Carnot teoremi (dikmeler) - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 Teoremin açıklaması
  • 2 Özel durumlar
  • 3 İspat
  • 4 Kaynakça
  • 5 Dış bağlantılar
  • 6 Konuyla ilgili yayınlar

Carnot teoremi (dikmeler)

  • Deutsch
  • Ελληνικά
  • English
  • Français
  • 日本語
  • Română
  • Русский
  • Українська
  • 中文
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi
Üçgenin kenarlarındaki dikmeler için Carnot teoremi:
mavi alan = kırmızı alan

Adını Fransız matematikçi Lazare Carnot'dan alan Carnot teoremi, üçgenin (uzatılmış) kenarlarına dik olan üç doğrunun ortak bir kesişme noktası için gerek ve yeter koşulu tanımlar. Teorem ayrıca Pisagor teoreminin bir genellemesi olarak düşünülebilir.

Teoremin açıklaması

[değiştir | kaynağı değiştir]

Kenarları a , b , c {\displaystyle a,b,c} {\displaystyle a,b,c} olan bir △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} {\displaystyle \triangle ABC} üçgeni için, üçgenin kenarlarına dik olan ve ortak bir F {\displaystyle F} {\displaystyle F} noktasında kesişen üç doğru düşünün. Eğer P a , P b , P c {\displaystyle P_{a},P_{b},P_{c}} {\displaystyle P_{a},P_{b},P_{c}} a , b , c {\displaystyle a,b,c} {\displaystyle a,b,c} kenarları üzerindeki bu üç dikmenin ayak noktaları ise, ardından aşağıdaki denklem geçerli olur:

| A P c | 2 + | B P a | 2 + | C P b | 2 = | B P c | 2 + | C P a | 2 + | A P b | 2 {\displaystyle |AP_{c}|^{2}+|BP_{a}|^{2}+|CP_{b}|^{2}=|BP_{c}|^{2}+|CP_{a}|^{2}+|AP_{b}|^{2}} {\displaystyle |AP_{c}|^{2}+|BP_{a}|^{2}+|CP_{b}|^{2}=|BP_{c}|^{2}+|CP_{a}|^{2}+|AP_{b}|^{2}}

Yukarıdaki ifadenin tersi de doğrudur, yani bir üçgenin üç kenarındaki üç dikmenin ayak noktaları için denklem geçerliyse, o zaman bu dikmeler ortak bir noktada kesişirler. Bu nedenle denklem, gerekli ve yeterli bir koşulu sağlar.

Özel durumlar

[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} {\displaystyle \triangle ABC} üçgeni C {\displaystyle C} {\displaystyle C} noktasında bir dik açıya sahipse ve kesişme noktası F {\displaystyle F} {\displaystyle F}, A {\displaystyle A} {\displaystyle A} veya B {\displaystyle B} {\displaystyle B} üzerinde bulunuyorsa, yukarıdaki denklem Pisagor teoremini verir. Örneğin eğer F {\displaystyle F} {\displaystyle F} noktası, A {\displaystyle A} {\displaystyle A} ile çakışırsa bu, | A P b | = 0 {\displaystyle |AP_{b}|=0} {\displaystyle |AP_{b}|=0}, | A P c | = 0 {\displaystyle |AP_{c}|=0} {\displaystyle |AP_{c}|=0}, | C P a | = 0 {\displaystyle |CP_{a}|=0} {\displaystyle |CP_{a}|=0}, | C P b | = b {\displaystyle |CP_{b}|=b} {\displaystyle |CP_{b}|=b}, | B P a | = a {\displaystyle |BP_{a}|=a} {\displaystyle |BP_{a}|=a} ve | B P c | = c {\displaystyle |BP_{c}|=c} {\displaystyle |BP_{c}|=c} olduğu sonucunu doğurur. Bu nedenle, yukarıdaki denklem a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} haline yani Pisagor teoremine dönüşür.

Diğer bir sonuç, bir üçgenin dik açıortaylarının ortak bir noktada kesişme özelliğidir. Dikey açı ortaylar söz konusu olduğunda | A P c | = | B P c | {\displaystyle |AP_{c}|=|BP_{c}|} {\displaystyle |AP_{c}|=|BP_{c}|}, | B P a | = | C P a | {\displaystyle |BP_{a}|=|CP_{a}|} {\displaystyle |BP_{a}|=|CP_{a}|} ve | C P b | = | A P b | {\displaystyle |CP_{b}|=|AP_{b}|} {\displaystyle |CP_{b}|=|AP_{b}|} olur ve bu nedenle yukarıdaki denklem geçerlidir. Bu, üç dikey açıortayın da aynı noktada kesiştiği anlamına gelir.

İspat

[değiştir | kaynağı değiştir]
Carnot teoreminin ispatı

Şekilden görülebileceği gibi dik açıortayların ayakları A a , B b , C c {\displaystyle A_{a},B_{b},C_{c}} {\displaystyle A_{a},B_{b},C_{c}} olarak gösterilsin.

Carnot Teoremi, aşağıdaki ifade doğrulandığında istenen tutarlılığı garanti eder.

( | A C c | 2 − | B C c | 2 ) + ( | B A a | 2 − | C A a | 2 ) + ( | C B b | 2 − | A B b | 2 ) = ?   0 ( ⋆ ) {\displaystyle \left(\;|AC_{c}|^{2}-|BC_{c}|^{2}\;\right)+\left(\;|BA_{a}|^{2}-|CA_{a}|^{2}\;\right)+\left(\;|CB_{b}|^{2}-|AB_{b}|^{2}\;\right){\stackrel {?}{=}}\ 0\qquad (\star )} {\displaystyle \left(\;|AC_{c}|^{2}-|BC_{c}|^{2}\;\right)+\left(\;|BA_{a}|^{2}-|CA_{a}|^{2}\;\right)+\left(\;|CB_{b}|^{2}-|AB_{b}|^{2}\;\right){\stackrel {?}{=}}\ 0\qquad (\star )}

Öncelikle ( ⋆ ) {\displaystyle (\star )} {\displaystyle (\star )} ifadesinin ilk kısmını ele alalım:

| A C c | 2 − | B C c | 2 = ( | A C c | + | B C c | ) ( | A C c | − | B C c | ) = | A B | ( | A C c | − | B C c | ) {\displaystyle |AC_{c}|^{2}-|BC_{c}|^{2}=\left(\;|AC_{c}|+|BC_{c}|\;\right)\left(\;|AC_{c}|-|BC_{c}|\;\right)=|AB|\;\left(\;|AC_{c}|-|BC_{c}|\;\right)} {\displaystyle |AC_{c}|^{2}-|BC_{c}|^{2}=\left(\;|AC_{c}|+|BC_{c}|\;\right)\left(\;|AC_{c}|-|BC_{c}|\;\right)=|AB|\;\left(\;|AC_{c}|-|BC_{c}|\;\right)}
| A C c | = 1 2 ( | A A c | + | A B c | ) = 1 2 ( | A A c | + | A B | − | B B c | ) {\displaystyle |AC_{c}|={\frac {1}{2}}(\;|AA_{c}|+|AB_{c}|\;)={\frac {1}{2}}(\;|AA_{c}|+|AB|-|BB_{c}|\;)} {\displaystyle |AC_{c}|={\frac {1}{2}}(\;|AA_{c}|+|AB_{c}|\;)={\frac {1}{2}}(\;|AA_{c}|+|AB|-|BB_{c}|\;)}
| B C c | = 1 2 ( | B B c | + | A B | − | A A c | ) {\displaystyle |BC_{c}|={\frac {1}{2}}(\;|BB_{c}|+|AB|-|AA_{c}|\;)} {\displaystyle |BC_{c}|={\frac {1}{2}}(\;|BB_{c}|+|AB|-|AA_{c}|\;)}

olduğundan, yukarıdaki ifade,

| A C c | 2 − | B C c | 2 = | A B | ( | A A c | − | B B c | ) {\displaystyle |AC_{c}|^{2}-|BC_{c}|^{2}=|AB|\;\left(\;|AA_{c}|-|BB_{c}|\;\right)} {\displaystyle |AC_{c}|^{2}-|BC_{c}|^{2}=|AB|\;\left(\;|AA_{c}|-|BB_{c}|\;\right)}

şeklinde yazılabilir. Aynı şekilde,

| B A a | 2 − | C A a | 2 = | B C | ( | B B a | − | C C a | ) {\displaystyle |BA_{a}|^{2}-|CA_{a}|^{2}=|BC|\;\left(\;|BB_{a}|-|CC_{a}|\;\right)} {\displaystyle |BA_{a}|^{2}-|CA_{a}|^{2}=|BC|\;\left(\;|BB_{a}|-|CC_{a}|\;\right)}
| C B b | 2 − | A B b | 2 = | C A | ( | C C b | − | A A b | ) {\displaystyle |CB_{b}|^{2}-|AB_{b}|^{2}=|CA|\;\left(\;|CC_{b}|-|AA_{b}|\;\right)} {\displaystyle |CB_{b}|^{2}-|AB_{b}|^{2}=|CA|\;\left(\;|CC_{b}|-|AA_{b}|\;\right)}

Bu nedenle, ( ⋆ ) {\displaystyle (\star )} {\displaystyle (\star )} aşağıdaki ifadeye dönüşür:

| A B | | A A c | + | B C | | B B a | + | C A | | C C b | = ? | B A | | B B c | + | C B | | C C a | + | A C | | A A b | ( ⋆ ⋆ ) {\displaystyle |AB||AA_{c}|+|BC||BB_{a}|+|CA||CC_{b}|{\stackrel {?}{=}}|BA||BB_{c}|+|CB||CC_{a}|+|AC||AA_{b}|\qquad (\star \star )} {\displaystyle |AB||AA_{c}|+|BC||BB_{a}|+|CA||CC_{b}|{\stackrel {?}{=}}|BA||BB_{c}|+|CB||CC_{a}|+|AC||AA_{b}|\qquad (\star \star )}

sağ tarafta " | A B | {\displaystyle |AB|} {\displaystyle |AB|}" yerine " | B A | {\displaystyle |BA|} {\displaystyle |BA|}" yazılması, vb. gibi değişiklerle ve aşağıdaki ifadeden faydalanırsak:

“ "Noktanın Kuvveti" teoremi, P {\displaystyle P} {\displaystyle P} noktasından geçen bir doğru Q {\displaystyle Q} {\displaystyle Q} ve R {\displaystyle R} {\displaystyle R} noktalarında K {\displaystyle K} {\displaystyle K} çemberi ile karşılaşırsa | P Q | | Q R | {\displaystyle |PQ||QR|} {\displaystyle |PQ||QR|} Q {\displaystyle Q} {\displaystyle Q} ve R {\displaystyle R} {\displaystyle R}'ye değil, yalnızca P {\displaystyle P} {\displaystyle P} ve K {\displaystyle K} {\displaystyle K}'ye bağlı bir değerdir. Bu değer, P {\displaystyle P} {\displaystyle P}'nin K {\displaystyle K} {\displaystyle K}'ye göre kuvveti olarak adlandırılır. „

( ⋆ ⋆ ) {\displaystyle (\star \star )} {\displaystyle (\star \star )} ifadesinde, | A B | | A A c | {\displaystyle |AB||AA_{c}|} {\displaystyle |AB||AA_{c}|} teriminin değeri K A {\displaystyle K_{A}} {\displaystyle K_{A}}'ya göre A {\displaystyle A} {\displaystyle A} noktasının kuvvetidir; ama | A C | | A A b | {\displaystyle |AC||AA_{b}|} {\displaystyle |AC||AA_{b}|} değeri de öyledir. Bu nedenle her iki terim iptal edilir. Benzer şekilde, | B C | | B B a | = | B A | | B B c | {\displaystyle |BC||BB_{a}|=|BA||BB_{c}|} {\displaystyle |BC||BB_{a}|=|BA||BB_{c}|} ( B {\displaystyle B} {\displaystyle B}'nin K B {\displaystyle K_{B}} {\displaystyle K_{B}}'ye göre kuvveti) ve | C A | | C C b | = | C B | | C C a | {\displaystyle |CA||CC_{b}|=|CB||CC_{a}|} {\displaystyle |CA||CC_{b}|=|CB||CC_{a}|} ( C {\displaystyle C} {\displaystyle C}'nin K C {\displaystyle K_{C}} {\displaystyle K_{C}}'ye göre kuvveti). Tüm terimler birbirini götürür, böylece Carnot Teoremine ulaşılır: şekildeki doğrular tek noktada kesişir.

Kaynakça

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Wohlgemuth, Martin, (Ed.) (2010). Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger : Weitere beliebte Beiträge von Matroids Matheplanet (Almanca). Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. ss. 273-276. ISBN 9783827426079. OCLC 699828882. 
  • Alfred S. Posamentier & Charles T. Salkind (1996). Challenging problems in geometry (İngilizce). New York: Dover. ss. 85-86. ISBN 9780486134864. OCLC 829151719. 

Dış bağlantılar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Carnot's theorem @ Interactive Geometry
  • Florian Modler: Vergessene Sätze am Dreieck - Der Satz von Carnot 6 Nisan 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @ Matheplanet.com (Almanca)
  • Carnot's Theorem 6 Ağustos 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @ cut-the-knot.org
  • Carnot's Theorem 16 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @ artofproblemsolving

Konuyla ilgili yayınlar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Prof. Ion Pătrașcu, The Dual of the Orthopole Theorem, Makale 10 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Oğuzhan Demirel & Emine Soytürk, (2008), The Hyperbolic Carnot Theorem in the Poincare Disc Model of Hyperbolic Geometry, Novi Sad J. Math., Vol. 38, No. 2, ss. 33-39, Makale 10 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Carnot_teoremi_(dikmeler)&oldid=35127693" sayfasından alınmıştır
Kategoriler:
  • Üçgen geometrisi
  • Öklid geometrisi teoremleri
Gizli kategori:
  • Webarşiv şablonu wayback bağlantıları
  • Sayfa en son 20.18, 19 Mart 2025 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
Carnot teoremi (dikmeler)
Konu ekle