Elementer matris

Doğrusal cebirde, bir birim matrisde yalnızca bir tane elementer satır işlem yapılarak elde edilen matrislere elementer matris denir. m boyutunda bir birim matrisin üzerinde e elementer satır işlemi yapılarak elde edilen elementer matris $e(I_{m})$ şeklinde gösterilir.

Elementer Satır İşlemleri

Üç çeşit elementer satır işlemi vardır:

Yer değiştirme

Matrisin iki satırdaki tüm elemanların yerlerini değiştirilmesi.

$R_{i}\leftrightarrow R_{j}$

Çarpma

Matrisdeki bir satırın her elemanın, sıfır dışında bir katsayı ile çarpılması.

$kR_{i}\rightarrow R_{i},\ k\neq 0{\mbox{ iken}}$

Toplama

Matrisdeki satırlardan birinin, bir katının diğer bir satıra eklenmesi.

$R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},i\neq j{\mbox{ iken}}$

Elementer Matrislerin Tersi

Her elementer matris tersinirdir ve

$(e(I_{m}))^{-1}=e^{-1}(I_{m})$

yani $e(I_{m})$ elementer matrisinin tersini almak yerine, $I_{m}$ birim matrisi üzerinde $e$ elementer işlemini tersi uygulanabilir. Elementer işlemlerin tersi şöyle tanımlanmıştır:

Yer değiştirmenin tersi

$e:R_{i}\leftrightarrow R_{j}$ ise

$e^{-1}:R_{j}\leftrightarrow R_{i}$

Yani yer değiştirme işleminin tersi kendisine eşittir çünkü $R_{i}$ ve $R_{j}$ satırlarının yerini değiştirmek ile $R_{j}$ ve $R_{i}$ satırlarının yerini değiştirmek aynı şeye denk gelmektedir. Bundan dolayı da yer değiştirme işlemi uygulanarak elde edilen elementer matrislerin tersi kendilerine eşittir.

Çarpmanın tersi

$e:kR_{i}\rightarrow R_{i},\ k\neq 0{\mbox{ iken}}$ ise

$e^{-1}:{\frac {1}{k}}R_{i}\rightarrow R_{i},\ k\neq 0{\mbox{ iken}}$

Toplamanın tersi

$e:R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},i\neq j{\mbox{ iken}}$ ise

$e^{-1}:R_{i}+(-k)R_{j}\rightarrow R_{i},i\neq j{\mbox{ iken}}$

Kaynakça

• Arif Sabuncuoğlu lineer cebir ders notları, Mat201, TOBB ETU