Finsler–Hadwiger teoremi

Finsler–Hadwiger teoremi, bir tepe noktasını paylaşan herhangi iki kareden türetilen üçüncü bir kareyi tanımlayan Öklid düzlem geometrisindeki ifadedir. Teorem adını, üçgenin kenar uzunlukları ve alanıyla ilgili Hadwiger-Finsler eşitsizliğini yayınladıkları makalenin bir parçası olarak 1937'de yayınlayan Alman ve İsviçreli matematikçi Paul Finsler ile İsviçreli matematikçi Hugo Hadwiger'den almıştır.^[1]

Açıklama

Teoremi ifade etmek için, $\square ABCD$ ve $\square AB'C'D$ 'nin ortak tepe noktasına sahip iki kare olduğunu varsayalım. $E$ ve $G$ , sırasıyla $B'D$ ve $D'B$ doğrularının orta noktaları ve $F$ ve $H$ , iki karenin merkezi olsun. Daha sonra teorem, $\square EFGH$ dörtgenin de bir kare olduğunu belirtir.^[2]

$\square EFGH$ karesine, verilen iki karenin Finsler-Hadwiger karesi denir.^[3]

Uygulaması

Finsler–Hadwiger teoreminin tekrarlanan uygulaması, keyfi bir dörtgenin kenarlarına inşa edilmiş dört kareden oluşan merkezler aracılığıyla parçaların uygunluğu ve dikliği üzerinde Van Aubel teoremini kanıtlamak için kullanılabilir. Her bir ardışık kare çifti, teoremin bir örneğini oluşturur ve bu örneklerin iki karşıt Finsler-Hadwiger karesi çifti, aynı türetilmiş kareye sahip teoremin diğer iki örneğini oluşturur.^[4]

İspat

1. $\square ABCD$ ve $\square A'B'C'D'$ kareleri, şekil (a)'da gösterildiği gibi ortak bir $A$ tepe noktasını paylaşsın. Daha sonra, orijinal karelerin $S$ ve $Q$ merkezleri ile birlikte $B'D$ ve $BD'$ segmentlerinin orta noktaları $P$ ve $R$ , başka bir $\square PQRS$ karesinin köşeleridir.

2. $\square ABCD$ ve $\square AB'C'D'$ karelerinin $BD$ ve $B'D'$ köşegenlerini şekil (b)'de gösterildiği gibi çizin. O halde $PQRS$ , gölgeli dörtgen $BDB'D'$ ile ilişkili Varignon paralelkenarıdır.

3. $PQRS$ 'nin bir kare olduğunu göstermek için, $BDB'D'$ 'nün $BB'$ ve $DD'$ çizgili köşegenlerinin dikey ve eşit uzunlukta olduğunu göstermemiz gerekir. Şekil (c), $BA=DA$ , $B'A=D'A$ , $\angle BAB'=\angle DAD'$ olduğunu ve böylece $\triangle BAB'\cong \triangle DAD'$ olduğunu göstermektedir. Böylece $BB'=DD'$ . Ancak $BA\perp DA$ ve $B'A\perp D'A$ ; dolayısıyla $BB'\perp DD'$ 'dir.^[5]

Kaynakça

^ Finsler, Paul; Hadwiger, Hugo (1937), "Einige Relationen im Dreieck", Commentarii Mathematici Helvetici (Almanca), 10 (1), ss. 316-326, doi:10.1007/BF01214300, MR 1509584 . See in particular p.324.
^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2010), "The Finsler–Hadwiger Theorem 8.5", Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics, Mathematical Association of America, s. 125, ISBN 9780883853481 .
^ Detemple, Duane; Harold, Sonia (1996), "A round-up of square problems", Mathematics Magazine, 69 (1), ss. 15-27, doi:10.1080/0025570X.1996.11996375, JSTOR 2691390, MR 1573131 . See problem 8, pp. 20–21.
^ Detemple & Harold (1996), problem 15, pp. 25–26.
^ Claudi Alsina & Roger B. Nelsen, (2010), A Cornucopia of Quadrilaterals, ss. 21-22, AMS/MAA, Dolciani Mathematical Expositions, Vol. 55, 9781470454654

Konuyla ilgili yayınlar

Fisher, J. C., Ruoff, D., & Shilleto, J. (1981). Polygons and polynomials. In The Geometric Vein (ss. 321-333). Springer, New York, NY.
Detemple, D., & Harold, S. (1996). A round-up of square problems. Mathematics Magazine, 69(1), ss. 15-27.
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA 2010, ISBN 978-0-88385-348-1, s. 125 (books.google.de 7 Mart 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.).
Frizta Edius & Vina Setiawaty, (2019), Expansion of Finsler-Hadwiger Theorem, Paya Lebar Methodist Girls’ School (Secondary), A project presented to the Singapore Mathematical Project Festival, Proje Raporu^{[ölü/kırık bağlantı]}

Dış bağlantılar

Eric W. Weisstein, Finsler-Hadwiger teoremi (MathWorld)
finsler-hadwiger theorem (Video, 3:55 dk)
A Problem of Hinged Squares, What is it? A Mathematical Droodle 5 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @cut-the-knot.org
Triangle with Squares 4: Finsler Hadwiger Theorem 8 Haziran 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @gogeometry.com
A problem based on the Finsler-Hadwiger theorem @geogebra

[1] Finsler, Paul; Hadwiger, Hugo (1937), "Einige Relationen im Dreieck", Commentarii Mathematici Helvetici (Almanca), 10 (1), ss. 316-326, doi:10.1007/BF01214300, MR 1509584 . See in particular p.324.

[2] Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2010), "The Finsler–Hadwiger Theorem 8.5", Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics, Mathematical Association of America, s. 125, ISBN 9780883853481 .

[3] Detemple, Duane; Harold, Sonia (1996), "A round-up of square problems", Mathematics Magazine, 69 (1), ss. 15-27, doi:10.1080/0025570X.1996.11996375, JSTOR 2691390, MR 1573131 . See problem 8, pp. 20–21.

[4] Detemple & Harold (1996), problem 15, pp. 25–26.

[5] Claudi Alsina & Roger B. Nelsen, (2010), A Cornucopia of Quadrilaterals, ss. 21-22, AMS/MAA, Dolciani Mathematical Expositions, Vol. 55, 9781470454654

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]