Kümülant

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında bir rassal değişken Xin μ = E(X) olarak ifade edilen beklenen değeri ve σ² = E((X - μ)²) olarak ifade edilen varyansı bulunur. Bunlar ilk iki kümülant olarak belirlenirler; yani

κ₁ = μ ve κ² = σ².

n tane kümülant κ_n bir 'kümülant üreten fonksiyon tarafından belirlenir; bu fonksiyon g(t) olarak şöyle ifade edilebilir:

$g(t)=\log(E(e^{t\cdot X}))=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\mu t+\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .$

Bu fonksiyonun türevleri var olduğu kabul edilirse, kümülantlar g(t) fonksiyonunun (sıfırda) türevleri ile şöyle verilir:

κ₁ = μ = g' (0),

κ₂ = σ² = g' '(0),

κ_n = g⁽ⁿ⁾ (0).

κ_n kümülantlari verilmiş olan bir olasılık dağılımı Edgeworth serileri açılımı suretiyle yaklaşık olarak bulunabilir.

Tarihçe

Kümülant kavramı 1889'da Danimarkalı matematikçi ve istatistikçi Thorvald N. Thiele (1838 - 1910) tarafından yarı-değişmezler adı altında ortaya atılmıştır. Kümülant adı ilk defa İngiliz istatistikçisi Ronald Fisher tarafından ortaya atılıp sonradan bu kavram Fisher ve İngiliz istatistikçi Wishart tarafından geliştirilmiştir.

Momentler ve kümülantlar

Bir olasılık dağılımı için kümülantlar o dağılımın momentleri ile yakından ilişkilidir. Kümülant kavramının geliştirilmesi ve bunların momentler kavramına pratik kullanımda tercih edilmesi nedeni bağımsız iki rassal değişken X ve Y için şu ifadenin bulunmasına bağlıdır;

$g_{X+Y}(t)=\log(E(e^{t\cdot (X+Y)}))=\log(E(e^{tX})\cdot E(e^{tY}))=\log(E(e^{tX}))+\log(E(e^{tY}))=g_{X}(t)+g_{Y}(t)\,.$

Böylece her kümülant daha önce toplam olarak elde edilmiş karşıt kümülantların toplamının bir toplamı olur.

Moment üreten fonksiyon şöyle verilir:

$1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu '_{n}t^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}t^{n}}{n!}}\right)=\exp(g(t)).$

Böylece kümülant üreten fonksiyon moment üreten fonksiyonun logaritmasıdır.

Birinci kümülant beklenen değer; ikinci kümülant varyans ve ikinci ve üçüncü kümülant merkezsel momentler olur. Ancak daha yüksek derecede kümülantlar ne momentler ne de merkezsel momentlere karşıttırlar.

Kümülantlar momentlere şu (yineleme) formülü ile bağlıdırlar:

$\kappa _{n}=\mu '_{n}-\sum _{k=1}^{n-1}{n-1 \choose k-1}\kappa _{k}\mu _{n-k}'.$

ninci moment μ′_n ilk n kümülant ile kurulmuş ninci derece bir polinomdur; yani (Bunun katsayıları hep pozitif olur ve Faà di Bruno'nin formülünde bulunan katsayılardır.)

$\mu '_{1}=\kappa _{1}\,$

$\mu '_{2}=\kappa _{2}+\kappa _{1}^{2}\,$

$\mu '_{3}=\kappa _{3}+3\kappa _{2}\kappa _{1}+\kappa _{1}^{3}\,$

$\mu '_{4}=\kappa _{4}+4\kappa _{3}\kappa _{1}+3\kappa _{2}^{2}+6\kappa _{2}\kappa _{1}^{2}+\kappa _{1}^{4}\,$

$\mu '_{5}=\kappa _{5}+5\kappa _{4}\kappa _{1}+10\kappa _{3}\kappa _{2}+10\kappa _{3}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}+10\kappa _{2}\kappa _{1}^{3}+\kappa _{1}^{5}\,$

$\mu '_{6}=\kappa _{6}+6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+10\kappa _{3}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+20\kappa _{3}\kappa _{1}^{3}+15\kappa _{2}^{3}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}+\kappa _{1}^{6}.\,$

Merkezsel momentler olan μ_n (DIKKAT μ′_n DEĞIL) ile kümülant bağlılığı şöyledir:

$\mu _{1}=0\,$

$\mu _{2}=\kappa _{2}\,$

$\mu _{3}=\kappa _{3}\,$

$\mu _{4}=\kappa _{4}+3\kappa _{2}^{2}\,$

$\mu _{5}=\kappa _{5}+10\kappa _{3}\kappa _{2}\,$

$\mu _{6}=\kappa _{6}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+10\kappa _{3}^{2}+15\kappa _{2}^{3}.\,$

Karakteristik fonksiyon ve kümülantlar

Bazı istatistikçiler kümülant üreten fonksiyonu başka bir yol kullanarak karakteristik fonksiyonlar yoluyla şöyle tanımlamayı tercih ederler.

$h(t)=\log(E(e^{itX}))=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}\cdot {\frac {(it)^{n}}{n!}}=\mu it-\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .\,$

Bu türlü tanımlamanın avantajı eğer daha yüksek derecelerde momentler bulunmasa bile uygun kümülantlarin elde edilmesini sağlamasıdır.

Ayrıca bakınız

• Momentler
• Merkezsel moment
• Moment üreten fonksiyon

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Cumulant (MathWorld)
• [1]10 Haziran 2001 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Kumulant - bazı matematiksel sözcük ve ifadelerin ilk kullanışları.