Brahmagupta teoremi

${\overline {BD}}\perp {\overline {AC}},{\overline {EF}}\perp {\overline {BC}}$$\Rightarrow |{\overline {AF}}|=|{\overline {FD}}|$

Geometride, Brahmagupta teoremi, eğer bir kirişler dörtgeni ortodiyagonal ise (yani, dik köşegenlere sahipse), o zaman köşegenlerin kesişme noktasından bir kenara çizilen dikmenin karşı kenarı daima ikiye böldüğünü belirtir. Adını Hint matematikçi Brahmagupta'dan (598-668) almıştır.

Teoremin açıklaması

Daha spesifik olarak, $A$, $B$, $C$ ve $D$, $AC$ ve $BD$ doğrularının dik olacağı şekilde bir daire üzerinde dört nokta olsun. $AC$ ve $BD$'nin kesişme noktasını $M$ ile gösterilsin. '$M$den $BC$ doğrusuna dik çizilsin ve $E$ kesişme noktasına gelsin. $F$, $EM$ doğrusu ile $AD$ kenarının kesişim noktası olsun. Daha sonra teorem, $F$'nin $AD$ doğru parçasının orta noktası olduğunu belirtir.

Teoremin ispatı

Teoremin kanıtı.

$AF=FD$ olduğunu kanıtlamamız gerekiyor. Biz $AF$ ve $FD$'nin aslında $FM$'ye eşit olduklarını ispat edeceğiz.

$AF=FM$ olduğunu kanıtlamak için, önce $\angle FAM$ ve $\angle CBM$ açılarının eşit olduğuna dikkat edin, çünkü bunlar dairenin aynı yayını gören çevre açılardır. Ayrıca, $\angle CBM$ ve $\angle CME$ açılarının her ikisi de $\angle BCM$ açısına tamamlayıcıdır (yani toplamları 90°'ye eşittir) ve bu nedenle her iki açı eşittirler. Son olarak, $\angle CME$ ve $\angle FMA$ açıları aynıdır. Dolayısıyla, $\triangle AFM$ bir ikizkenar üçgendir ve dolayısıyla $AF$ ve $FM$ kenarları eşittir.

$FD=FM$'nin benzer şekilde gittiğinin kanıtı: $\angle FDM$, $\angle BCM$, $\angle BME$ ve $\angle DMF$ açılarının tümü eşittir, bu nedenle $\triangle DFM$ bir ikizkenar üçgendir, dolayısıyla $FD=FM$'dir. Buradan teoremin iddia ettiği gibi $AF=FD$ olduğu görülebilir.

Ayrıca bakınız

• Kirişler dörtgeninin alanı için Brahmagupta formülü

Dış bağlantılar ve ilave okumalar

• Brahmagupta teoremi 17 Şubat 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @ Proofwiki
• Brahmagupta Teoremi 22 Eylül 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @ Cut-the-Knot
• Eric W. Weisstein, Brahmagupta's theorem (MathWorld)
• Murthy, M. N. (2019). Brahmagupta’s theorem. At Right Angles, (5), 27.
• Kaye, G. R. (1919). Indian mathematics. Isis, 2(2), ss. 326-356.
• Dvorožňák, Marek & Pech, Pavel. (2009), Brahmagupta’s Theorem Automatic Computer Proof
• Askey R. (2010) Completing Brahmagupta’s Extension of Ptolemy’s Theorem. In: Alladi K., Klauder J., Rao C. (eds) The Legacy of Alladi Ramakrishnan in the Mathematical Sciences. Springer, New York, NY. https://doi.org/10.1007/978-1-4419-6263-8_11
• Dashrath Kumar & Dr. Mrityunjay JhaA, (2019), Critical Study of Brahmagupta’s Theorems on Cyclic Quadrilateral 10 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., JETIR, March 2019, Volume 6, Issue 3, ISSN 2349-5162, ss. 383-384
• Richeson, A. (1930). An Extension of Brahmagupta's Theorem. American Journal of Mathematics, 52(2), ss. 425-438. doi:10.2307/2370695