Jensen formülü

Jensen eşitsizliği ile karıştırılmamalıdır.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Jensen formülü holomorf bir fonksiyonun bir çember içinde kalan ve sıfır aldığı noktaların sayısıyla bu fonksiyonun aynı çember üzerindeki ortalama büyüklüğünü ilişkilendiren bir sonuçtur.

Teorem, bu formülü kanıtlayan mühendis Johan Jensen'in adını taşımaktadır.

Teoremin ifâdesi

$\Omega \subset \mathbb {C}$ sıfır noktasını da içeren bir bölge olsun ve $r>0$ yarıçaplı ve orijin merkezli $\mathbb {D} _{r}$ diskinin kapanışı $\Omega$'nın içinde kalsın. Holomorf bir $f:\Omega \to \mathbb {C}$ fonksiyonun $\mathbb {D} _{r}$ diskinin içinde sıfır değeri aldığı noktaları katlılıklarını da göz önüne alarak $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ ile gösterelim. Eğer, $f(0)\neq 0$ ise

$\log |f(0)|=-\sum _{k=1}^{n}\log \left({\frac {r}{|a_{k}|}}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta .$

Bu formül, fonksiyonun $\mathbb {D} _{r}$ içinde kalan sıfırlarının mutlak değerleri ile $\log |f(z)|$nin çember üzerindeki ortalaması arasında bir bağlantı kurar. Ayrıca, harmonik fonksiyonların ortalama değer özelliğinin bir genellemesi olarak görülebilir. Yani, eğer disk içinde fonksiyonun sıfır değeri aldığı hiçbir nokta yoksa, formül

$\log |f(0)|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta$

hâlini alır ki bu da $\log |f(z)|$ harmonik fonksiyonunun ortlama değer özelliğidir.

Jensen formülünün eşdeğer başka yazılımı ise aşağıdaki hâlde görülür. $n(t)$, $f$ fonksiyonunun sıfır merkezli ve $t$ yarıçaplı açık diskte sıfır olduğu noktaların sayısı olmak üzere,

${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta -\log |f(0)|=\int _{0}^{r}{\frac {n(t)}{t}}\,dt.$

Kanıt

Sonucu $r=1$ iken kanıtlamak yeterli olacaktır. Eğer $f$ fonksiyonunun çember üzerinde sıfır değeri aldığı $e^{i\theta _{k}}$ noktaları varsa, o zaman $g(z)={\frac {f(z)}{\prod _{k}(z-e^{i\theta _{k}})}}$ tanımlanıp $$\int _{0}^{2\pi }\ln |e^{i\theta }-e^{i\theta _{k}}|d\theta =2\int _{0}^{\pi }\ln(2\sin \theta )d\theta =0$$ gerçeğinden yola çıkarak, kanıt çemberde hiç sıfır değeri almayan $g$ fonksiyonuna indirgenebilir. Sonra, $$F(z):={\frac {f(z)}{\prod _{k=1}^{n}(z-a_{k})}}$$ fonksiyonunu ele alalım ve kaldırılabilir tekilliklerin hepsini tanımlayıp, $F$ fonksiyonunu $D(0,1+\epsilon )$ diskinin içinde holomorf ve birim diskte sıfır değeri almayan bir fonksiyon hâline getirelim. $\log |F|=Re(\log F)$ fonksiyonu harmonik olacağı için, Poisson integral formülünü kullanmak mümkün olacaktır: $$\log |F(0)|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |F(e^{i\theta })|\,d\theta ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(e^{i\theta })|\,d\theta -\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |e^{i\theta }-a_{k}|\,d\theta .$$ Sağ taraftaki integrale daha yakından bakarsak, $$\int _{0}^{2\pi }\log |e^{i\theta }-a_{k}|\,d\theta =\int _{0}^{2\pi }\log |1-a_{k}e^{-i\theta }|\,d\theta =Re\int _{0}^{2\pi }\log(1-a_{k}e^{-i\theta })\,d\theta$$ elde ederiz. Diğer taraftan, $\int _{0}^{2\pi }\log(1-a_{k}e^{-i\theta })\,d\theta$ integraline yakından bakarsak, bunun $\log(1-z)/z$ fonksiyonunun $|a_{k}|<1$ yarıçaplı çember üzerinde yazılan bir kontür integrali olduğunu gözlemleriz. $D(0,|a_{k}|)$ içinde $\log(1-z)/z$ fonksiyonunun kutbu olmadığına göre bu kontür integralinin değeri sıfıra eşittir. Böylece, $$\log |f(0)|=-\sum _{k=1}^{n}\log \left({\frac {r}{|a_{k}|}}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(e^{i\theta })|\,d\theta$$ olur.

Ayrıca bakınız

• Paley-Wiener teoremi