Gama fonksiyonu - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 Alıştırma
  • 2 Tanım
    • 2.1 Ana Tanım
    • 2.2 Alternatif tanımlamalar
  • 3 Özellikler
    • 3.1 Pi fonksiyonu
  • 4 Özel değerler
    • 4.1 Raabe formülü
  • 5 Ayrıca bakınız
  • 6 Notlar
  • 7 Kaynakça
  • 8 Dış bağlantılar

Gama fonksiyonu

  • العربية
  • Asturianu
  • Башҡортса
  • Беларуская
  • Български
  • বাংলা
  • Bosanski
  • Català
  • کوردی
  • Čeština
  • Deutsch
  • Ελληνικά
  • English
  • Esperanto
  • Español
  • Eesti
  • Euskara
  • فارسی
  • Suomi
  • Français
  • Galego
  • עברית
  • हिन्दी
  • Hrvatski
  • Magyar
  • Հայերեն
  • Bahasa Indonesia
  • Íslenska
  • İtaliano
  • 日本語
  • ភាសាខ្មែរ
  • ಕನ್ನಡ
  • 한국어
  • Latina
  • Lëtzebuergesch
  • Lietuvių
  • Latviešu
  • मराठी
  • Bahasa Melayu
  • Nederlands
  • Norsk nynorsk
  • Norsk bokmål
  • ਪੰਜਾਬੀ
  • Polski
  • Piemontèis
  • Português
  • Română
  • Русский
  • Simple English
  • Slovenčina
  • Slovenščina
  • Shqip
  • Српски / srpski
  • Sunda
  • Svenska
  • தமிழ்
  • Тоҷикӣ
  • ไทย
  • Українська
  • اردو
  • Oʻzbekcha / ўзбекча
  • Tiếng Việt
  • 吴语
  • 中文
  • 粵語
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Wikimedia Commons
  • Vikişlev
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi
Bu maddede kaynak listesi bulunmasına karşın metin içi kaynakların yetersizliği nedeniyle bazı bilgilerin hangi kaynaktan alındığı belirsizdir. Lütfen kaynakları uygun biçimde metin içine yerleştirerek maddenin geliştirilmesine yardımcı olun. (Ağustos 2016) (Bu şablonun nasıl ve ne zaman kaldırılması gerektiğini öğrenin)
Gamma
Reel eksen boyunca gama fonksiyonu
Genel bilgiler
Genel tanım Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt} {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}
Uygulama alanlarıKalkülüs, matematiksel analiz, istatistik, fizik

Gama fonksiyonu, matematikte faktöriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve tam sayı olmayan reel sayılar için genellenmesi olan bir fonksiyondur. Г simgesiyle gösterilir.

Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }\,t^{z-1}\,e^{-t}dt} {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }\,t^{z-1}\,e^{-t}dt}
Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!} {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}

Kompleks düzlemde Analitik devamlılık için n negatif tam sayı olmamalıdır, pozitif tam sayı olmalıdır.

Alıştırma

[değiştir | kaynağı değiştir]

Öncelikle;

( n + 1 ) n ! = ( n + 1 ) ! {\displaystyle (n+1)n!=(n+1)!} {\displaystyle (n+1)n!=(n+1)!} eşitliğini ele alalım.
n = 0 {\displaystyle n=0} {\displaystyle n=0} alırsak; 1.0 ! = 1 ! = 1 {\displaystyle 1.0!=1!=1} {\displaystyle 1.0!=1!=1} olur.

Bu durumda "Aynı işlem kesirli sayılarla da yapılabilir mi?" diye bir soru akla gelir.

n = 1 / 2 {\displaystyle n=1/2} {\displaystyle n=1/2} alırsak;
( 3 / 2 ) ( 1 / 2 ) ! = ( 3 / 2 ) ! {\displaystyle (3/2)(1/2)!=(3/2)!} {\displaystyle (3/2)(1/2)!=(3/2)!} olması gerekir. Yani
( 3 / 2 ) ( 1 / 2 ) ! = ( 3 / 2 ) ! {\displaystyle (3/2)(1/2)!=(3/2)!} {\displaystyle (3/2)(1/2)!=(3/2)!}→ ( 3 / 2 ) ! / ( 1 / 2 ) ! = 3 / 2 {\displaystyle (3/2)!/(1/2)!=3/2} {\displaystyle (3/2)!/(1/2)!=3/2} olmalıdır.
Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!} {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}' olduğundan;
Γ ( 5 / 2 ) {\displaystyle \Gamma (5/2)} {\displaystyle \Gamma (5/2)}→ ( 3 / 2 ) ! {\displaystyle (3/2)!} {\displaystyle (3/2)!} 'e karşılık gelmelidir(eşittir demiyoruz) ve yine
Γ ( 3 / 2 ) {\displaystyle \Gamma (3/2)} {\displaystyle \Gamma (3/2)}→ ( 1 / 2 ) ! {\displaystyle (1/2)!} {\displaystyle (1/2)!} işlemine karşılık gelmelidir.
Γ ( 5 / 2 ) = 3 π 4 ≈ 1.329 Γ ( 3 / 2 ) = π 2 ≈ 0.886 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0.886\\\end{array}}} {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0.886\\\end{array}}}
Γ ( 5 / 2 ) / Γ ( 3 / 2 ) = 3 / 2 {\displaystyle \Gamma (5/2)/\Gamma (3/2)=3/2} {\displaystyle \Gamma (5/2)/\Gamma (3/2)=3/2}

Bu da

Γ ( 5 / 2 ) / Γ ( 3 / 2 ) = 3 / 2 {\displaystyle \Gamma (5/2)/\Gamma (3/2)=3/2} {\displaystyle \Gamma (5/2)/\Gamma (3/2)=3/2}→ ( 3 / 2 ) ! / ( 1 / 2 ) ! = 3 / 2 {\displaystyle (3/2)!/(1/2)!=3/2} {\displaystyle (3/2)!/(1/2)!=3/2} varsayımımızı doğrular. Denenirse diğer sayılar için de bunun doğruluğu görülebilir.

Tanım

[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana Tanım

[değiştir | kaynağı değiştir]
karmaşık düzlemle genişletilmiş Gama fonksiyonu

Bu çift Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} {\displaystyle \Gamma (z)} gösterim Legendre tarafından yapılmıştır. Kompleks sayı z'nin gerçel kısmı (Re[z] > 0) şeklindedir. integral'i

Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt} {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}

Burada kısmi integrasyon kullanarak, mutlak yakınsaklık gösterilebilir.

Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) (1) {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)\qquad {\text{(1)}}} {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)\qquad {\text{(1)}}}

 n ! = n · (n − 1) ! faktoriyel fonksiyonunun genel kimliği/tanımı Bu fonksiyonel denklemdir.

Γ ( 1 ) = ∫ 0 ∞ e − t d t = lim k → ∞ − e − t | 0 k = − 0 − ( − 1 ) = 1 (2) {\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim _{k\rightarrow \infty }-e^{-t}|_{0}^{k}=-0-(-1)=1\qquad {\text{(2)}}} {\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim _{k\rightarrow \infty }-e^{-t}|_{0}^{k}=-0-(-1)=1\qquad {\text{(2)}}}

Bu iki sonuç bize faktöriyel fonksiyonun gama fonksiyonun özel bir durumu olduğunu gösteriyor. Bütün n Doğal sayılar'ı için .

Γ ( n + 1 ) = n Γ ( n ) = n ( n − 1 ) Γ ( n − 1 ) = ⋯ = n ! Γ ( 1 ) = n ! {\displaystyle \Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=n\,(n-1)\,\Gamma (n-1)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,} {\displaystyle \Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=n\,(n-1)\,\Gamma (n-1)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,}
Karmaşık düzlem üzerinde Gama fonksiyonu'nun mutlak değeri.

Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} {\displaystyle \Gamma (z)} genellemesi analitik devamlılık için gereklidir. z böylece 0 ve negatif değerler hariç bütün kompleks sayıları meromorfik fonksiyon olarak tanımlar. (z. = −n basit kutbu ile rezidü (−1) n/n !).[1]

Alternatif tanımlamalar

[değiştir | kaynağı değiştir]

0 ve negatif tam sayılar dışında bütün kompleks sayılar z için tanım sonsuz sayıda Gama fonksiyonu için, sırasıyla Euler ve Weierstrass çifti tarafından

Γ ( z ) = lim n → ∞ n ! n z z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n ) = 1 z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + 1 n ) z 1 + z n Γ ( z ) = e − γ z z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) − 1 e z / n {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+n)}}={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}\\\Gamma (z)&={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}\\\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+n)}}={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}\\\Gamma (z)&={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}\\\end{aligned}}}

burada γ, Euler-Mascheroni sabiti'dir.

yukarıdaki z nin 0,-1,-2,-3..dışındaki değerleri için Euler tanımı fonksiyonel denklemi basitleştirilmiş şekli,

Γ ( z + 1 ) = lim n → ∞ n ! ( n ) z + 1 ( z + 1 ) ( z + 2 ) ⋯ ( z + n + 1 ) = lim n → ∞ ( z n ! n z z ( z + 1 ) ( z + 2 ) ⋯ ( z + n ) ( n ) ( z + n + 1 ) ) = z Γ ( z ) lim n → ∞ ( n ) ( z + n + 1 ) = z Γ ( z ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;(n)^{z+1}}{(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n+1)}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left(z\;{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n)}}\;{\frac {(n)}{(z+n+1)}}\right)\\&=z\;\Gamma (z)\;\lim _{n\to \infty }{\frac {(n)}{(z+n+1)}}\\&=z\;\Gamma (z).\\\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;(n)^{z+1}}{(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n+1)}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left(z\;{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n)}}\;{\frac {(n)}{(z+n+1)}}\right)\\&=z\;\Gamma (z)\;\lim _{n\to \infty }{\frac {(n)}{(z+n+1)}}\\&=z\;\Gamma (z).\\\end{aligned}}}

değişik bir gösterim...

Γ ( z + 1 ) = ∫ 0 ∞ e − t 1 / z d t . {\displaystyle \Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{1/z}}\,dt.\,\!} {\displaystyle \Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{1/z}}\,dt.\,\!}

Bazen Gamma fonksiyonu'nun parametrik şekli Laguerre polinomları'nın terimleri içinde verilir;

Γ ( z ) = t z ⋅ ∑ n = 0 L n ( z ) ( t ) z + n {\displaystyle \Gamma (z)=t^{z}\cdot \sum _{n=0}{\frac {L_{n}^{(z)}(t)}{z+n}}} {\displaystyle \Gamma (z)=t^{z}\cdot \sum _{n=0}{\frac {L_{n}^{(z)}(t)}{z+n}}} , yakınsaklık için ℜ ( z ) < 1 2 {\displaystyle \Re (z)<{\frac {1}{2}}} {\displaystyle \Re (z)<{\frac {1}{2}}} olmalıdır.
  • Mutlak değer
    Mutlak değer
  • Gerçel kısım
    Gerçel kısım
  • Sanal kısım
    Sanal kısım

Özellikler

[değiştir | kaynağı değiştir]
Mathematica'da kendi kendine yapılan Γ fonksiyonunun mutlak değerinin 3B grafiği (mupad'deki önceki sürümler)

Pi fonksiyonu

[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir alternatif gösterimde Gauss tarafından girilmişti. ve bazen Pi fonksiyonu deniyor, gama fonksiyonu terimleri yardımıyla

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e − t t z d t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\rm {d}}t,} {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\rm {d}}t,}

böylece

her negatif olmayan n için.

Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!,} {\displaystyle \Pi (n)=n!,}

Pi fonksiyonunu kullanarak yansıma formülü formunu alır

Π ( z ) Π ( − z ) = π z sin ⁡ ( π z ) = 1 sinc ⁡ ( z ) {\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}} {\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}

burada sinc normalize sinc fonksiyonudur, eğer çarpım teoremi formu alınırsa

Π ( z m ) Π ( z − 1 m ) ⋯ Π ( z − m + 1 m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m − z − 1 2 Π ( z ) . {\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z).} {\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z).}

ayrıca bazen

π ( z ) = 1 Π ( z ) , {\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}},} {\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}},}

bulunur.

yukardaki bir Tam fonksiyon'dur, çünkü karmaşık sayılar içinde tanımlıdır. Burada π(z) hiçbir kutba sahip değildir, Π(z)de, Γ(z) gibi, sıfır yok idi.

ilgilenenler için, yarıçap r 1 , . . . , r n {\displaystyle r_{1},...,r_{n}} {\displaystyle r_{1},...,r_{n}} ile bir n-ellipsoidin hacmi gösterilebilir.

V n ( r 1 , . . . , r n ) = π n 2 Π ( n 2 ) ∏ k = 1 n r k {\displaystyle V_{n}(r_{1},...,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi ({\frac {n}{2}})}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}} {\displaystyle V_{n}(r_{1},...,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi ({\frac {n}{2}})}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}}

Özel değerler

[değiştir | kaynağı değiştir]
Ana madde: Gama fonksiyon'unun özel değerleri
Γ ( − 3 / 2 ) = 4 π 3 ≈ 2.363 Γ ( − 1 / 2 ) = − 2 π ≈ − 3.545 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1.772 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = π 2 ≈ 0.886 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 π 4 ≈ 1.329 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 π 8 ≈ 3.323 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2.363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0.886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3.323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}} {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2.363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0.886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3.323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}}

Raabe formülü

[değiştir | kaynağı değiştir]

1840 yılında Raabe şunu kanıtladı,

∫ a a + 1 log ⁡ Γ ( t ) d t = 1 2 log ⁡ 2 π + a log ⁡ a − a , a ≥ 0. {\displaystyle \int \limits _{a}^{a+1}\log \Gamma (t)\,\mathrm {d} t={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +a\log a-a,\quad a\geq 0.} {\displaystyle \int \limits _{a}^{a+1}\log \Gamma (t)\,\mathrm {d} t={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +a\log a-a,\quad a\geq 0.}
özel olarak, eğer a = 0 {\displaystyle a=0} {\displaystyle a=0} ise
∫ 0 1 log ⁡ Γ ( t ) d t = 1 2 log ⁡ 2 π . {\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\log \Gamma (t)\,\mathrm {d} t={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi .} {\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\log \Gamma (t)\,\mathrm {d} t={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi .}

Ayrıca bakınız

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Matematiksel fonksiyonların listesi
  • Beta fonksiyonu
  • Bohr–Mollerup teoremi
  • n-küre hacminin türevi (görünüşte ilgisiz olan problemden Gama fonksiyonunun türetilmesi)
  • Digama fonksiyonu
  • Elliptik gama fonksiyonu
  • Faktöriyel
  • Gamma dağılımı
  • Gauss sabiti
  • Gauss toplamı
  • Lanczos yaklaşıklığı
  • Çokdeğişkenli Gama fonksiyonu
  • Pochhammer k-sembolü
  • Poligama fonksiyonu
  • Ters Gama fonksiyonu
  • Trigama fonksiyonu

Notlar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  1. ^ George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Forward by James R. Newman)

Kaynakça

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Bu makale, Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License altında lisanslanan ancak GFDL kapsamında olmayan Citizendium makalesi "Gama fonksiyonu"dan materyal içermektedir.
  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6) 17 Şubat 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).
  • Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," Am. Math. Monthly 66, 849-869 (1959)
  • Julian Havil, Gamma, Exploring Euler's Constant", ISBN 0-691-09983-9 (c) 2003
  • W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)
  • Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScript4 Şubat 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. and HTML4 Şubat 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. formats.

Dış bağlantılar

[değiştir | kaynağı değiştir]
Wikimedia Commons'ta Gama fonksiyonu ile ilgili ortam dosyaları mevcuttur.
  • Askey, R. A.; Roy, R. (2010), "Gama fonksiyonu", Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (Ed.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 .
  • Cephes8 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - C and C++ language special functions math library
  • Examples of problems involving the Gamma function can be found at Exampleproblems.com.
  • Gamma function calculator
  • Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision)28 Ekim 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Şablon:WolframFunctionsSite
  • Volume of n-Spheres and the Gamma Function5 Mart 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at MathPages
  • Computing the Gamma function31 Aralık 2005 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - various algorithms
  • Online tool to graph functions which contain the Gamma function
  • Eric W. Weisstein, Gamma function (MathWorld)
  • "Elementary Proofs and Derivations" 26 Temmuz 2023 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • "Transformations, Identities and Special Values" 26 Temmuz 2023 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
Otorite kontrolü Bunu Vikiveri'de düzenleyin
  • GND: 4289118-8
  • NDL: 00562231
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Gama_fonksiyonu&oldid=36528951" sayfasından alınmıştır
Kategoriler:
  • Citizendium'dan metin içeren Vikipedi maddeleri
  • Gama ve ilişik fonksiyonlar
  • Özel fonksiyonlar
  • Faktöriyel ve binomi konuları
  • Meromorf fonksiyonlar
Gizli kategoriler:
  • Metin içi kaynakları olmayan maddeler Ağustos 2016
  • Metin içi kaynakları olmayan tüm maddeler
  • Kırmızı bağlantıya sahip ana madde şablonu içeren maddeler
  • Webarşiv şablonu wayback bağlantıları
  • Commons kategori bağlantısı Vikiveri'de tanımlı olan sayfalar
  • GND tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
  • NDL tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
  • ISBN sihirli bağlantısını kullanan sayfalar
  • Sayfa en son 21.50, 15 Aralık 2025 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
Gama fonksiyonu
Konu ekle