Hadwiger–Finsler eşitsizliği - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 İlgili eşitsizlikler
  • 2 İspat
  • 3 Tarihçe
  • 4 Eşitsizliğin genelleştirilmesi
  • 5 Ayrıca bakınız
  • 6 Notlar
  • 7 Kaynakça
  • 8 Dış bağlantılar
  • 9 Konuyla ilgili yayınlar

Hadwiger–Finsler eşitsizliği

  • العربية
  • Deutsch
  • English
  • Suomi
  • Français
  • 日本語
  • ភាសាខ្មែរ
  • 한국어
  • Português
  • தமிழ்
  • Tiếng Việt
  • 中文
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi

Matematikte Hadwiger–Finsler eşitsizliği, Öklid düzlemindeki üçgen geometrisinin bir sonucudur. Düzlemdeki bir üçgenin kenar uzunlukları a {\displaystyle a} {\displaystyle a}, b {\displaystyle b} {\displaystyle b} ve c {\displaystyle c} {\displaystyle c} ve alanı T {\displaystyle T} {\displaystyle T} ile gösterilirse, o zaman

a 2 + b 2 + c 2 ≥ ( a − b ) 2 + ( b − c ) 2 + ( c − a ) 2 + 4 3 T (HF) . {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}T\quad {\mbox{(HF)}}.} {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}T\quad {\mbox{(HF)}}.}

İlgili eşitsizlikler

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Weitzenböck eşitsizliği, Hadwiger–Finsler eşitsizliğinin doğrudan bir sonucudur: düzlemdeki bir üçgenin kenar uzunlukları a {\displaystyle a} {\displaystyle a}, b {\displaystyle b} {\displaystyle b} ve c {\displaystyle c} {\displaystyle c} ve alanı T {\displaystyle T} {\displaystyle T} ile gösterilirse, o zaman
a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 3 T (W) . {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}T\quad {\mbox{(W)}}.} {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}T\quad {\mbox{(W)}}.}

Weitzenböck eşitsizliği, Heron formülü kullanılarak da kanıtlanabilir; bu yolla, (W) için eşitliğin ancak ve ancak eğer üçgen bir eşkenar üçgen ise, yani a = b = c {\displaystyle a=b=c} {\displaystyle a=b=c} için geçerli olduğu görülür.

  • Dörtgen için bir versiyon: A B C D {\displaystyle ABCD} {\displaystyle ABCD}, uzunlukları a {\displaystyle a} {\displaystyle a}, b {\displaystyle b} {\displaystyle b}, c {\displaystyle c} {\displaystyle c}, d {\displaystyle d} {\displaystyle d} ve alanı T {\displaystyle T} {\displaystyle T} ile gösterilen dışbükey bir dörtgen olsun, sonra:[1]
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ 4 T + 3 − 1 3 ∑ ( a − b ) 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 4T+{\frac {{\sqrt {3}}-1}{\sqrt {3}}}\sum {(a-b)^{2}}} {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 4T+{\frac {{\sqrt {3}}-1}{\sqrt {3}}}\sum {(a-b)^{2}}} sadece bir kare için eşitlikle sonuçlanır.

Burada; ∑ ( a − b ) 2 = ( a − b ) 2 + ( a − c ) 2 + ( a − d ) 2 + ( b − c ) 2 + ( b − d ) 2 + ( c − d ) 2 {\displaystyle \sum {(a-b)^{2}}=(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(a-d)^{2}+(b-c)^{2}+(b-d)^{2}+(c-d)^{2}} {\displaystyle \sum {(a-b)^{2}}=(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(a-d)^{2}+(b-c)^{2}+(b-d)^{2}+(c-d)^{2}}

İspat

[değiştir | kaynağı değiştir]

Kosinüs yasasından aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos ⁡ α {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha } {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }

α {\displaystyle \alpha } {\displaystyle \alpha }, b {\displaystyle b} {\displaystyle b} ve c {\displaystyle c} {\displaystyle c} arasındaki açı olsun. Bu aşağıdaki ifadeye dönüştürülebilir:

a 2 = ( b − c ) 2 + 2 b c ( 1 − cos ⁡ α ) . {\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+2bc(1-\cos \alpha ).} {\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+2bc(1-\cos \alpha ).}

A = 1 2 b c sin ⁡ α {\displaystyle A={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha } {\displaystyle A={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha } olduğundan;

a 2 = ( b − c ) 2 + 4 A 1 − cos ⁡ α sin ⁡ α {\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+4A{\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}} {\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+4A{\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}}'dir.
1 − cos ⁡ α = 2 sin 2 ⁡ α 2 {\displaystyle 1-\cos \alpha =2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}} {\displaystyle 1-\cos \alpha =2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}

ve

sin ⁡ α = 2 sin ⁡ α 2 cos ⁡ α 2 {\displaystyle \sin \alpha =2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}} {\displaystyle \sin \alpha =2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}}

olduğunu hatırlarsak, bunları kullanarak aşağıdaki ifadeyi elde edebiliriz;

a 2 = ( b − c ) 2 + 4 A tan ⁡ α 2 . {\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+4A\tan {\frac {\alpha }{2}}.} {\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+4A\tan {\frac {\alpha }{2}}.}

Bunu üçgenin her kenarı için yaparak ve taraf tarafa toplayarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

a 2 + b 2 + c 2 = ( a − b ) 2 + ( b − c ) 2 + ( c − a ) 2 + 4 A ( tan ⁡ α 2 + tan ⁡ β 2 + tan ⁡ γ 2 ) . {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4A\left(\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\right).} {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4A\left(\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\right).}

β {\displaystyle \beta } {\displaystyle \beta } ve γ {\displaystyle \gamma } {\displaystyle \gamma } üçgenin diğer açılarıdır. Şimdi, üçgenin açılarının yarısı π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}'den küçük olduğundan, tan {\displaystyle \tan } {\displaystyle \tan } fonksiyonu dışbükeydir:

tan ⁡ α 2 + tan ⁡ β 2 + tan ⁡ γ 2 ≥ 3 tan ⁡ α + β + γ 6 = 3 tan ⁡ π 6 = 3 . {\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\geq 3\tan {\frac {\alpha +\beta +\gamma }{6}}=3\tan {\frac {\pi }{6}}={\sqrt {3}}.} {\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\geq 3\tan {\frac {\alpha +\beta +\gamma }{6}}=3\tan {\frac {\pi }{6}}={\sqrt {3}}.}

Bunu kullanarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

a 2 + b 2 + c 2 ≥ ( a − b ) 2 + ( b − c ) 2 + ( c − a ) 2 + 4 A 3 . {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4A{\sqrt {3}}.} {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4A{\sqrt {3}}.}

Bu da Hadwiger–Finsler eşitsizliğidir.

Tarihçe

[değiştir | kaynağı değiştir]

Hadwiger–Finsler eşitsizliğine, Alman ve İsviçreli matematikçi Paul Finsler ile İsviçreli matematikçi Hugo Hadwiger yaptıkları çalışma (Paul Finsler & Hugo Hadwiger 1937) sonrası adını vermiştir, aynı makalede, bir tepe noktasını paylaşan diğer iki kareden türetilen bir kare üzerinde Finsler–Hadwiger teoremini de yayınladılar.

Eşitsizliğin genelleştirilmesi

[değiştir | kaynağı değiştir]

1. Eğer a {\displaystyle a} {\displaystyle a}, b {\displaystyle b} {\displaystyle b}, c {\displaystyle c} {\displaystyle c} ve d {\displaystyle d} {\displaystyle d} bir dörtgenin dört kenarıysa ve S {\displaystyle S} {\displaystyle S} alanı ise, o zaman

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ 4 S {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 4S} {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 4S}'dir.

Eşitlik ancak ve ancak dörtgen bir kare ise doğrudur.

2. Eğer L 1 {\displaystyle L_{1}} {\displaystyle L_{1}}, L 2 {\displaystyle L_{2}} {\displaystyle L_{2}}, ……, L n {\displaystyle L_{n}} {\displaystyle L_{n}} n kenarlı şeklin kenar uzunlukları ve S {\displaystyle S} {\displaystyle S} alanı ise, o zaman

L 1 2 + L 2 2 + {\displaystyle L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+} {\displaystyle L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+}…… L n 2 ≥ 4 S tan ⁡ π n ( n ≥ 3 ) {\displaystyle L_{n}^{2}\geq 4S\tan {\tfrac {\pi }{n}}(n\geq 3)} {\displaystyle L_{n}^{2}\geq 4S\tan {\tfrac {\pi }{n}}(n\geq 3)}'dir.

Eşitlik, ancak ve ancak n-kenarlı şekil eş kenarlı bir n-kenarlı şekil ise doğrudur.

Ayrıca bakınız

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Üçgen eşitsizlikleri listesi
  • Eşçevre eşitsizliği

Notlar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  1. ^ Leonard Mihai Giugiuc, Dao Thanh Oai and Kadir Altintas, An inequality related to the lengths and area of a convex quadrilateral, International Journal of Geometry, Vol. 7 (2018), No. 1, ss. 81-86

Kaynakça

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Finsler, Paul; Hadwiger, Hugo (1937). "Einige Relationen im Dreieck". Commentarii Mathematici Helvetici. 10 (1): 316-326. doi:10.1007/BF01214300. 
  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, 9780883853429, pp. 84-86 21 Temmuz 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Dış bağlantılar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • PlanetMath'te Proof of Hadwiger-Finsler inequality
  • PlanetMath'te Weizenbock's inequality

Konuyla ilgili yayınlar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Cezar Lupu (27 Ocak 2010), Algebraic-Geometric Proofs of the Weitzenbock and Finsler-Hadwiger Inequalities Revisited (PDF) 
  • D. Ş. Marinescu; M. Monea; M. Opincariu; M. Stroe (2012), "Note on Hadwinger–Finsler's Inequalites" (PDF), Journal of Mathematical Inequalities, 6 (1), ss. 57-64, 9 Ağustos 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF)6 Aralık 2020 
  • Kouba, Omran (2017), "On certain new refinements of Finsler-Hadwiger inequalities", Journal of Inequalities and Applications, doi:10.1186/s13660-017-1356-5 
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Hadwiger–Finsler_eşitsizliği&oldid=34604475" sayfasından alınmıştır
Kategoriler:
  • Öklid geometrisi teoremleri
  • Üçgen geometrisi
  • Üçgen eşitsizlikleri
Gizli kategori:
  • Webarşiv şablonu wayback bağlantıları
  • Sayfa en son 13.00, 9 Ocak 2025 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
Hadwiger–Finsler eşitsizliği
Konu ekle