Kalkülüs

Başlangıçta sonsuz küçük hesap veya "sonsuz küçüklerin hesabı" olarak adlandırılan kalkülüs, geometrinin şekillerle çalışması ve cebrin aritmetik işlemlerin genellemelerinin incelenmesi gibi, kalkülüs sürekli değişimin matematiksel çalışmasıdır.

Kalkülüsün diferansiyel kalkülüs ve integral olmak üzere iki ana dalı vardır. Diferansiyel kalkülüs anlık değişim oranları ve eğrilerin eğimleriyle ilgiliyken, integral miktarların ve eğrilerin altındaki veya arasındaki alanların toplamıyla ilgilidir. Bu iki dal birbiriyle kalkülüsün temel teoremi ile ilişkilidir ve sonsuz dizilerin yakınsaması ve iyi tanımlanmış limite kadar sonsuz serilerin temel kavramlarını kullanır.

Matematik eğitiminde "hesap", temel olarak fonksiyonlar ve limitlerin incelenmesine ayrılmış temel matematiksel analiz derslerini ifade eder.

Kalkülüs, aslında "küçük çakıl taşı" anlamına gelen Latince bir kelimedir. Bu tür çakıl taşları, antik Roma'da kullanılan ulaşım araçlarının kat ettiği mesafeyi saymak (veya ölçmek) için kullanılırdı, kelimenin anlamı gelişti ve bugün genellikle bir hesaplama yöntemi anlamındadır. Bu nedenle, önermeler hesabı, Ricci kalkülüsü, değişimlerin kalkülüsü, lambda kalkülüsü ve proses kalkülüsü gibi belirli hesaplama yöntemlerini ve ilgili teorileri adlandırmada kullanılır.

Özellikle mühendislik alanında, tüm modellemelerin temelini ve fiziksel olaylarını matematiksel yani somut bir ortama çevirmek için kullanılır. İçerisinde fonksiyon, limit, türev, integral ve diziler gibi konuları içerir. Kalkülüsün temeli cebir, trigonometri ve analitik geometri konularının üzerine inşa edilmiştir.

Geçmiş

Kalkülüsün geçmişi genelde Antik Çağ, Orta Çağ ve modern çağ olmak üzere farklı evrelere ayrılır. Newton ve Leibniz modern anlamda türev denklemini birbirlerinden bağımsızca yazmışlardır ve kalkülüs tarihinin en önemli isimlerindendirler.

Prensipler

Limitler ve sonsuz küçükler

Kalkülüs genellikle çok küçük miktarlarla çalışılarak geliştirilir. Tarihsel olarak, bunu yapmanın ilk yöntemi sonsuz küçükler idi. Bunlar, gerçek sayılar gibi ele alınabilen, ancak bir anlamda "sonsuz derecede küçük" olan nesnelerdir. Örneğin, sonsuz küçük bir sayı 0'dan büyük olabilir, ancak 1, 1/2, 1/3, ... dizisindeki herhangi bir sayıdan ve dolayısıyla herhangi bir pozitif gerçek sayıdan daha küçük olabilir. Bu bakış açısıyla kalkülüs, sonsuz küçükleri işlemek için bir teknikler topluluğudur. $dx$ ve $dy$ sembolleri sonsuz küçük olarak alındı ve $dy/dx$ türevi basitçe onların oranıydı.

Sonsuz küçüklük yaklaşımı 19. yüzyılda gözden düştü çünkü sonsuz küçük kavramını kesinleştirmek zordu. Bununla birlikte, kavram 20. yüzyılda sonsuz küçüklerin işlenmesi için sağlam temeller sağlayan standart olmayan analiz ve smooth sonsuz küçük analizin tanıtılmasıyla yeniden canlandırıldı.

19. yüzyılın sonlarında, akademide sonsuz küçüklerin yerini epsilon, delta limitler yaklaşımı aldı. Limitler, belirli bir girdideki bir fonksiyonun değerini, yakındaki girdilerdeki değerleri cinsinden tanımlar. Gerçek sayı sistemi bağlamında küçük ölçekli davranışları yakalarlar. Bu işlemde kalkülüs, belirli limitleri hesaplamak için bir teknikler topluluğudur. Sonsuz küçükler çok küçük sayılarla değiştirilir ve fonksiyonun sonsuz küçük davranışı, giderek daha küçük sayılar için sınırlayıcı davranış alınarak bulunur. Limitlerin, kalkülüs için daha sağlam bir temel sağladığı düşünülüyordu ve bu nedenle yirminci yüzyılda standart yaklaşım hâline geldiler.

Diferansiyel hesap

(x₀, f(x₀))'daki teğet doğrusu. Bir noktadaki eğrinin f′(x) türevi, o noktada o eğriye teğet olan doğrunun eğimidir (uzunluk üzerindeki artış).

Diferansiyel hesap, bir fonksiyonun türev tanımının, özelliklerinin ve uygulamalarının incelenmesidir. Türevi bulma işlemine "farklılaşma" (İngilizce: differentiation) denir. Bir fonksiyon ve tanım kümesinde bir nokta verildiğinde, o noktadaki türev, fonksiyonun o noktaya yakın küçük-ölçekli davranışını kodlamanın bir yoludur. Bir fonksiyonun tanım kümesindeki her noktada türevini bularak, "türev fonksiyonu" veya sadece asıl fonksiyonun "türevi" denilen yeni bir fonksiyon üretmek mümkündür. Biçimsel olarak türev, girdi olarak bir fonksiyonu alan ve çıktı olarak ikinci bir fonksiyon üreten bir doğrusal operatördür. Bu, fonksiyonların genellikle bir sayı girdiği ve başka bir sayı çıkardığı temel cebirde çalışılan süreçlerin çoğundan daha soyuttur. Örneğin, eğer ikiye katlama işlevine üç girdi verilirse, o zaman altı çıktı verir ve kare alma işlevine girdi üç verilirse, o zaman dokuz çıktı verir. Ancak türev, kare alma fonksiyonunu girdi olarak alabilir. Bunun anlamı, türevin kare alma fonksiyonunun tüm bilgilerini almasıdır - örneğin ikinin dörde, üçün dokuza, dördün on altıya gönderilmesi vb. gibi - ve bu bilgiyi başka bir fonksiyon üretmek için kullanır. Kare alma fonksiyonunun türetilmesiyle üretilen fonksiyon, ikiye katlama fonksiyonu olur.

Daha açık bir ifadeyle, "çiftleme fonksiyonu" g(x) = 2x ve "kare alma fonksiyonu" f(x) = x² gösterilebilir. "Türev" artık "x²" ifadesiyle tanımlanan f(x) fonksiyonunu girdi olarak alır, yani tüm bilgi budur ve bu bilgiyi başka bir g(x) = 2x fonksiyonu çıktı olarak vermek için kullanır.

Bir türev için en yaygın sembol, asal olarak adlandırılan kesme işareti benzeri bir işarettir. Böylece, f adlı bir fonksiyonun türevi f′ ile gösterilir ve "f üssü" olarak okunur.

Örneğin, eğer f(x) = x² kare alma işleviyse, f′(x) = 2x türevidir (yukarıdan ikiye katlama fonksiyonu g). Bu gösterim Lagrange gösterimi olarak bilinir. Fonksiyonun girişi zamanı temsil ediyorsa, türev zamana göre değişimi temsil eder. Örneğin, eğer f girdi olarak zamanı alan ve çıktı olarak bir topun o andaki konumunu veren bir fonksiyon ise, o zaman f nin türevi konumun zamanla nasıl değiştiği, yani topun hız değeridir.

Bir fonksiyon doğrusal ise (yani, fonksiyonun grafiği düz bir doğruysa), o zaman fonksiyon y = mx + b şeklinde yazılabilir. Burada x bağımsız değişken, y bağımlı değişken, b y-kesişim noktasıdır ve:

$m={\frac {\text{artış}}{\text{süre}}}={\frac {{\text{değişim }}y}{{\text{değişim }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.$

Bu, düz çizginin eğimi için kesin bir değer verir. Ancak fonksiyonun grafiği düz çizgi değilse, o zaman y'deki değişimin x'teki değişime bölümü değişir. Türevler, girdideki değişime göre çıktıdaki değişim kavramına tam bir anlam verir. Somut olmak gerekirse, f bir fonksiyon olsun ve f alanında bir a noktasını sabitleyelim. (a, f(a)) fonksiyonun grafiğindeki bir noktadır. h sıfıra yakın bir sayıysa, a + ha'ya yakın bir sayıdır. Bu nedenle (a + h, f(a + h)) (a, f(a)) yakındır.

Bu iki nokta arasındaki eğim

$m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$

Bu ifadeye fark bölümü (İngilizce: difference quotient) denir. Bir eğri üzerinde iki noktadan geçen bir çizgiye kesen doğru denir, bu nedenle m, (a, f(a)) ile, (a + h, f(a + h))' arasındaki kesen doğrunun eğimidir. Kesen çizgi, fonksiyonun a noktasındaki davranışının yalnızca bir tahminidir çünkü a ile a + h arasında ne olduğunu hesaba katmaz. h değerini sıfıra ayarlayarak a'daki davranışı keşfetmek mümkün değildir çünkü bu tanımsız olan sıfıra bölme gerektirir. Türev, limit h sıfıra eğilimli olduğu için tanımlanır, yani h tüm küçük değerleri için f davranışını dikkate alır ve h sıfıra eşit olduğunda durum için tutarlı bir değer çıkarır:

$\lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}.$

Geometrik olarak türev, f grafiğine teğet doğrusunun a'daki eğimidir. Teğet çizgi, türevin fark bölümlerinin bir limiti olduğu gibi, kesen çizgilerin bir limitidir. Bu nedenle türev bazen f fonksiyonunun eğimi olarak adlandırılır.

İşte özel bir örnek, giriş 3'teki kare alma fonksiyonunun türevi. f(x) = x² kare alma fonksiyonu olsun.

Bir eğrinin bir noktadaki f′(x) türevi, o noktada o eğriye teğet olan doğrunun eğimidir. Bu eğim, kesen doğruların eğimlerinin sınır değeri dikkate alınarak belirlenir. Burada ilgili fonksiyon (kırmızıyla çizilmiş) f(x) = x³ − x. (−3/2, −15/8) Noktasından geçen teğet doğru (yeşil) 23/4'lük bir eğime sahiptir. Bu görüntüdeki dikey ve yatay ölçeklerin farklı olduğunu unutmayın.

${\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-3^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{6h+h^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\\&=6\end{aligned}}$

(3, 9) noktasındaki kare alma fonksiyonuna teğet olan doğrunun eğimi 6'dır, yani sağa gittiğinden altı kat daha hızlı yükselir. Az önce açıklanan limit işlemi, kare alma fonksiyonunun etki alanındaki herhangi bir nokta için gerçekleştirilebilir. Bu, kare alma işlevinin "türev işlevini" veya kısaca kare alma işlevinin "türevini" tanımlar. Yukarıdakine benzer bir hesaplama, kare alma fonksiyonunun türevinin ikiye katlama fonksiyonu olduğunu gösterir.

Uygulamalar

Nautilus kabuğunun logaritmik spirali, kalkülüsle ilgili büyümeyi ve değişimi tasvir etmek için kullanılan klasik bir görüntüdür.

Matematiksel olarak modellenmiş ve optimal çözüm aranan bir problemi çözmek için aktüerya bilimi, bilgisayar bilimi, istatistik, mühendislik, ekonomi, işletme, tıp, demografi ve fizik bilimlerinin her dalında kalkülüs kullanılır. Birinin (sabit olmayan) değişim oranlarından toplam değişime geçmesine ya da tam tersine gitmesine izin verir ve birçok kez bir problemi incelerken birini bildiğimiz ve diğer bilmediğimizi bulmaya çalışırız.

Fizik özellikle kalkülüs kullanır; klasik mekanik ve elektromanyetizma içindeki tüm kavramlar kalkülüs yoluyla ilişkilidir. Yoğunluğu bilinen bir cismin kütlesi, cisimlerin atalet momenti ve korunumlu alandaki bir cismin toplam enerjisi kalkülüs kullanılarak hesaplanabilir.

Mekanikte kalkülüsün kullanımına örnek Newton'un İkinci Hareket Yasası'dır: Tarihsel olarak açıkça belirtildiği gibi, bir cismin momentumunun değişim türevini ifade eden "hareket değişikliği" terimini açıkça kullanır ve cisme etki eden ve aynı yöndeki bileşke kuvvete eşittir. Günümüzde yaygın olarak Kuvvet = Kütle × ivme olarak ifade edilir, diferansiyel hesabı ifade eder çünkü ivme, hızın zamana göre türevi veya yörüngenin veya uzamsal konumun ikinci zaman türevidir. Bir nesnenin nasıl hızlandığını bilmekten yola çıkarak, yolunu türetmek için kalkülüsü kullanırız.

Maxwell'in elektromanyetizma teorisi ve Einstein'ın Genel Görelilik Teorisi de diferansiyel hesabın dilinde ifade edilir. Kimya ayrıca reaksiyon hızlarını ve radyoaktif bozunmayı belirlemede kalkülüsü kullanır. Biyolojide nüfus dinamikleri, nüfus değişikliklerini modellemek için üreme ve ölüm oranlarıyla başlar.

Kalkülüs, diğer matematik disiplinleriyle birlikte kullanılabilir. Örneğin, bir etki alanındaki bir dizi nokta için "en uygun" doğrusal yaklaşımı bulmak için doğrusal cebir ile birlikte kullanılabilir. Veya varsayılan bir yoğunluk fonksiyonundan sürekli bir rastgele değişkenin olasılığını belirlemek için Olasılık Teorisi de kullanılabilir. Analitik geometride fonksiyonların grafiklerinin incelenmesinde, yüksek noktaları ve alçak noktaları (maksimum ve minimum), eğimi, içbükeylik ve büküm noktalarını bulmak için kalkülüs kullanılır.

Basit C kapalı eğrisi etrafındaki bir çizgi integrali ile, C tarafından sınırlanan D düzlem bölgesi üzerindeki bir çift katlı integral arasındaki ilişkiyi veren Green Teoremi, bir çizimdeki düz bir yüzey alanını hesaplamak için kullanılan planimetre denilen alete uygulanır. Örneğin, bir mülkün yerleşim planı tasarlanırken, düzensiz şekilli bir çiçek tarhının veya yüzme havuzunun kapladığı alan miktarını hesaplamak için kullanılabilir.

Basit bir kapalı dikdörtgen "C" eğrisi etrafındaki bir fonksiyonun çift katlı integrali ile eğrinin kenarı boyunca köşe noktalarındaki terstürev değerlerinin doğrusal bir bileşimi arasındaki ilişkiyi veren Ayrık Green Teoremi, dikdörtgen alanlardaki değerlerin toplamlarının hızlı hesaplanmasına imkân verir. Örneğin, özellikleri hızlı bir şekilde çıkarmak ve nesneyi tespit etmek için görüntülerdeki dikdörtgen alanların toplamlarını verimli bir şekilde hesaplamak için kullanılabilir; kullanılabilecek başka bir algoritma da toplanan alan tablosudur.

Tıp alanında, akışı en üst düzeye çıkarmak için bir kan damarının optimal dallanma açısını bulmak için kalkülüs kullanılabilir. Belirli bir ilacın vücuttan atılması için bozunma yasalarından dozlama yasalarını türetmek için kullanılır. Nükleer tıpta, hedefe yönelik tümör tedavilerinde radyasyon taşıma modelleri oluşturmak için kullanılır.

Ekonomide kalkülüs, hem marjinal maliyet hem de marjinal geliri kolayca hesaplamanın bir yolunu sağlayarak maksimum kârın belirlenmesine izin verir.

Kalkülüs, denklemlere yaklaşık çözümler bulmak için de kullanılır; pratikte diferansiyel denklemleri çözmenin ve çoğu uygulamada kök bulma yapmanın standart yoludur. Örnekler, Newton yöntemi, sabit nokta yinelemesi ve doğrusal yaklaşım gibi yöntemlerdir. Örneğin, uzay aracı, sıfır yer çekimi ortamlarında eğri rotaları yaklaşık olarak belirlemek için Euler yönteminin bir varyasyonunu kullanır.

Dış bağlantılar

• Calculus.org 28 Aralık 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., (İngilizce)