Eilenberg eşitsizliği

Matematiğin bir alt dalı olan analizde Eilenberg eşitsizliğiveya eşalan eşitsizliği, Lipschitz-sürekli fonksiyonlar arasındaki bir matematiksel eşitsizliktir. Gayri resmi olarak, bir Lipschitz fonksiyonunun liflerinin ortalama büyüklüğüne, fonksiyonun Lipschitz sabiti ve tanım kümesinin ölçüsü cinsinden üst sınır verir.

Eilenberg eşitsizliği, geometrik ölçü teorisi ve manifold teorisinde uygulamalara sahiptir. Ayrıca eşalan formülünün kanıtında önemli bir bileşendir. Eşitsizlik, matematikçi Samuel Eilenberg'in adını taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

ƒ : X → Y arasındaki Lipschitz-sürekli bir fonksiyon ve Lipschitz sabiti Lip ƒ olan iki metrik uzay verilsin. $s$ ve $t$ negatif olmayan gerçel sayılar olsun. BU bilgiler ışığında, Eilenberg eşitsizliği herhangi bir A ⊂ X için şu şekilde ifade edilir:

$\int _{Y}^{*}H^{s}(f^{-1}(y)\cap A)\,dH^{t}(y)\leq {\frac {v_{s}v_{t}}{v_{s+t}}}({\text{Lip }}f)^{t}H^{s+t}(A),$

Burada,

• Yıldız, üst integrali göstermektedir.
• v_t evrensel sabitlerdir. Eğer t=n ise, v_t, Rⁿ'deki birim yuvarın hacmine eşittir.
• H^t, t-boyutlu Hausdorff ölçüsüdür.

Üst integral kullanımı gereklidir çünkü genel olarak $\ y\mapsto H^{s}(A\cap f^{-1}(y))$ fonksiyonu H^t ölçülebilir olmayabilir.

Tarihçe

Bu eşitsizlik ilk olarak 1938'de Eilenberg tarafından, fonksiyonun metrik uzaydaki sabit bir noktaya olan mesafesi olduğu durumda kanıtlanmıştır. Daha sonra 1943'te Eilenberg ve Harold tarafından, metrik uzay üzerinde herhangi bir gerçel değerli Lipschitz fonksiyonu durumuna genellenmiştir.

Yukarıdaki biçimde eşitsizlik, 1954'te Federer tarafından kanıtlanmıştır, ancak bu kanıt bazı ek varsayımlar altında yapılmıştır. Federer, bu varsayımların gereksiz olduğunu öne sürmüş, daha sonra Davies, Hausdorff içerikleri hakkında derin sonuçlar ortaya koymuş ve bu sanı bir sonuç olarak kanıtlanmıştır. Son yıllarda ise Davies'in sonucuna bağlı olmayan yeni bir kanıt da bulunmuştur.

Kanıt hakkında

Birçok metinde eşitsizlik, hedef uzayın bir Öklid uzayı veya manifold olduğu durum için kanıtlanmıştır. Bunun nedeni, izodiyametrik eşitsizliğin (manifoldlar durumunda yerel olarak) mevcut olmasıdır ve bu, doğrudan bir kanıt sağlar. İzodiyametrik eşitsizlik genel metrik uzaylarda mevcut olmadığından, genel durumda Eilenberg'in eşitsizliğinin kanıtı oldukça karmaşıktır ve ağırlıklı integraller kavramını gerektirir.