Faktöriyel

Faktöriyel, matematikte, sağına ünlem işareti konulmuş sayıya verilen isim, daha genel olan Gama fonksiyonunun tam sayılarla sınırlanmış özel bir durumudur. Bu sınırlamanın nedeni gerçek veya reel sayılarda bu hesabın imkânsız oluşudur. 1'den başlayarak belirli bir sayma sayısına kadar olan sayıların çarpımına o sayının faktöriyeli denir. Basit bir şekilde faktöriyel, n tane ayrık elemanın kaç farklı şekilde sıralanabileceğidir.

Faktöriyel dizisinden seçilmiş elementler (OEIS'de A000142 dizisi); bilimsel notasyonla verilmiş değerler, gösterildiği hassasiyete yuvarlanmıştır.
n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
11	39916800
12	479001600
13	6227020800
14	87178291200
15	1307674368000
16	20922789888000
17	355687428096000
18	6402373705728000
19	121645100408832000
20	2432902008176640000
25	1,551121004×10²⁵
50	3,041409320×10⁶⁴
70	1,197857167×10¹⁰⁰
100	9,332621544×10¹⁵⁷
450	1,733368733×10¹⁰⁰⁰
1000	4,023872601×10²⁵⁶⁷
3249	6,412337688×10¹⁰⁰⁰⁰
10000	2,846259681×10³⁵⁶⁵⁹
25206	1,205703438×10¹⁰⁰⁰⁰⁰
100000	2,824229408×10⁴⁵⁶⁵⁷³
205023	2,503898932×10^1000004
1000000	8,263931688×10^5565708
10¹⁰⁰	10^{9,956570552×10¹⁰¹}

Fonksiyon

Faktöriyel fonksiyonu verilen pozitif tam sayının kendisinden önceki bütün tam sayılarla 1'e inilinceye kadar çarpılması sonucunda elde edilen çarpımı gösterir.

Örnek olarak şunları gösterebiliriz:

$1!=1\cdot 1=1\,$
$2!=2\cdot 1=2\,$
$3!=3\cdot 2\cdot 1=6\,$
$4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24\,$
$5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120\,$

Sıfır pozitif bir sayı olmamasına rağmen faktöriyeli tanım olarak bire eşittir: 0!=1

Çünkü 0 ayrık eleman hiçbir şekilde sıralanamaz yani sonuç tektir.

Problem çözümünde kullanımı

Örnekler

Sual: Ali'nin üç çeşit gömleği, dört çeşit pantolonu, iki çeşit ayakkabısı vardır. Bir gömlek, bir pantolon ve bir ayakkabıyı kaç farklı şekilde giyer?

Cevap: $4!=4\cdot 3\cdot 2=24$ farklı şekilde giyer.

Kod ile çözümü

Programlama dillerinde de sıklıkla karşılaşılan bir kavram olan faktöriyel, özyineli (kendi kendini çağıran) ya da tekrarlamalı (iteratif) fonksiyonlarla hesaplanabilir.

Java programlama dilinde yazılmış özyineli ve tekrarlamalı fonksiyonlara birer örnek verecek olursak:

// n! hesabi - Ozyineli

   Public Function Faktoriyel_Oz(n) {
       IF n <= 1 Then
           Faktoriyel_Oz = 1
       Else
           Faktoriyel_Oz = n*Faktoriyel_Oz(n - 1)
       End IF
   End Function

// n! hesabi - tekrarlamali

   static double faktoriyelIt(double n) {
       double f = 1;
       for (double i = n; i >= 1; --i) {
           f *= i; 
       }
       return f;
   }

Kaynakça

Ayrıca bakınız

Primoriyel