e sayısı

Başlığın diğer anlamları için Euler (anlam ayrımı) sayfasına bakınız.

Doğal logaritmaların ve üstel fonksiyonların tabanı olan e sayısı, yaklaşık olarak 2,71828 değerinde bir matematik sabitidir. İsviçreli matematikçi Leonhard Euler’le ilişkili olarak bazen Euler sayısı olarak isimlendirilmiş olsa da bu ad, Euler sayıları ya da genellikle $\gamma$ ile gösterilen Euler sabiti ile karışabilir. Ayrıca John Napier’a ithafen Napier sabiti olarak da bilinir. Bu değeri İsviçreli matematikçi Jacob Bernoulli, bileşik faiz üzerine çalışırken keşfetmiştir.

e sayısı; 0, 1, π ve i gibi matematik için büyük önem taşır. Bu sayıların hepsi, matematikte sürekli önemli roller oynayan Euler özdeşliğinde ($e^{i\pi }+1=0$) yer almaktadır. Aynı $\pi$ gibi e de irrasyoneldir yani iki tam sayının oranı olarak gösterilemez. 0'dan farklı rasyonel bir katsayının polinom kökü olarak gösterilememesi nedeniyle aynı zamanda bir aşkın sayıdır. e değerinin ilk birkaç basamağı şu şekildedir:

$2.7182818284590452353602874$

Tanımlar

• 

  Beşinci tanıma göre, 1 < x < e için y = 1/x eğrisinin altındaki alan 1'e eşittir.

  e değeri, bileşik faiz hesaplamalarında karşılaşılan sonsuz dizi toplamının limitidir.

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

$e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots$

• a’nın pozitif bir değer olarak kabul edildiği y = a^x denkleminde x = 0 için eğim 1’dir. Bu fonksiyonda kendi türevine eşit olan değerin $\exp(0)=1$ eşitliğini sağladığı üstel fonksiyon için $e=\exp(1)$ değeri bulunmaktadır.

Üstel fonksiyonun sıklıkla $x\mapsto e^{x}$ ifade edilmesinden dolayı $e=e^{1}$ olarak değiştirilebilir.

b tabanlı logaritma, $x\mapsto b^{x}$ için ters fonksiyondur. $b=b^{1}$ olduğuna göre $\log _{b}b=1$‘dir. $e=e^{1}$ eşitliği ise doğal algoritma tabanının e olduğunu gösterir.

• e, integral olarak da ifade edilebilir.

$\int _{1}^{e}{\frac {dx}{x}}=1$

Tarih

e sabitine dolaylı olarak ilk değinen İskoç matematikçi John Napier olmuştur. Napier, 1618'de logaritmalar üzerine yayımladığı bir kitabın ekinde, e sabitini kullanarak bazı hesaplar yapmıştır; fakat sabitin kendisiyle fazla ilgilenmemiştir. e sayısını gerçek anlamda ilk keşfeden Jakob Bernoulli olmuştur. Bernoulli, e sayısını 1683'te birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiş ve bu sayının yaklaşık değerini hesaplamıştır. Sabite e ismini veren ise İsviçreli matematikçi Leonhard Euler'dir. Euler ilk olarak 1731'de Christian Goldbach'a yazdığı bir mektupta bu sabitten "e sayısı" diye bahsetmiştir. Euler öncesi ve sonrasında bu sabit için b ve c harfleri de kullanılmışsa da sonuçta kabul edilen isim e olmuştur.

Euler e sayısını, virgülden sonra 23. basamağına kadar hesaplayabilmiştir. Günümüzde ise e sayısının milyarlarca basamağı bilinmektedir. e^,nin irrasyonel bir sayı olduğu Euler tarafından, aşkın bir sayı olduğu ise Fransız matematikçi Charles Hermite tarafından kanıtlanmıştır.

Uygulamalar

Bileşik faiz problemi

Jakob Bernoulli, e sabitini bileşik faiz problemini incelerken keşfetmiştir. Bu problem, basit bir örnekle anlatılabilir. Elinde 1 lirası olan bir yatırımcı, parasını yılda %100 faiz veren bir bankaya yatırırsa, bir sene sonra 2 lirası olacaktır. Diğer yandan bu yıllık faiz %50 – %50 şeklinde yılda iki kez işlerse, yatırımcının yıl sonundaki parası (1 + ½)² = 2,25 lira olacaktır. Benzer şekilde eğer faiz yılda dört kez %25 oranında işlerse, yatırımcının yıl sonundaki parası (1 + 1/4)⁴ = 2,44140625 lira olacak, faiz her ay %8,333... oranında işlerse yıl sonundaki para (1 + 1/12)¹² = 2,6130... lira olacaktır. Faizin işleme süresini daha da kısaltırsak, her hafta işleyen faiz yıl sonunda 2,6925... lira, her gün işleyen faiz yıl sonunda 2,71453... lira verecektir.

Faizin işleme süresi kısaldıkça, yıl sonundaki para 2 ve 3 arasında belli bir değere yakınsamaktadır. Yukarıdaki 3 numaralı tanımdan da görüldüğü üzere yakınsanan değer e sayısıdır.

Bernoulli denemeleri

e sayısı olasılık kuramında da çeşitli şekillerde karşımıza çıkar. Örneğin bir kumarcı, kazanma şansı 1/n olan bir oyunu n kere oynarsa, yaklaşık 1/e (%36,787...) ihtimalle hiçbir seferde kazanamayacaktır. n ne kadar büyükse, hiç kazanmama ihtimali 1/e^,ye o kadar yakın olur.

Kumarcının n seferde k kere kazanma olasılığı, binom dağılımına göre aşağıdaki değere eşittir:

${\binom {n}{k}}\left({\frac {1}{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n-k}.$

Buna göre, n seferde k = 0 kere kazanma olasılığı, (1 - 1/n)ⁿdir ve bu ifade, n büyüdükçe 1/e^,ye yaklaşır.

Şapka problemi

Bir restorana giren ve girişte şapkalarını vestiyere bırakan n tane müşteri düşünelim. Vestiyer, şapkalara etiket takmayı unutunca hangi şapkanın hangi müşteriye ait olduğunu unutuyor ve çıkışta şapkasını isteyen her müşteriye rastgele bir şapka seçip veriyor. Bu durumda, n müşteriden hiçbirinin kendi şapkasını almaması olasılığı, aşağıdaki toplama eşittir:

$p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}.$

Müşteri sayısı n büyüdükçe, bu toplam 1/e değerine yaklaşacaktır.

Kaynakça

• "The number e" (İngilizce). 8 Eylül 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 26 Ağustos 2007. 

Dış bağlantılar

• "e^,nin ilk 2 milyon basamağı". 19 Ocak 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 26 Ağustos 2007.