Hofstadter noktaları

Düzlem geometrisinde, bir Hofstadter noktası her düzlem üçgen ile ilişkili özel bir noktadır. Aslında bir üçgenle ilişkili birkaç Hofstadter noktası vardır. Bunların hepsi üçgen merkezidir. Bunlardan ikisi, Hofstadter sıfır noktası ve Hofstadter bir noktası, özellikle ilginçtir. Bunlar iki aşkın üçgen merkezidir. Hofstadter sıfır noktası, X(360) olarak gösterilen merkezdir ve Hofstafter bir noktası ise Clark Kimberling'in Encyclopedia of Triangle Centers adlı eserinde X(359) olarak gösterilen merkezdir. Hofstadter sıfır noktası, 1992 yılında Douglas Hofstadter tarafından keşfedilmiştir.

Hofstadter üçgenleri

△ABC verilen bir üçgen ve r de pozitif bir reel sabit olsun.

BC doğru parçasını B etrafında rB açısı ile A'ya doğru döndürün ve L_BC bu doğru parçasını içeren doğru olsun. Sonra BC doğru parçasını C etrafında rC açısı ile A'ya doğru döndürün ve L'_BC bu doğru parçasını içeren doğru olsun. L_BC ve L'_BC doğruları A(r)'de kesişsin. Benzer şekilde B(r) ve C(r) noktaları inşa edilir. Köşeleri A(r), B(r), C(r) olan üçgen △ABC'nin Hofstadter r-üçgenidir (veya r-Hofstadter üçgenidir)

Özel durumlar

• Hofstadter 1/3-üçgeni △ABC üçgeninin △ABC ilk Morley üçgenidir. Morley üçgeni her zaman bir eşkenar üçgendir.
• Hofstadter 1/2-üçgeni basitçe üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

Hofstadter üçgenlerinin köşelerinin trilineer koordinatları

Hofstadter r-üçgeninin köşelerinin trilineer koordinatları aşağıda verilmiştir:

$${\begin{array}{ccccccc}A(r)&=&1&:&{\frac {\sin rB}{\sin(1-r)B}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(1-r)C}}\\[2pt]B(r)&=&{\frac {\sin rA}{\sin(1-r)A}}&:&1&:&{\frac {\sin rC}{\sin(1-r)C}}\\[2pt]C(r)&=&{\frac {\sin rA}{\sin(1-r)A}}&:&{\frac {\sin(1-r)B}{\sin rB}}&:&1\end{array}}$$

Hofstadter noktaları

Çeşitli Hofstadter noktalarını gösteren animasyon. H₀ Hofstadter sıfır noktasıdır. H₁ Hofstadter bir noktasıdır. Üçgenin ortasındaki küçük kırmızı yay 0 < r < 1 için Hofstadter r noktalarının lokusudur. Bu lokus, üçgenin I iç merkezinden geçer.

Pozitif bir reel sabit r > 0 için, A(r), B(r), C(r) △ABC üçgeninin Hofstadter r-üçgeni olsun. O halde AA(r), BB(r), CC(r) doğruları tek noktada kesişmektedir. Kesişme noktası, △ABC'nin Hofstdter r-noktasıdır.

Hofstadter r-noktasının trilineer koordinatları

Hofstadter r-noktasının trilineer koordinatları aşağıda verilmiştir.

$${\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}\ :\ {\frac {\sin rB}{\sin(B-rB)}}\ :\ {\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}$$

Hofstadter sıfır ve bir noktaları

Bu noktaların trilineer koordinatları, Hofstadter r-noktası için trilineer koordinat ifadelerinde r için 0 ve 1 değerlerini yerine koyarak elde edilemez.

Hofstadter sıfır noktası, r sıfıra yaklaştıkça Hofstadter r-noktasının limitidir; bu nedenle, Hofstadter sıfır noktasının trilineer koordinatları aşağıdaki gibi türetilir:

$${\begin{array}{rccccc}\displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {\sin rA}{r\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{r\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{r\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {A\sin rA}{rA\sin(A-rA)}}&:&{\frac {B\sin rB}{rB\sin(B-rB)}}&:&{\frac {C\sin rC}{rC\sin(C-rC)}}\end{array}}$$

Çünkü $\lim _{r\to 0}{\tfrac {\sin rA}{rA}}=\lim _{r\to 0}{\tfrac {\sin rB}{rB}}=\lim _{r\to 0}{\tfrac {\sin rC}{rC}}=1,$

$$\implies {\frac {A}{\sin A}}\ :\ {\frac {B}{\sin B}}\ :\ {\frac {C}{\sin C}}\quad =\quad {\frac {A}{a}}\ :\ {\frac {B}{b}}\ :\ {\frac {C}{c}}$$

Hofstadter bir noktası, r bire yaklaştıkça Hofstadter r-noktasının limitidir; bu nedenle Hofstadter bir noktasının trilineer koordinatları aşağıdaki gibi türetilir:

$${\begin{array}{rccccc}\displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {(1-r)\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {(1-r)\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {(1-r)\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {(1-r)A\sin rA}{A\sin(A-rA)}}&:&{\frac {(1-r)B\sin rB}{B\sin(B-rB)}}&:&{\frac {(1-r)C\sin rC}{C\sin(C-rC)}}\end{array}}$$

Çünkü $\lim _{r\to 1}{\tfrac {(1-r)A}{\sin(A-rA)}}=\lim _{r\to 1}{\tfrac {(1-r)B}{\sin(B-rB)}}=\lim _{r\to 1}{\tfrac {(1-r)C}{\sin(C-rC)}}=1,$

$$\implies {\frac {\sin A}{A}}\ :\ {\frac {\sin B}{B}}\ :\ {\frac {\sin C}{C}}\quad =\quad {\frac {a}{A}}\ :\ {\frac {b}{B}}\ :\ {\frac {c}{C}}$$