Durgunluk noktası

Kritik nokta (matematik) ile karıştırılmamalıdır.

x = f(x) özelliğinin sağlandığı sabit nokta ile karıştırılmamalıdır.

Durgun noktalar, grafikdeki kırmızı noktalardır. Bu grafikteki, tüm noktalar ya göreceli maximumlarıdr ya da göreceli minimumlardır.

Matematikte, genellikle kalkülüste, durgunluk noktası, durağan nokta, durgun nokta ya da değişim noktası, türevlenebilir bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu noktadır. Bu yüzden tek gerçel değişkenli bir fonksiyonun durgun noktalardaki teğetlerinin eğimi sıfır olur ve fonksiyon azalmayı ve artmayı bu noktalarda bırakır. Birden çok değişkenli fonksiyonlar için durgunluk noktası, fonksiyonun tüm kısmi türevlerinin sıfır olduğu noktadır, bir diğer deyişle, "gradyan"nın sıfır olduğu noktadır.

Durgun noktalar, tek değişkenli fonksiyonların grafiklerinde kolayca gözlenebilirler. Bu noktalar grafik üzerinde teğetin $x$ eksenine paralel olduğu noktalardır. İki değişkenli fonksiyonlar için, durgunluk noktası, hem $x$ hem de $y$ eksenlerine paralel olan noktalardır.

Durgunluk noktaları, kritik noktalar and dönüş noktaları

Durgunluk noktası terimi, kritik nokta terimiyle karıştırılabilir; ancak, kritik noktalar durgunluk noktalarına göre daha genel bir kavramdır. Bir fonksiyonun durgunluk noktası aynı zamanda kritik noktadır. Ancak, kritik noktalar türevin tanımlı olmadığı noktaları da içerir.

Diğer taraftan, dönüş noktaları, fonksiyonun türevinin işaret değiştirdiği noktalardır. Dönüş noktaları hem göreceli maksimum hem de göreceli minimum olabilirler (ayrıca, yerel maksimum ve yerel minimum diye de bilinirler). Eğer fonksiyon türevlenebilirse, o zaman dönüş noktaları durgunluk noktalarıdır, aynı zamanda; buna rağmen her durgunluk noktası, bir dönüş noktası değildir. Eğer fonksiyon iki kez türevliyse, o zaman dönüş noktası olmayan durgunluk noktaları yatay bükülme noktalarıdır. Örnek olarak, $x\mapsto x^{3}$ fonksiyonunun $x=0$ da bir durgunluk noktası vardır, ayrıca bir büküm noktasıdır ama dönüş noktası değildir.

Sınıflandırma

Gerçel değerli ve en azından bir kez Türevlenebilir bir $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ fonksiyonunun yalıtık durgunluk noktaları birinci türev testi ile dört ayrı çeşide sınıflandırılabilir.

Eyer noktaları (dönüş ve büküm noktaları). Bu grafikte biri azalıyor diğeri artıyor.

• yerel minimum (minimum dönüş noktası veya göreceli minimum) fonksiyonun türevinin negatiften pozitife değiştiği noktalardır.
• yerel maximum (maksimum dönüş noktası veya göreceli maximum) fonksiyonun türevinin pozitiften negatife değiştiği noktalardır.
• yükselen büküm noktası (veya büküm) fonksiyonun türevinin her iki tarafta da pozitif olduğu noktalardır;
• azalan büküm noktası fonksiyonun türevinin her iki tarafta da negatif olduğu noktalardır;

Eğer bir nokta ya yerel minimum ya da yerel maksimumsa, bu noktaya yerel ekstremum denir. Benzer şekilde, eğer bir nokta ya mutlak maksimum ya da mutlak minimumsa, bu noktaya mutlak ekstremum denir. Fermat teoremi kullanarak, mutlak ekstremum, ($C^{1}$ fonksiyonu için) sınırda ya da durgunluk noktasında ortaya çıkmalıdır.

Eğri çizimi

Durgunluk noktalarının yerini ve ne tür olduğunu belirlemek türevlenebilir fonksiyonların eğrilerini çizmede yardımcı olur. f'(x) = 0 denklemini çözerek $x$ koordinatlarındaki tüm durgunluk noktalarını bulabiliriz. Durgunluk noktasının doğası, x noktasındaki, bazı durumlarda ikinci dereceden türevine .f''(x) incelenerek belirlenebilir:

• Eğer f''(x) < 0 ise $x$'teki durgunluk noktası aşağı doğru içbükey ve maksimal ekstremumdur.
• Eğer f''(x) > 0 ise $x$'^teki durgunluk noktası yukarı doğru içbükey ve minimal ekstremumdur.
• Eğer f''(x) = 0 ise durgunluk noktasının ne olduğunu başka yollarla bulunması gereklidir. Örnek olarak, bazı noktalardaki işaret değişimine bakarak.

Durgunluk noktasını belirlemek için daha açık bir diğer yöntem de, fonksiyonun durgunluk noktaları arasındaki değerlerine bakarak yapılabilir, eğer fonksiyon tanımlı ve devamlı ise durgunluk noktaları arasında.

Dönüş noktasının basit bir örneği için f(x) = x³ fonksiyonunu değerlendirebiliriz. Fonksiyonun sıfır noktasında açıkça bir içbükeylik var ve bunu yüksek matematiği kullanarak ispatlayabiliriz. Fonksiyonun ikinci türevi, her yerin devamlı olduğu, 6x ve x = 0 noktasında, f′′ = 0 ve bu noktada işaret değişiyor. Bu yüzden, x=0 noktası dönüş noktasıdır.

Daha genel olarak, gerçel değerli fonksiyonun durgunluk noktası f: Rⁿ → R, ilk türevinin sıfır olduğu x₀ noktalarının aynı zamanda gradyanları da sıfırdır.

Örnekler

f(x) = x⁴ fonksiyonu için, f'(0) = 0 ve f''(0) = 0 yazabiliriz. f''(0) = 0 olduğu halde, f'(x) noktasının negatiften pozitife değişiminden dolayı bu nokta dönüş noktası değildir,.

f(x) = sin(x) fonksiyonu için, f'(0) ≠ 0 ve f''(0) = 0 yazabiliriz. Bu durgunluk noktası değildir, ama dönüş noktasıdır. İçbükeylik, aşağı doğru içbükeylikten yukarı doğru içbükeyliğe değiştiğinden ve f'(x)'nin işareti değişmediğinden (yâni pozitif kaldığından) dolayı durgunluk değil dönüş noktasıdır.

f(x) = x³ fonksiyonu için f'(0) = 0 ve f''(0) = 0 yazabiliriz. Bu nokta hem durgunluk hem de dönüş noktasıdır. İçbükeylik, aşağı doğru içbükeylikten yukarı doğru içbükeyliğe değiştiğinden ve f'(x)'nın işareti değişmediğinden (yâni pozitif kaldığından) dolayı durgunluk değil dönüş noktasıdır.

Ayrıca bakınız

Optimizasyon