1-{\frac {d^{2}}{b^{2}}})T={\frac {(b^{2}-d^{2})}{b^{2}}}T}
P
A
=
e
{\displaystyle PA=e}
P
D
=
f
{\displaystyle PD=f}
Heron formülü uygulanırsa,
A
l
a
n
(
△
P
B
C
)
{\displaystyle {Alan}(\triangle PBC)}
T
=
s
(
s
−
(
e
+
a
)
)
(
s
−
(
f
+
c
)
)
(
s
−
b
)
{\displaystyle T={\sqrt {s(s-(e+a))(s-(f+c))(s-b)}}}
s
=
e
+
a
+
f
+
c
+
b
2
{\displaystyle s={\frac {e+a+f+c+b}{2}}}
Bu nedenle,
A
=
(
b
2
−
d
2
)
b
2
s
(
s
−
(
e
+
a
)
)
(
s
−
(
f
+
c
)
)
(
s
−
b
)
{\displaystyle A={\frac {(b^{2}-d^{2})}{b^{2}}}{\sqrt {s(s-(e+a))(s-(f+c))(s-b)}}}
(Not: Bu noktada ÜÇGEN'in yarı çevresi için s kullandık. Aşağıda, s , e ve f için a , b , c ve d cinsinden terimleri yerine koyacağız. Sonunda dörtgenin yarı çevresini temsil eden s kullanıma geri döneceğiz.)
İlk olarak, e ’yi a , b , c ve d cinsinden ifade etmek istiyoruz.
e
+
a
b
=
f
d
{\displaystyle {\frac {e+a}{b}}={\frac {f}{d}}}
e
=
f
b
d
−
a
{\displaystyle e={\frac {fb}{d}}-a}
e
d
+
a
d
=
f
b
{\displaystyle ed+ad=fb}
e
d
+
a
d
=
(
e
b
d
−
c
)
b
{\displaystyle ed+ad=({\frac {eb}{d}}-c)b}
e
d
+
a
d
=
e
b
2
d
−
c
b
{\displaystyle ed+ad={\frac {eb^{2}}{d}}-cb}
e
d
+
a
d
=
e
b
2
−
c
b
d
d
{\displaystyle ed+ad={\frac {eb^{2}-cbd}{d}}}
e
d
2
+
a
d
2
=
e
b
2
−
c
b
d
{\displaystyle ed^{2}+ad^{2}=eb^{2}-cbd}
e
d
2
−
e
b
2
=
−
(
a
d
2
+
c
b
d
)
{\displaystyle ed^{2}-eb^{2}=-(ad^{2}+cbd)}
e
(
d
2
−
b
2
)
=
−
d
(
a
d
+
c
b
)
{\displaystyle e(d^{2}-b^{2})=-d(ad+cb)}
e
=
−
d
(
a
d
+
c
b
)
d
2
−
b
2
{\displaystyle e={\frac {-d(ad+cb)}{d^{2}-b^{2}}}}
e
=
d
(
a
d
+
c
b
)
b
2
−
d
2
{\displaystyle e={\frac {d(ad+cb)}{b^{2}-d^{2}}}}
Sonra, f ’yi a , b , c ve d cinsinden ifade etmek istiyoruz.
f
+
c
b
=
e
d
{\displaystyle {\frac {f+c}{b}}={\frac {e}{d}}}
f
=
e
b
d
−
c
{\displaystyle f={\frac {eb}{d}}-c}
f
d
+
c
d
=
e
b
{\displaystyle fd+cd=eb}
f
d
+
c
d
=
(
f
b
d
−
a
)
b
{\displaystyle fd+cd=({\frac {fb}{d}}-a)b}
f
d
+
c
d
=
f
b
2
d
−
a
b
{\displaystyle fd+cd={\frac {fb^{2}}{d}}-ab}
f
d
+
c
d
=
f
b
2
−
a
b
d
d
{\displaystyle fd+cd={\frac {fb^{2}-abd}{d}}}
f
d
2
+
c
d
2
=
f
b
2
−
a
b
d
{\displaystyle fd^{2}+cd^{2}=fb^{2}-abd}
f
d
2
−
f
b
2
=
−
(
c
d
2
+
a
b
d
)
{\displaystyle fd^{2}-fb^{2}=-(cd^{2}+abd)}
f
(
d
2
−
b
2
)
=
−
d
(
c
d
+
a
b
)
{\displaystyle f(d^{2}-b^{2})=-d(cd+ab)}
f
=
−
d
(
c
d
+
a
b
)
d
2
−
b
2
{\displaystyle f={\frac {-d(cd+ab)}{d^{2}-b^{2}}}}
Şimdi, üçgen formüllerinde yukarıda elde ettiğimiz
e
=
d
b
c
+
a
d
2
b
2
−
d
2
{\displaystyle e={\frac {dbc+ad^{2}}{b^{2}-d^{2}}}}
f
=
c
d
2
+
a
b
d
b
2
−
d
2
{\displaystyle f={\frac {cd^{2}+abd}{b^{2}-d^{2}}}}
2
s
=
d
b
c
+
a
d
2
b
2
−
d
2
+
a
+
c
d
2
+
a
b
d
b
2
−
d
2
+
c
+
b
{\displaystyle 2s={\frac {dbc+ad^{2}}{b^{2}-d^{2}}}+a+{\frac {cd^{2}+abd}{b^{2}-d^{2}}}+c+b}
s
=
d
b
c
+
a
d
2
b
2
−
d
2
+
a
+
c
d
2
+
a
b
d
b
2
−
d
2
+
c
+
b
]
{\displaystyle s={\frac {dbc+ad^{2}}{b^{2}-d^{2}}}+a+{\frac {cd^{2}+abd}{b^{2}-d^{2}}}+c+b]}
s
=
1
2
[
d
b
c
+
a
d
2
+
a
(
b
2
−
d
2
)
+
c
d
2
+
a
b
d
+
c
(
b
2
−
d
2
)
+
b
(
b
2
−
d
2
)
b
2
−
d
2
]
{\displaystyle s={\frac {1}{2}}[{\frac {dbc+ad^{2}+a(b^{2}-d^{2})+cd^{2}+abd+c(b^{2}-d^{2})+b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}
s
=
1
2
[
d
c
b
+
a
d
2
+
a
b
3
−
a
d
2
+
c
d
2
+
a
b
d
+
c
b
2
−
c
d
2
+
b
3
−
b
d
2
b
2
−
d
2
]
{\displaystyle s={\frac {1}{2}}[{\frac {dcb+ad^{2}+ab^{3}-ad^{2}+cd^{2}+abd+cb^{2}-cd^{2}+b^{3}-bd^{2}}{b^{2}-d^{2}}}]}
s
=
1
2
[
b
d
(
c
+
a
)
+
b
2
(
c
+
a
)
+
b
(
b
2
−
d
2
)
b
2
−
d
2
]
{\displaystyle s={\frac {1}{2}}[{\frac {bd(c+a)+b^{2}(c+a)+b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}
s
=
1
2
[
(
b
d
+
b
2
)
(
c
+
a
)
+
b
(
b
2
−
d
2
)
b
2
−
d
2
]
{\displaystyle s={\frac {1}{2}}[{\frac {(bd+b^{2})(c+a)+b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}
s
=
1
2
[
b
(
d
+
b
)
(
c
+
a
)
(
b
+
d
)
(
b
−
d
)
+
b
(
b
2
−
d
2
)
b
2
−
d
2
]
{\displaystyle s={\frac {1}{2}}[{\frac {b(d+b)(c+a)}{(b+d)(b-d)}}+{\frac {b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}
s
=
1
2
[
b
(
c
+
a
)
+
b
(
b
−
d
)
b
−
d
]
{\displaystyle s={\frac {1}{2}}[{\frac {b(c+a)+b(b-d)}{b-d}}]}
s
=
b
(
c
+
a
+
b
−
d
)
2
(
b
−
d
)
{\displaystyle s={\frac {b(c+a+b-d)}{2(b-d)}}}
Şimdi,
(
s
−
(
e
+
a
)
)
{\displaystyle (s-(e+a))}
s
−
(
e
+
a
)
=
b
(
c
+
a
+
b
−
d
)
2
(
b
−
d
)
−
d
(
a
d
+
c
b
)
b
2
−
d
2
−
a
{\displaystyle s-(e+a)={\frac {b(c+a+b-d)}{2(b-d)}}-{\frac {d(ad+cb)}{b^{2}-d^{2}}}-a}
=
[
d
c
b
+
a
d
2
2
(
b
2
−
d
2
)
+
a
2
+
c
d
2
+
a
b
d
2
(
b
2
−
d
2
)
+
c
2
+
b
2
]
−
[
d
c
b
+
a
d
2
b
2
−
d
2
]
−
a
{\displaystyle =[{\frac {dcb+ad^{2}}{2(b^{2}-d^{2})}}+{\frac {a}{2}}+{\frac {cd^{2}+abd}{2(b^{2}-d^{2})}}+{\frac {c}{2}}+{\frac {b}{2}}]-[{\frac {dcb+ad^{2}}{b^{2}-d^{2}}}]-a}
=
d
c
b
+
a
d
2
2
(
b
2
−
d
2
)
+
a
2
+
c
d
2
+
a
b
d
2
(
b
2
−
d
2
)
+
c
2
+
b
2
−
d
c
b
+
a
d
2
b
2
−
d
2
−
a
{\displaystyle ={\frac {dcb+ad^{2}}{2(b^{2}-d^{2})}}+{\frac {a}{2}}+{\frac {cd^{2}+abd}{2(b^{2}-d^{2})}}+{\frac {c}{2}}+{\frac {b}{2}}-{\frac {dcb+ad^{2}}{b^{2}-d^{2}}}-a}
=
−
d
c
b
+
a
d
2
2
(
b
2
−
d
2
)
−
a
2
+
c
d
2
+
a
b
d
2
(
b
2
−
d
2
)
+
c
2
+
b
2
{\displaystyle =-{\frac {dcb+ad^{2}}{2(b^{2}-d^{2})}}-{\frac {a}{2}}+{\frac {cd^{2}+abd}{2(b^{2}-d^{2})}}+{\frac {c}{2}}+{\frac {b}{2}}}
=
−
1
2
[
d
c
b
+
a
d
2
b
2
−
d
2
+
a
−
(
c
d
2
+
a
b
d
)
b
2
−
d
2
−
c
−
b
]
{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}[{\frac {dcb+ad^{2}}{b^{2}-d^{2}}}+a-{\frac {(cd^{2}+abd)}{b^{2}-d^{2}}}-c-b]}
=
−
1
2
[
d
c
b
+
a
d
2
+
a
(
b
2
−
d
2
)
−
c
d
2
−
a
b
d
−
c
(
b
2
−
d
2
)
−
b
(
b
2
−
d
2
)
b
2
−
d
2
]
{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}[{\frac {dcb+ad^{2}+a(b^{2}-d^{2})-cd^{2}-abd-c(b^{2}-d^{2})-b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}
=
−
1
2
[
d
c
b
+
a
b
2
−
a
b
d
−
c
d
2
−
b
3
+
b
d
2
b
2
−
d
2
]
{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}[{\frac {dcb+ab^{2}-abd-cd^{2}-b^{3}+bd^{2}}{b^{2}-d^{2}}}]}
=
−
1
2
[
b
d
(
c
−
a
)
−
b
2
(
c
−
a
)
−
b
(
b
2
−
d
2
)
b
2
−
d
2
]
{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}[{\frac {bd(c-a)-b^{2}(c-a)-b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}
=
−
1
2
[
(
b
d
−
b
2
)
(
c
−
a
)
b
2
−
d
2
−
b
(
b
2
−
d
2
)
b
2
−
d
2
]
{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}[{\frac {(bd-b^{2})(c-a)}{b^{2}-d^{2}}}-{\frac {b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}
=
−
b
(
d
−
b
)
(
c
−
a
)
2
(
b
−
d
)
(
b
+
d
)
+
b
2
{\displaystyle =-{\frac {b(d-b)(c-a)}{2(b-d)(b+d)}}+{\frac {b}{2}}}
=
b
(
c
−
a
)
+
b
(
b
+
d
)
2
(
b
+
d
)
{\displaystyle ={\frac {b(c-a)+b(b+d)}{2(b+d)}}}
=
b
(
c
−
a
+
b
+
d
)
2
(
b
+
d
)
{\displaystyle ={\frac {b(c-a+b+d)}{2(b+d)}}}
Benzer şekilde, şimdi
(
s
−
(
f
+
c
)
)
{\displaystyle (s-(f+c))}
a , b , c ve d cinsinden hesaplayalım.
s
−
(
f
+
c
)
=
b
(
c
+
a
+
d
−
b
)
2
(
b
−
d
)
−
c
d
2
+
a
b
d
b
2
−
d
2
−
c
{\displaystyle s-(f+c)={\frac {b(c+a+d-b)}{2(b-d)}}-{\frac {cd^{2}+abd}{b^{2}-d^{2}}}-c}
=
[
d
c
b
+
a
d
2
2
(
b
2
−
d
2
)
+
a
2
+
c
d
2
+
a
b
d
2
(
b
2
−
d
2
)
+
c
2
+
b
2
]
−
[
c
d
2
+
a
b
d
b
2
−
d
2
]
−
c
{\displaystyle =[{\frac {dcb+ad^{2}}{2(b^{2}-d^{2})}}+{\frac {a}{2}}+{\frac {cd^{2}+abd}{2(b^{2}-d^{2})}}+{\frac {c}{2}}+{\frac {b}{2}}]-[{\frac {cd^{2}+abd}{b^{2}-d^{2}}}]-c}
=
d
c
b
+
a
d
2
2
(
b
2
−
d
2
)
+
a
2
+
c
d
2
+
a
b
d
2
(
b
2
−
d
2
)
+
c
2
+
b
2
−
c
d
2
+
a
b
d
b
2
−
d
2
−
c
{\displaystyle ={\frac {dcb+ad^{2}}{2(b^{2}-d^{2})}}+{\frac {a}{2}}+{\frac {cd^{2}+abd}{2(b^{2}-d^{2})}}+{\frac {c}{2}}+{\frac {b}{2}}-{\frac {cd^{2}+abd}{b^{2}-d^{2}}}-c}
=
d
c
b
+
a
d
2
2
(
b
2
−
d
2
)
+
a
2
−
c
d
2
+
a
b
d
2
(
b
2
−
d
2
)
−
c
2
+
b
2
{\displaystyle ={\frac {dcb+ad^{2}}{2(b^{2}-d^{2})}}+{\frac {a}{2}}-{\frac {cd^{2}+abd}{2(b^{2}-d^{2})}}-{\frac {c}{2}}+{\frac {b}{2}}}
=
−
1
2
[
−
d
c
b
+
a
d
2
b
2
−
d
2
−
a
+
c
d
2
+
a
b
d
b
2
−
d
2
+
c
−
b
]
{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}[{\frac {-dcb+ad^{2}}{b^{2}-d^{2}}}-a+{\frac {cd^{2}+abd}{b^{2}-d^{2}}}+c-b]}
=
−
1
2
[
−
d
c
b
−
a
d
2
−
a
(
b
2
−
d
2
)
+
c
d
2
+
a
b
d
+
c
(
b
2
−
d
2
)
−
b
(
b
2
−
d
2
)
b
2
−
d
2
]
{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}[{\frac {-dcb-ad^{2}-a(b^{2}-d^{2})+cd^{2}+abd+c(b^{2}-d^{2})-b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}
=
−
1
2
[
−
d
c
b
−
a
d
2
−
a
b
2
+
a
d
2
+
c
d
2
+
a
b
d
+
c
b
2
−
c
d
2
−
b
3
+
b
d
2
b
2
−
d
2
]
{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}[{\frac {-dcb-ad^{2}-ab^{2}+ad^{2}+cd^{2}+abd+cb^{2}-cd^{2}-b^{3}+bd^{2}}{b^{2}-d^{2}}}]}
=
−
1
2
[
−
d
c
b
−
a
b
2
+
a
b
d
+
c
b
2
−
b
3
+
b
d
2
b
2
−
d
2
]
{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}[{\frac {-dcb-ab^{2}+abd+cb^{2}-b^{3}+bd^{2}}{b^{2}-d^{2}}}]}
=
−
1
2
[
−
b
d
(
c
−
a
)
+
b
2
(
c
−
a
)
−
b
(
b
2
−
d
2
)
b
2
−
d
2
]
{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}[{\frac {-bd(c-a)+b^{2}(c-a)-b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}
=
−
1
2
[
−
(
b
d
−
b
2
)
(
c
−
a
)
b
2
−
d
2
−
b
(
b
2
−
d
2
)
b
2
−
d
2
]
{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}[{\frac {-(bd-b^{2})(c-a)}{b^{2}-d^{2}}}-{\frac {b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}
=
−
b
(
b
−
d
)
(
c
−
a
)
2
(
b
−
d
)
(
b
+
d
)
+
b
2
{\displaystyle ={\frac {-b(b-d)(c-a)}{2(b-d)(b+d)}}+{\frac {b}{2}}}
=
−
b
(
c
−
a
)
+
b
(
b
+
d
)
2
(
b
+
d
)
{\displaystyle ={\frac {-b(c-a)+b(b+d)}{2(b+d)}}}
=
b
(
−
c
+
a
+
b
+
d
)
2
(
b
+
d
)
{\displaystyle ={\frac {b(-c+a+b+d)}{2(b+d)}}}
Şimdi
(
s
−
b
)
{\displaystyle (s-b)}
(
s
−
b
)
=
d
c
b
+
a
d
2
2
(
b
2
−
d
2
)
+
a
2
+
c
d
2
+
a
b
d
2
(
b
2
−
d
2
)
+
c
2
+
b
2
−
b
{\displaystyle (s-b)={\frac {dcb+ad^{2}}{2(b^{2}-d^{2})}}+{\frac {a}{2}}+{\frac {cd^{2}+abd}{2(b^{2}-d^{2})}}+{\frac {c}{2}}+{\frac {b}{2}}-b}
=
d
c
b
+
a
d
2
2
(
b
2
−
d
2
)
+
a
2
+
c
d
2
+
a
b
d
2
(
b
2
−
d
2
)
+
c
2
−
b
2
{\displaystyle ={\frac {dcb+ad^{2}}{2(b^{2}-d^{2})}}+{\frac {a}{2}}+{\frac {cd^{2}+abd}{2(b^{2}-d^{2})}}+{\frac {c}{2}}-{\frac {b}{2}}}
=
1
2
[
d
c
b
+
a
d
2
b
2
−
d
2
+
a
+
c
d
2
+
a
b
d
b
2
−
d
2
+
c
−
b
]
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}[{\frac {dcb+ad^{2}}{b^{2}-d^{2}}}+a+{\frac {cd^{2}+abd}{b^{2}-d^{2}}}+c-b]}
=
1
2
[
d
c
b
+
a
d
2
+
a
(
b
2
−
d
2
)
+
c
d
2
+
a
b
d
+
c
(
b
2
−
d
2
)
−
b
(
b
2
−
d
2
)
b
2
−
d
2
]
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}[{\frac {dcb+ad^{2}+a(b^{2}-d^{2})+cd^{2}+abd+c(b^{2}-d^{2})-b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}
=
1
2
[
d
c
b
+
a
d
2
+
a
b
2
−
a
d
2
+
c
d
2
+
a
b
d
+
c
b
2
−
c
d
2
−
b
3
+
b
d
2
b
2
−
d
2
]
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}[{\frac {dcb+ad^{2}+ab^{2}-ad^{2}+cd^{2}+abd+cb^{2}-cd^{2}-b^{3}+bd^{2}}{b^{2}-d^{2}}}]}
=
1
2
[
b
d
(
c
+
a
)
+
b
2
(
c
+
a
)
−
b
(
b
2
−
d
2
)
b
2
−
d
2
]
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}[{\frac {bd(c+a)+b^{2}(c+a)-b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}
=
1
2
[
b
(
b
+
d
)
(
c
+
a
)
b
2
−
d
2
−
b
(
b
2
−
d
2
)
b
2
−
d
2
]
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}[{\frac {b(b+d)(c+a)}{b^{2}-d^{2}}}-{\frac {b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}
=
b
(
b
+
d
)
(
c
+
a
)
2
(
b
+
d
)
(
b
−
d
)
−
b
2
{\displaystyle ={\frac {b(b+d)(c+a)}{2(b+d)(b-d)}}-{\frac {b}{2}}}
=
b
(
c
+
a
)
−
b
(
b
−
d
)
2
(
b
−
d
)
{\displaystyle ={\frac {b(c+a)-b(b-d)}{2(b-d)}}}
=
b
(
c
+
a
−
b
+
d
)
2
(
b
−
d
)
{\displaystyle ={\frac {b(c+a-b+d)}{2(b-d)}}}
Şimdi dörtgenin alanını a , b , c , d cinsinden hesaplamaya hazırız.
A
=
b
2
−
d
2
b
2
(
b
(
c
−
a
+
b
+
d
)
2
(
b
+
d
)
)
(
b
(
c
+
a
−
b
+
d
)
2
(
b
−
d
)
)
(
b
(
−
c
+
a
+
b
+
d
)
2
(
b
+
d
)
)
(
b
(
c
+
a
+
b
−
d
)
2
(
b
−
d
)
)
{\displaystyle A={\frac {b^{2}-d^{2}}{b^{2}}}{\sqrt {({\frac {b(c-a+b+d)}{2(b+d)}})({\frac {b(c+a-b+d)}{2(b-d)}})({\frac {b(-c+a+b+d)}{2(b+d)}})({\frac {b(c+a+b-d)}{2(b-d)}})}}}
A
=
b
2
−
d
2
b
2
b
4
(
b
−
d
)
2
(
b
+
d
)
2
(
−
a
+
b
+
c
+
d
2
)
(
a
−
b
+
c
+
d
2
)
(
a
+
b
−
c
+
d
2
)
(
a
+
b
+
c
−
d
2
)
{\displaystyle A={\frac {b^{2}-d^{2}}{b^{2}}}{\sqrt {{\frac {b^{4}}{(b-d)^{2}(b+d)^{2}}}({\frac {-a+b+c+d}{2}})({\frac {a-b+c+d}{2}})({\frac {a+b-c+d}{2}})({\frac {a+b+c-d}{2}})}}}
A
=
b
2
−
d
2
b
2
.
b
2
b
2
−
d
2
(
−
a
+
b
+
c
+
d
2
)
(
a
−
b
+
c
+
d
2
)
(
a
+
b
−
c
+
d
2
)
(
a
+
b
+
c
−
d
2
)
{\displaystyle A={\frac {b^{2}-d^{2}}{b^{2}}}.{\frac {b^{2}}{b^{2}-d^{2}}}{\sqrt {({\frac {-a+b+c+d}{2}})({\frac {a-b+c+d}{2}})({\frac {a+b-c+d}{2}})({\frac {a+b+c-d}{2}})}}}
A
=
(
−
a
+
b
+
c
+
d
−
a
+
a
2
)
(
a
−
b
+
c
+
d
−
b
+
b
2
)
(
a
+
b
−
c
+
d
−
c
+
c
2
)
(
a
+
b
+
c
−
d
−
d
+
d
2
)
{\displaystyle A={\sqrt {({\frac {-a+b+c+d-a+a}{2}})({\frac {a-b+c+d-b+b}{2}})({\frac {a+b-c+d-c+c}{2}})({\frac {a+b+c-d-d+d}{2}})}}}
A
=
(
a
+
b
+
c
+
d
2
−
a
)
(
a
+
b
+
c
+
d
2
−
b
)
(
a
+
b
+
c
+
d
2
−
c
)
(
a
+
b
+
c
+
d
2
−
d
)
{\displaystyle A={\sqrt {({\frac {a+b+c+d}{2}}-a)({\frac {a+b+c+d}{2}}-b)({\frac {a+b+c+d}{2}}-c)({\frac {a+b+c+d}{2}}-d)}}}
Bu nedenle,
A
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
{\displaystyle A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
burada s , kirişler dörtgenin yarı çevresi yani
s
=
a
+
b
+
c
+
d
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}}
Kirişler dörtgeni olmayan dörtgenler söz konusu olduğunda, Brahmagupta formülü, dörtgenin iki zıt açısının ölçüleri dikkate alınarak genişletilebilir:
K
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
−
a
b
c
d
cos
2
θ
{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}}
burada θ 180° − θ 'dir. cos(180° − θ ) = −cos θ olduğundan, cos2 (180° − θ ) = cos2 θ ederiz. Bu daha genel formül Bretschneider formülü olarak bilinir.
Bir dörtgenin zıt açılarının toplamının 180°'ye eşit olması, kirişler dörtgeninin (ve nihayetinde çevre açıların) bir özelliğidir. Sonuç olarak, bir çevrel dörtgen durumunda, θ
a
b
c
d
cos
2
θ
=
a
b
c
d
cos
2
(
90
∘
)
=
a
b
c
d
⋅
0
=
0
,
{\displaystyle abcd\cos ^{2}\theta =abcd\cos ^{2}\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0,}
olup Brahmagupta formülünün temel biçimini verir. İkinci denklemden, bir kirişler dörtgenin alanının, verilen kenar uzunluklarına sahip herhangi bir dörtgen için mümkün olan maksimum alan olduğu sonucu çıkar.
Coolidge tarafından kanıtlanan ilgili bir formül de genel bir dışbükey dörtgen alanını verir.[ 2]
K
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
−
1
4
(
a
c
+
b
d
+
p
q
)
(
a
c
+
b
d
−
p
q
)
{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}}
burada p q Batlamyus teoremine göre bir kirişler dörtgeninde pq = ac + bd Coolidge formülü , Brahmagupta formülüne indirgenir.
Bir üçgenin alanını hesaplamak için Heron formülü , d = 0
Brahmagupta formülünün genel ve genişletilmiş biçimi arasındaki ilişki, Kosinüs yasasının Pisagor teoremini nasıl genişlettiğine benzer.
Maley ve diğerleri tarafından açıklandığı gibi, çemberler üzerindeki genel çokgenlerin alanı için giderek karmaşıklaşan kapalı biçimli formüller mevcuttur.[ 3]
^ Hess, Albrecht, "A highway from Heron to Brahmagupta", Forum Geometricorum 12 (2012), 191–192.
^ J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", American Mathematical Monthly , 46 (1939) ss. 345-347.
^ Maley (2005). "On the areas of cyclic and semicyclic polygons". Advances in Applied Mathematics . 34 (4): 669-689. doi :10.1016/j.aam.2004.09.008 .
Bu makale, Creative Commons Attribution/Share-Alike Lisansı altında lisanslanan PlanetMath üzerinde Brahmagupta formülünün kanıtından materyal içermektedir.
![{\displaystyle [2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2}][2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/441afc0184978bc11ff8ce7567b92fb4332c8867)
![{\displaystyle =[(r+s)^{2}-(p-q)^{2}][(p+q)^{2}-(r-s)^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0d2ad6015785dca73780bc0888b012e4fb883ca)
![{\displaystyle s={\frac {dbc+ad^{2}}{b^{2}-d^{2}}}+a+{\frac {cd^{2}+abd}{b^{2}-d^{2}}}+c+b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20afcfbc69bb5ce680f1260e20f97e3e761edcfe)
![{\displaystyle s={\frac {1}{2}}[{\frac {dbc+ad^{2}+a(b^{2}-d^{2})+cd^{2}+abd+c(b^{2}-d^{2})+b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a416e32190ca79ab6c91a5afafabe1747f9b04a9)
![{\displaystyle s={\frac {1}{2}}[{\frac {dcb+ad^{2}+ab^{3}-ad^{2}+cd^{2}+abd+cb^{2}-cd^{2}+b^{3}-bd^{2}}{b^{2}-d^{2}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc0fde81224b4450031113be7209e34e37fda02)
![{\displaystyle s={\frac {1}{2}}[{\frac {bd(c+a)+b^{2}(c+a)+b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f48a5c4460d3607fec11459e632a608135ab3c3b)
![{\displaystyle s={\frac {1}{2}}[{\frac {(bd+b^{2})(c+a)+b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/958f16df32cd5fa3690beb0831ce074fb06bb7de)
![{\displaystyle s={\frac {1}{2}}[{\frac {b(d+b)(c+a)}{(b+d)(b-d)}}+{\frac {b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d8a9f565ffda2d1f7a033a7cffaf1ca0c89ff3)
![{\displaystyle s={\frac {1}{2}}[{\frac {b(c+a)+b(b-d)}{b-d}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ffa69caf49aa77f6b716cbd50a620512f85104b)
![{\displaystyle =[{\frac {dcb+ad^{2}}{2(b^{2}-d^{2})}}+{\frac {a}{2}}+{\frac {cd^{2}+abd}{2(b^{2}-d^{2})}}+{\frac {c}{2}}+{\frac {b}{2}}]-[{\frac {dcb+ad^{2}}{b^{2}-d^{2}}}]-a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3cd6630db11358b93a2cf39234a1bb0dc096e6c)
![{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}[{\frac {dcb+ad^{2}}{b^{2}-d^{2}}}+a-{\frac {(cd^{2}+abd)}{b^{2}-d^{2}}}-c-b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b47fc48c84a4c4870d368fdbc062f109a62b361d)
![{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}[{\frac {dcb+ad^{2}+a(b^{2}-d^{2})-cd^{2}-abd-c(b^{2}-d^{2})-b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a389674609b61951bf5e3b1c1ec84c1d1cbfeafb)
![{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}[{\frac {dcb+ab^{2}-abd-cd^{2}-b^{3}+bd^{2}}{b^{2}-d^{2}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5353b56ffa42c23fcc55bf4639b4e5e39cb6e072)
![{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}[{\frac {bd(c-a)-b^{2}(c-a)-b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e65651a8125ebcb31a089503c02e7d4dbe295d00)
![{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}[{\frac {(bd-b^{2})(c-a)}{b^{2}-d^{2}}}-{\frac {b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e0dc6008689949b68b5acee420c42db1f43717a)
![{\displaystyle =[{\frac {dcb+ad^{2}}{2(b^{2}-d^{2})}}+{\frac {a}{2}}+{\frac {cd^{2}+abd}{2(b^{2}-d^{2})}}+{\frac {c}{2}}+{\frac {b}{2}}]-[{\frac {cd^{2}+abd}{b^{2}-d^{2}}}]-c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af3a1773d5440a5fbf9f3d204fda251ad516424)
![{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}[{\frac {-dcb+ad^{2}}{b^{2}-d^{2}}}-a+{\frac {cd^{2}+abd}{b^{2}-d^{2}}}+c-b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78f20a161405ef8710a6147087ada31a8cdc9b4a)
![{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}[{\frac {-dcb-ad^{2}-a(b^{2}-d^{2})+cd^{2}+abd+c(b^{2}-d^{2})-b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2db57e01715dea3012745b4b4a0fc1960ba0735)
![{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}[{\frac {-dcb-ad^{2}-ab^{2}+ad^{2}+cd^{2}+abd+cb^{2}-cd^{2}-b^{3}+bd^{2}}{b^{2}-d^{2}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92ed34d381229f893656479344055842d8c6d01d)
![{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}[{\frac {-dcb-ab^{2}+abd+cb^{2}-b^{3}+bd^{2}}{b^{2}-d^{2}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75bc0f0dae66df477cb4f3cfe530dbae48f4663d)
![{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}[{\frac {-bd(c-a)+b^{2}(c-a)-b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a8c012d14e9c0bf761b3d4b02a1494f737db54)
![{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}[{\frac {-(bd-b^{2})(c-a)}{b^{2}-d^{2}}}-{\frac {b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb0233dfc11766e6f3c910a589d301468da867c2)
![{\displaystyle ={\frac {1}{2}}[{\frac {dcb+ad^{2}}{b^{2}-d^{2}}}+a+{\frac {cd^{2}+abd}{b^{2}-d^{2}}}+c-b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9e81808812301797ebe0cdc879dfa3008d58ef4)
![{\displaystyle ={\frac {1}{2}}[{\frac {dcb+ad^{2}+a(b^{2}-d^{2})+cd^{2}+abd+c(b^{2}-d^{2})-b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/251912b1fdc12613d0de3a1c0f336096e6c0aa04)
![{\displaystyle ={\frac {1}{2}}[{\frac {dcb+ad^{2}+ab^{2}-ad^{2}+cd^{2}+abd+cb^{2}-cd^{2}-b^{3}+bd^{2}}{b^{2}-d^{2}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22aed6ac9bbaebd20b47584acf2193b6a42c8afd)
![{\displaystyle ={\frac {1}{2}}[{\frac {bd(c+a)+b^{2}(c+a)-b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d29e5432d45e3c264027705034af12053f611dfc)
![{\displaystyle ={\frac {1}{2}}[{\frac {b(b+d)(c+a)}{b^{2}-d^{2}}}-{\frac {b(b^{2}-d^{2})}{b^{2}-d^{2}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8459447dac6ca68e99c0e5ac55ef52c73c54243a)
