Hjelmslev teoremi

İki siyah çizgi üzerindeki kırmızı noktaların üçlüleri, her üçlü içinde aynı mesafelere sahiptir, bu nedenle Hjelmslev teoremine göre, karşılık gelen nokta çiftlerinin üç orta noktası tek bir (yeşil) doğru üzerindedir.

Geometride, Danimarkalı matematikçi Johannes Hjelmslev'in adını taşıyan Hjelmslev teoremi, bir doğru üzerindeki $P$, $Q$, $R$ $...$ noktaları, aynı çizgideki başka bir doğrunun $P'$, $Q'$, $R'$ $...$ noktalarına izometrik olarak (ölçüleri eşit bir şekilde) eşlenirse düzlem, daha sonra $PP'$, $QQ'$, $RR'$ doğru parçalarının orta noktaları da bir doğru üzerindedir.

Düzlem izometrilerinin sınıflandırılması varsayılırsa kanıtı kolaydır. Verilen izometri tekilse, bu durumda zorunlu olarak ya bir doğrudaki bir yansıma ya da bir ötelemeli yansıma (bir doğrudaki üç yansımanın ve ona dik olan iki yansımanın çarpımı), her ne olursa olsun düzlem: $PP'$'nün orta noktası herhangi bir $P$ için (ötelemeli-) yansımanın ekseni üzerindeyse o zaman ifade tüm noktalar için doğrudur. İzometri çift ise, $P$, $Q$, $R$ $...$ üzerinde aynı etkiye sahip tek bir izometri elde etmek için $PQR$ doğrusunda yansıma ile oluşturun ve önceki açıklamayı uygulayın.

Teoremin önemi, paralellik postülatını önceden varsaymayan ve bu nedenle Öklid dışı geometride de geçerli olan farklı bir kanıta sahip olması gerçeğinde yatmaktadır. Onun yardımıyla, düzlemin her noktasını $P'P''$ doğru parçasının orta noktasına eşleyen haritalama, burada $P'$ ve $P''$, $P$'nin verilen bir merkez çevresindeki verilen bir dar açıyla rotasyon (her iki anlamda) altındaki görüntüleridir, tüm hiperbolik düzlemi bir diskin içine 1-1 yollu bir şekilde haritalayan, böylece hiperbolik düzlemin doğrusal yapısının iyi bir sezgisel notasyonunu sağlayan bir doğrudaşlama olarak görülür. Aslında buna Hjelmslev dönüşümü denir.

Hjelmslev teoremi

Bir düzlemde sırasıyla $AB$ ve $A'B'$ doğruları üzerindeki $C$ ve $C'$ noktalarını alalım, daha sonra ${\frac {\overline {CA}}{\overline {CB}}}={\frac {\overline {C'A'}}{\overline {C'B'}}}$ olduğundan $AA'$, $BB'$, $CC'$ doğruların orta noktaları $A_{0}$, $B_{0}$, $C_{0}$aynı doğru üzerinde sıralanacaktır.

Ayrıca bakınız

• Droz-Farny doğru teoremi
• Newton-Gauss doğrusu

Kaynakça

• Martin, George E. (1998), The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, 3rd, Springer-Verlag, s. 384, ISBN 978-0-387-90694-2 
• Hjelmslev, Johannes (1907). "Neue Begründung der ebenen Geometrie". Mathematische Annalen. Cilt 64. ss. 449-474. 
• Löbell, Frank (1961). "Der Hjelmslevsche Mittelliniensatz und verwandte Sätze". Monatshefte für Mathematik. Cilt 65. ss. 249-251. 

• Bachmann, Friedrich (1989). Ebene Spiegelungsgeometrie. Eine Vorlesung über Hjelmslev-Gruppen. Mannheim: BI-Wissenschafts-yayıncı. ISBN 3-411-03219-7. 
• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1963). Unvergängliche Geometrie. Wissenschaft und Kultur. 17. Basel / Stuttgart: Birkhäuser yayıncı. s. 54. MR 0692941. 
• Karzel, Helmut; Kroll, Hans-Joachim (1988). Geschichte der Geometrie seit Hilbert. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft. ISBN 3-534-08524-8. 
• Pedoe, Daniel (1970). A Course of Geometry for Colleges and Universities. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-07638-2. 

Dış bağlantılar

• Hjelmslev Teoremi 24 Ağustos 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Jay Warendorff, Wolfram Demonstrations Project.
• Hjelmslev Teoremi 23 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., cut-the-knot.org