De Gua teoremi - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 Açıklama
  • 2 Genellemeler
  • 3 Tarihçe
  • 4 Teoremin İspatı
    • 4.1 İspat 1
    • 4.2 İspat 2
  • 5 Notlar
  • 6 Kaynakça
  • 7 Konuyla ilgili yayınlar

De Gua teoremi

  • العربية
  • Català
  • Deutsch
  • Ελληνικά
  • English
  • Español
  • Français
  • עברית
  • Հայերեն
  • 日本語
  • 한국어
  • Nederlands
  • Norsk bokmål
  • Português
  • Русский
  • Kiswahili
  • Українська
  • 中文
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi
O {\displaystyle O} {\displaystyle O} köşesinde bir dik açıya sahip dört yüzlü

Adını Fransız matematikçi Jean Paul de Gua de Malves'den alan De Gua teoremi, Pisagor teoreminin üç boyutlu bir analojisidir.

Açıklama

[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir dört yüzlünün dik açılı bir köşesi varsa (bir küpün köşesi gibi), o zaman dik köşenin karşısındaki yüzün alanının karesi, diğer üç yüzün alanlarının karelerinin toplamına eşittir.

A A B C 2 = A A B O 2 + A A C O 2 + A B C O 2 {\displaystyle A_{ABC}^{2}=A_{\color {blue}ABO}^{2}+A_{\color {green}ACO}^{2}+A_{\color {red}BCO}^{2}} {\displaystyle A_{ABC}^{2}=A_{\color {blue}ABO}^{2}+A_{\color {green}ACO}^{2}+A_{\color {red}BCO}^{2}}

Genellemeler

[değiştir | kaynağı değiştir]

Pisagor teoremi ve de Gua teoremi dik köşe açılı n-simpleks (n = 2, 3) hakkındaki genel bir teoremin özel durumlardır. Bu da Donald R. Conant ve William A. Beyer'in[1] daha genel bir teoreminin özel bir durumudur ve aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

U, R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}'nin ( k ≤ n {\displaystyle k\leq n} {\displaystyle k\leq n} olmak üzere) k-boyutlu afin alt uzayının ölçülebilir bir alt kümesi olsun. Tam olarak k elemanlı herhangi bir I ⊆ { 1 , … , n } {\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}} {\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}} alt kümesi için, U I {\displaystyle U_{I}} {\displaystyle U_{I}} U'nun e i 1 , … , e i k {\displaystyle e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}} {\displaystyle e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}} doğrusal açıklığı üzerine ortogonal izdüşümü olsun, burada I = { i 1 , … , i k } {\displaystyle I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}} {\displaystyle I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}} ve e 1 , … , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}için standart taban (doğal taban)dır. Sonra,

vol k 2 ( U ) = ∑ I vol k 2 ( U I ) , {\displaystyle {\mbox{vol}}_{k}^{2}(U)=\sum _{I}{\mbox{vol}}_{k}^{2}(U_{I}),} {\displaystyle {\mbox{vol}}_{k}^{2}(U)=\sum _{I}{\mbox{vol}}_{k}^{2}(U_{I}),}

burada vol k ( U ) {\displaystyle {\mbox{vol}}_{k}(U)} {\displaystyle {\mbox{vol}}_{k}(U)} U'nun k-boyutlu hacmi ve toplam k elementli tüm I ⊆ { 1 , … , n } {\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}} {\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}} alt kümeler üzerindedir.

De Gua'nın teoremi ve dik köşe açılı n-simpliklere genellemesi (yukarıda), k = n-1 ve U’nun koordinat eksenlerinde köşeleri olan R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}'de bir (n−1)-simpleks olduğu özel duruma karşılık gelir. Örneğin, n = 3, k = 2 ve U R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}içinde A, B ve C köşeleri sırasıyla x 1 {\displaystyle x_{1}} {\displaystyle x_{1}}, x 2 {\displaystyle x_{2}} {\displaystyle x_{2}} ve x 3 {\displaystyle x_{3}} {\displaystyle x_{3}} eksenlerinde yer alan △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} {\displaystyle \triangle ABC} üçgenidir. { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} {\displaystyle \{1,2,3\}}'ün tam olarak 2 elemanlı alt kümeleri I {\displaystyle I} {\displaystyle I}, { 2 , 3 } {\displaystyle \{2,3\}} {\displaystyle \{2,3\}}, { 1 , 3 } {\displaystyle \{1,3\}} {\displaystyle \{1,3\}} ve { 1 , 2 } {\displaystyle \{1,2\}} {\displaystyle \{1,2\}}'dir. Tanım olarak, U { 2 , 3 } {\displaystyle U_{\{2,3\}}} {\displaystyle U_{\{2,3\}}} U = △ A B C {\displaystyle U=\triangle ABC} {\displaystyle U=\triangle ABC}'nin x 2 x 3 {\displaystyle x_{2}x_{3}} {\displaystyle x_{2}x_{3}}-düzleminde ortogonal izdüşümüdür, yani U { 2 , 3 } {\displaystyle U_{\{2,3\}}} {\displaystyle U_{\{2,3\}}} köşeleri O, B ve C olan △ O B C {\displaystyle \triangle OBC} {\displaystyle \triangle OBC} üçgenidir, burada O ' R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}'ün orjinidir. Benzer şekilde, U { 1 , 3 } = △ A O C {\displaystyle U_{\{1,3\}}=\triangle AOC} {\displaystyle U_{\{1,3\}}=\triangle AOC} ve U { 1 , 2 } = △ A B O {\displaystyle U_{\{1,2\}}=\triangle ABO} {\displaystyle U_{\{1,2\}}=\triangle ABO} olup, Conant-Beyer teoremi aşağıdaki gibi ifade edilir;

vol 2 2 ( △ A B C ) = vol 2 2 ( △ O B C ) + vol 2 2 ( △ A O C ) + vol 2 2 ( △ A B O ) , {\displaystyle {\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle ABC)={\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle OBC)+{\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle AOC)+{\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle ABO),} {\displaystyle {\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle ABC)={\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle OBC)+{\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle AOC)+{\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle ABO),}

bu ise de Gua teoremidir.

De Gua teoreminin dik köşe açılı n-simplekslere genelleştirilmesi de Cayley-Menger determinat formülünün özel bir durumu olarak elde edilebilir.

Tarihçe

[değiştir | kaynağı değiştir]

Jean Paul de Gua de Malves (1713-1785), bu teoremi 1783'te yayınladı, ancak aynı zamanda teoremin biraz daha genel bir versiyonu başka bir Fransız matematikçi Charles de Tinseau d'Amondans (1746-1818) tarafından da yayınlandı. Ancak teorem, Johann Faulhaber (1580-1635) ve René Descartes (1596-1650) tarafından çok daha önce biliniyordu.[2]

Teoremin İspatı

[değiştir | kaynağı değiştir]

İspat 1

[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir köşesi dik açılı olan bir dört yüzlü verilsin. Dik açılı köşeye dokunan üç yüzün alanları A 1 , A 2 , A 3 {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}} {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}} ve dik açılı köşenin karşısındaki "hipotenüs yüzü" alanı H {\displaystyle H} {\displaystyle H} şeklinde etiketlensin, De Gua teoremi aşağıdaki eşitliği ifade etmektedir:

H 2 = ( A 1 ) 2 + ( A 2 ) 2 + ( A 3 ) 2 {\displaystyle H^{2}=(A_{1})^{2}+(A_{2})^{2}+(A_{3})^{2}} {\displaystyle H^{2}=(A_{1})^{2}+(A_{2})^{2}+(A_{3})^{2}}.

Bu ispatta Heron formülünü kullanacağız. Heron formülü, bir üçgenin alanını kenar uzunlukları cinsinden verir. Kenarları a , b , c {\displaystyle a,b,c} {\displaystyle a,b,c} ve yarı çevresi s = 1 2 ( a + b + c ) {\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c)} {\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c)} olan bir üçgenin alanı aşağıdaki şekilde bulunur:

A = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}} {\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}.

De Gua teoremi bağlamında, dört yüzlünün altı bacağı, l 1 , l 2 , l 3 {\displaystyle l_{1},l_{2},l_{3}} {\displaystyle l_{1},l_{2},l_{3}} ve h 1 , h 2 , h 3 {\displaystyle h_{1},h_{2},h_{3}} {\displaystyle h_{1},h_{2},h_{3}} şeklinde etiketlensin. Burada l i {\displaystyle l_{i}} {\displaystyle l_{i}}, dik açılı köşeden çıkan bacaklar ve h i {\displaystyle h_{i}} {\displaystyle h_{i}} ise hipotenüs yüzünün üç kenarıdır.

Dik açılı köşeye temas eden üç yüzün alanları sırasıyla;

A 3 = 1 2 l 1 ⋅ l 2 , A 1 = 1 2 l 2 ⋅ l 3 , A 2 = 1 2 l 3 ⋅ l 1 . {\displaystyle A_{3}={\frac {1}{2}}l_{1}\cdot l_{2},\quad A_{1}={\frac {1}{2}}l_{2}\cdot l_{3},\quad A_{2}={\frac {1}{2}}l_{3}\cdot l_{1}.} {\displaystyle A_{3}={\frac {1}{2}}l_{1}\cdot l_{2},\quad A_{1}={\frac {1}{2}}l_{2}\cdot l_{3},\quad A_{2}={\frac {1}{2}}l_{3}\cdot l_{1}.}'dir.

Heron formülünü kullanarak hipotenüs yüzünün alanı aşağıdaki şekilde hesaplanır:

H = 1 4 ( h 1 + h 2 + h 3 ) ( h 1 + h 2 − h 3 ) ( h 2 + h 3 − h 1 ) ( h 3 + h 1 − h 2 ) {\displaystyle H={\frac {1}{4}}{\sqrt {(h_{1}+h_{2}+h_{3})(h_{1}+h_{2}-h_{3})(h_{2}+h_{3}-h_{1})(h_{3}+h_{1}-h_{2})}}} {\displaystyle H={\frac {1}{4}}{\sqrt {(h_{1}+h_{2}+h_{3})(h_{1}+h_{2}-h_{3})(h_{2}+h_{3}-h_{1})(h_{3}+h_{1}-h_{2})}}}.

Bunu bazı cebirsel işlemlerle aşağıdaki şekilde genişletebiliriz.

H 2 = 1 16 ( 2 h 1 2 h 3 2 + 2 h 2 2 h 3 2 + 2 h 1 2 h 2 2 − h 1 4 − h 2 4 − h 3 4 ) {\displaystyle H^{2}={\frac {1}{16}}\left(2h_{1}^{2}h_{3}^{2}+2h_{2}^{2}h_{3}^{2}+2h_{1}^{2}h_{2}^{2}-h_{1}^{4}-h_{2}^{4}-h_{3}^{4}\right)} {\displaystyle H^{2}={\frac {1}{16}}\left(2h_{1}^{2}h_{3}^{2}+2h_{2}^{2}h_{3}^{2}+2h_{1}^{2}h_{2}^{2}-h_{1}^{4}-h_{2}^{4}-h_{3}^{4}\right)}.

Şimdi, Pisagor teoremini kullanarak elde edebileceğimiz uzunluklar,

h 1 2 = l 2 2 + l 3 2 , h 2 2 = l 1 2 + l 3 2 , h 3 2 = l 1 2 + l 2 2 {\displaystyle h_{1}^{2}=l_{2}^{2}+l_{3}^{2},\quad h_{2}^{2}=l_{1}^{2}+l_{3}^{2},\quad h_{3}^{2}=l_{1}^{2}+l_{2}^{2}} {\displaystyle h_{1}^{2}=l_{2}^{2}+l_{3}^{2},\quad h_{2}^{2}=l_{1}^{2}+l_{3}^{2},\quad h_{3}^{2}=l_{1}^{2}+l_{2}^{2}} olarak hesaplanır.

Ve böylece terimleri yerine koyup sadeleştirerek aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

H 2 = 1 4 ( l 1 2 l 2 2 + l 3 2 l 2 2 + l 1 2 l 3 2 ) {\displaystyle H^{2}={\frac {1}{4}}\left(l_{1}^{2}l_{2}^{2}+l_{3}^{2}l_{2}^{2}+l_{1}^{2}l_{3}^{2}\right)} {\displaystyle H^{2}={\frac {1}{4}}\left(l_{1}^{2}l_{2}^{2}+l_{3}^{2}l_{2}^{2}+l_{1}^{2}l_{3}^{2}\right)}

ve teorem kanıtlanmış olur.

İspat 2

[değiştir | kaynağı değiştir]

OA, OB, OC kenarlarının ilgili uzunlukları a, b, c olsun.

Dört yüzlü tarafından kesilen şeklin iç hacmi, abc/6 = c/3 A A B O {\displaystyle A_{\color {blue}ABO}} {\displaystyle A_{\color {blue}ABO}} = b/3 A A C O {\displaystyle A_{\color {green}ACO}} {\displaystyle A_{\color {green}ACO}} = a/3 A B C O {\displaystyle A_{\color {red}BCO}} {\displaystyle A_{\color {red}BCO}} aynı zamanda h, ABC yüzü ile ilişkili yüksekliği göstermek üzere h/3 A A B C {\displaystyle A_{ABC}} {\displaystyle A_{ABC}}'ye eşittir.

n → = ( b c ) 2 O A → + ( a c ) 2 O B → + ( a b ) 2 O C → {\displaystyle \scriptstyle {\overrightarrow {n}}=(bc)^{2}{\overrightarrow {OA}}+(ac)^{2}{\overrightarrow {OB}}+(ab)^{2}{\overrightarrow {OC}}} {\displaystyle \scriptstyle {\overrightarrow {n}}=(bc)^{2}{\overrightarrow {OA}}+(ac)^{2}{\overrightarrow {OB}}+(ab)^{2}{\overrightarrow {OC}}} vektörü gibi ABC düzlemine normaldir, bu yükseklik h = < O A → | n → > | | n → | | {\displaystyle \scriptstyle h={<{\overrightarrow {OA}}|{\overrightarrow {n}}> \over ||{\overrightarrow {n}}||}} {\displaystyle \scriptstyle h={<{\overrightarrow {OA}}|{\overrightarrow {n}}> \over ||{\overrightarrow {n}}||}} ile gösterilir.

Dolayısıyla, hacimleri eşitleyerek: a b c 6 = 1 3 a b c ( b c ) 2 + ( a c ) 2 + ( a b ) 2 A A B C {\displaystyle {\frac {abc}{6}}={\frac {1}{3}}{\frac {abc}{\sqrt {(bc)^{2}+(ac)^{2}+(ab)^{2}}}}A_{ABC}} {\displaystyle {\frac {abc}{6}}={\frac {1}{3}}{\frac {abc}{\sqrt {(bc)^{2}+(ac)^{2}+(ab)^{2}}}}A_{ABC}}. Ve basitleştirerek 4 A A B C 2 = ( a b ) 2 + ( b c ) 2 + ( a c ) 2 {\displaystyle 4A_{ABC}^{2}=(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ac)^{2}} {\displaystyle 4A_{ABC}^{2}=(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ac)^{2}}'ye yani istenen formüle ulaşılır.

Notlar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  1. ^ Donald R Conant (Mar 1974). "Generalized Pythagorean Theorem". The American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 81 (3): 262-265. doi:10.2307/2319528. 
  2. ^ Howard Whitley Eves: Great Moments in Mathematics (before 1650).

Kaynakça

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Eric W. Weisstein, de Gua's theorem (MathWorld)
  • Sergio A. Alvarez: Note on an n-dimensional Pythagorean theorem 2 Ekim 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Carnegie Mellon University.
  • De Gua's Theorem, Pythagorean theorem in 3-D 3 Nisan 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - Graphical illustration and related properties of the tetrahedron.

Konuyla ilgili yayınlar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Kheyfits, Alexander (2004). "The Theorem of Cosines for Pyramids". The College Mathematics Journal. Mathematical Association of America. 35 (5): 385-388.  Proof of de Gua's theorem and of generalizations to arbitrary tetrahedra and to pyramids.
  • Lévy-Leblond, Jean-Marc (2020). "The Theorem of Cosines for Pyramids". The Mathematical Intelligencer. SpringerLink.  Application of de Gua's theorem for proving a special case of Heron's formula.
  • Rasul A. Khan, (2013), The cosine rule in three dimensions and de Gua's theorem, The Mathematical Gazette, Volume 97, Issue 539, ss. 281-284, https://doi.org/10.1017/S0025557200005945, makale
  • Charles Frohman, (2010), The Full Pythagorean Theorem, s. 3, Makale 26 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Magdalini Kokkaliari, (2013), The Pythagoras' Theorem: Is the Methuselah theorem still alive?, Makale
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=De_Gua_teoremi&oldid=32755631" sayfasından alınmıştır
Kategoriler:
  • Öklid geometrisi
  • Geometri teoremleri
  • Öklid geometrisi teoremleri
Gizli kategori:
  • Webarşiv şablonu wayback bağlantıları
  • Sayfa en son 21.14, 11 Mayıs 2024 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
De Gua teoremi
Konu ekle