Olasılık yoğunluk fonksiyonu - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 Ayrık dağılım ile sürekli dağılım arasındaki bağlantı
  • 2 Matematiksel olmayan olasılık yoğunluk tanımı
  • 3 Moment, beklenen değer ve varyans
  • 4 Çoklu değişkenlerle ilişkili olasılık fonksiyonu
    • 4.1 Bağımsızlık
    • 4.2 Örneğin
  • 5 Kaynakça
  • 6 Ayrıca bakınız

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

  • العربية
  • Asturianu
  • Беларуская
  • Български
  • Català
  • Čeština
  • Чӑвашла
  • Dansk
  • Deutsch
  • Ελληνικά
  • English
  • Esperanto
  • Español
  • Eesti
  • Euskara
  • فارسی
  • Suomi
  • Français
  • Galego
  • עברית
  • Hrvatski
  • Magyar
  • Հայերեն
  • Bahasa Indonesia
  • Ido
  • Íslenska
  • İtaliano
  • 日本語
  • ქართული
  • Қазақша
  • 한국어
  • Latviešu
  • Bahasa Melayu
  • Nederlands
  • Norsk nynorsk
  • Norsk bokmål
  • Polski
  • Português
  • Русский
  • Srpskohrvatski / српскохрватски
  • Simple English
  • Slovenščina
  • Shqip
  • Српски / srpski
  • Sunda
  • Svenska
  • ไทย
  • Українська
  • Oʻzbekcha / ўзбекча
  • Tiếng Việt
  • 中文
  • 粵語
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında bir rassal değişken X için olasılık yoğunluk fonksiyonu bir reel sayılı sürekli fonksiyonu olup f ile ifade edilir ve şu özellikleri olması gereklidir:

  • R {\displaystyle \mathbb {R} } {\displaystyle \mathbb {R} } üzerinde pozitif veya sıfır değerleri alır;
  • R {\displaystyle \mathbb {R} } {\displaystyle \mathbb {R} } üzerinde integral değeri bulunabilir;
  • ∫ R f ( x ) d x = 1 {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f(x)\,dx=1} {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f(x)\,dx=1} koşuluna uyar, yani eğri altındaki tüm alan bire eşittir.

Xin a ve b değerleri arasındaki olasılık, yani P ( a < X ≤ b ) {\displaystyle P(a<X\leq b)} {\displaystyle P(a<X\leq b)} şu ifade kullanılarak hesaplanır:

P ( a < X ≤ b ) = ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle P\left(a<X\leq b\right)=\int _{a}^{b}f\left(x\right)\,dx} {\displaystyle P\left(a<X\leq b\right)=\int _{a}^{b}f\left(x\right)\,dx}

Yani olasılık değeri f(x) integralini P ( a < X < b ) {\displaystyle P(a<X<b)} {\displaystyle P(a<X<b)} f(x) fonksiyonunu X=a ve X=b değerleri arasında entegrasyonu ile elde edilir.

Örneğin: X rassal değişkeninin [4.3,7.8] aralığında olasılık şöyle bulunur:

Pr ( 4.3 ≤ X ≤ 7.8 ) = ∫ 4.3 7.8 f ( x ) d x . {\displaystyle \Pr(4.3\leq X\leq 7.8)=\int _{4.3}^{7.8}f(x)\,dx.} {\displaystyle \Pr(4.3\leq X\leq 7.8)=\int _{4.3}^{7.8}f(x)\,dx.}

Ayrık dağılım ile sürekli dağılım arasındaki bağlantı

[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu maddenin başlangıcında verilmiş olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımın bir sürekli dağılım ile ilişkili değişkenin [a; b] aralığı ile ilişkili çift-değerli ayrık değişkenler seti kullanılarak yapılmıştır.

Diğer bazı aralıklı rassal değişkenleri temsili, Dirac delta fonksiyonu aracılığı ile olasılığın yoğunluğun bulunması suretiyle de yapılabilir. Örneğin, bir çift-değerli her biri ½ olasılığı olan -1 ve 1 değerli bir rassal değişken ele alınsın. Bu değişkenle ilişkili olasılık yoğunluğu şöyle verilir:

f ( t ) = 1 2 ( δ ( t + 1 ) + δ ( t − 1 ) ) . {\displaystyle f(t)={\frac {1}{2}}(\delta (t+1)+\delta (t-1)).} {\displaystyle f(t)={\frac {1}{2}}(\delta (t+1)+\delta (t-1)).}

Daha genel olarak, eğer bir ayrık değişken reel sayılar arasından 'n' tane değişik değer alınsın; o halde bunlarla ilişkili olasılık yoğunluk fonksiyonu şudur:

f ( t ) = ∑ i = 1 n P i δ ( t − x i ) , {\displaystyle f(t)=\sum _{i=1}^{n}P_{i}\,\delta (t-x_{i}),} {\displaystyle f(t)=\sum _{i=1}^{n}P_{i}\,\delta (t-x_{i}),}

Burada x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} değişken ait değerler olur ve P 1 , … , P n {\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}} {\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}} bu değerlerle ilişkili olasılıklardır.

Bu ifade bir ayrık değişken için istatistiksel özellikleri (örneğin ortalama, varyans, çarpıklık, basıklık) sürekli dağılım için geliştirilmiş formülleri kullanarak hesaba başlayarak sonuçların bulunmasını sağlar.

Matematiksel olmayan olasılık yoğunluk tanımı

[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir olasılık dağılımı için yoğunluk fonksiyonu ancak ve ancak yığmalı dağılım fonksiyonu F(x) mutlak süreklilik gösteriyorsa mümkündür. Bu halde F için nerede ise her yerde türev bulunabilir ve F için alınan birinci türev olasılık ile yoğunluk şöyle bulunur:

d d x F ( x ) = f ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}F(x)=f(x)} {\displaystyle {\frac {d}{dx}}F(x)=f(x)}

Eğer bir olasılık dağılım için yoğunluk bulunması mümkün ise rassal değişken için her bir nokta değer (a) için olasılık 0 olacaktır.

Her olasılık dağılımı için bir yoğunluk fonksiyonu bulunamaz. Başta ayrık rassal değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonu yoktur. Hiçbir noktaya pozitif olasılık vermeyen, yani hiç aralık parçası olmayan Kantor dağılımı için de yoğunluk fonksiyonu bulunmaz.

Bir yığmalı dağılım fonksiyonunun türevi ile olasılık yoğunluk fonksiyonu arasındaki ilişkinin karmaşık matematik biçimlerden biraz aranmış açıklaması istatistiksel fizik dalında geliştirilmiştir ve bu genellikle olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımı olarak kullanılabilir. Bu tanım şöyle yapılır:

dt sonsuz derece küçük bir sayı olarak alınsın. X {\displaystyle X} {\displaystyle X}in (t, t + dt) aralığında bulunacağı f ( t ) d t {\displaystyle f(t)\,dt} {\displaystyle f(t)\,dt} ifadesine eşittir; yani

Pr ( t < X < t + d t ) = f ( t ) d t   {\displaystyle \Pr(t<X<t+dt)=f(t)\,dt~} {\displaystyle \Pr(t<X<t+dt)=f(t)\,dt~}

Moment, beklenen değer ve varyans

[değiştir | kaynağı değiştir]

Sürekli X rassal değişkeni için ninci momenti E(Xn) gösterilip şu ifade ile verilir:

E ( X n ) = ∫ − ∞ ∞ x n f X ( x ) d x , {\displaystyle E(X^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}f_{X}(x)\,dx,} {\displaystyle E(X^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}f_{X}(x)\,dx,}

Beklenen değer o zaman birinci moment olup şöyle verilir:

E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x . f ( x ) d x {\displaystyle E\left(X\right)=\int _{-\infty }^{\infty }x.f(x)\,dx} {\displaystyle E\left(X\right)=\int _{-\infty }^{\infty }x.f(x)\,dx}

Varyans ise şöyle verilir:

var ⁡ ( X ) = E ( X − E ( X ) ) 2 = ∫ − ∞ ∞ ( x − E ( X ) ) 2 f X ( x ) d x {\displaystyle \operatorname {var} (X)=E(X-E(X))^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-E(X))^{2}f_{X}(x)\,dx} {\displaystyle \operatorname {var} (X)=E(X-E(X))^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-E(X))^{2}f_{X}(x)\,dx}

Bu ifade açılırsa

V ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 {\displaystyle V\left(X\right)=E\left(X^{2}\right)-\left[E\left(X\right)\right]^{2}} {\displaystyle V\left(X\right)=E\left(X^{2}\right)-\left[E\left(X\right)\right]^{2}}

olur.

Çoklu değişkenlerle ilişkili olasılık fonksiyonu

[değiştir | kaynağı değiştir]

Sürekli rassal değişkenler olan X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}} {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}} için, bu değişkenlerinin tümünü kapsayan rassal vektör için bir olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımlamak mümkündür. Buna ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu adı verilir. n değişkenli bu yoğunluk fonksiyonu matematik notasyon biçimleriyle şöyle tanımlanır. X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}} {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}} değişkenlerin değerleriyle tanımlanan n-boyutlu uzayda bulunan herhangi bir D sahası alınsın; bu değişken setinin D sahası içine düşen bir realizasyonun bulunacağının olasılığı şöyle verilir:

Pr ( X 1 , … , X N ∈ D ) = ∫ D f X 1 , … , X n ( x 1 , … , x N ) d x 1 ⋯ d x N . {\displaystyle \Pr \left(X_{1},\ldots ,X_{N}\in D\right)=\int _{D}f_{X_{1},\dots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{N})\,dx_{1}\cdots dx_{N}.} {\displaystyle \Pr \left(X_{1},\ldots ,X_{N}\in D\right)=\int _{D}f_{X_{1},\dots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{N})\,dx_{1}\cdots dx_{N}.}

i=1, 2, ...,n için tek bir değişken X i {\displaystyle X_{i}} {\displaystyle X_{i}} ile ilişkili olasılık yoğunluk fonksiyonu f X i ( x i ) {\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})} {\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})} olarak ifade edilsin. Bu olasılık yoğunluğu X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}} {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}} rassal değişkenlerle ilişkili olasılık yoğunluklarından n - 1 tane diğer değişkenlerle entegrasyonu suretiyle elde edilir:

f X i ( x i ) = ∫ f ( x 1 , … , x n ) d x 1 ⋯ d x i − 1 d x i + 1 ⋯ d x n {\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})=\int f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{i-1}\,dx_{i+1}\cdots dx_{n}} {\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})=\int f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{i-1}\,dx_{i+1}\cdots dx_{n}}

Bağımsızlık

[değiştir | kaynağı değiştir]

Sürekli rassal değişken olan X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}} {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}} birbirlerinden bağımsız olmaları için

f X 1 , … , X n ( x 1 , … , x N ) = f X 1 ( x 1 ) ⋯ f X n ( x n ) . {\displaystyle f_{X_{1},\dots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{N})=f_{X_{1}}(x_{1})\cdots f_{X_{n}}(x_{n}).} {\displaystyle f_{X_{1},\dots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{N})=f_{X_{1}}(x_{1})\cdots f_{X_{n}}(x_{n}).}

koşuluna tam olarak uymaları gerekir.

Eğer n elemanlı bir rassal değişken vektörünün ortak olasılık dağılımı tek bir değişken için n değişik fonksiyona faktörize edilebilirse; yani

f X 1 , … , X n ( x 1 , … , x n ) = f 1 ( x 1 ) ⋯ f n ( x n ) , {\displaystyle f_{X_{1},\dots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n}),} {\displaystyle f_{X_{1},\dots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n}),}

ise, o halde, n değişkenin hepsi birbirlerinden bağımsızlık gösteriyor demektir. Bu halde her bir fonksiyon için marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle verilir:

f X i ( x i ) = f i ( y i ) ∫ f i ( x ) d x . {\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})={\frac {f_{i}(y_{i})}{\int f_{i}(x)\,dx}}.} {\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})={\frac {f_{i}(y_{i})}{\int f_{i}(x)\,dx}}.}

Örneğin

[değiştir | kaynağı değiştir]

Çoklu boyutlu olasılık yoğunluk fonksiyonlarının verilen tanımını biraz daha açığa kavuşturmak için basit bir örneğin alınsın; bu iki bilinmeyenli bir rassal vektör olsun. Koordinatları ( X , Y ) {\displaystyle (X,Y)} {\displaystyle (X,Y)} olan iki boyutlu rassal vektör, R → {\displaystyle {\vec {R}}} {\displaystyle {\vec {R}}} olarak isimlendirilsin. Pozitif x ve pozitif y kuadrantları içinde R → {\displaystyle {\vec {R}}} {\displaystyle {\vec {R}}} için olasılık elde etmek şöyle

Pr ( X > 0 , Y > 0 ) = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ f X , Y ( x , y ) d x d y . {\displaystyle \Pr \left(X>0,Y>0\right)=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy.} {\displaystyle \Pr \left(X>0,Y>0\right)=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy.}

olur.

Kaynakça

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • de Laplace, Pierre Simon (1812). Théorie Analytique des Probabilités. 
fr: İlk defa olasılık kuramı ile değişkenler hesabını bileştiren temel eser.
  • Kolmogorov, Andrei Nikolajevich (1933). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung. 
de:Olasılık kuramının ilk defa modern ölçü-teorisi temeline konulması. İngilizce tercümesi Foundations of the Theory of Probability olarak 1950de yayınlanmıştır.

Ayrıca bakınız

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Olasılık dağılımı
  • Olasılık kütle fonksiyonu
  • Rassal değişken
  • g
  • t
  • d
Olasılık dağılımlar kuramı
Olasılık kütle fonksiyonu · Olasılık yoğunluk fonksiyonu · Birikimli dağılım fonksiyonu · Kuantil fonksiyonu
Moment (matematik) · Merkezsel moment · Beklenen değer · Varyans · Standart sapma · Çarpıklık · Basıklık
Moment üreten fonksiyon · Karakteristik fonksiyon · Olasılık üreten fonksiyon · Kümülant
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Olasılık_yoğunluk_fonksiyonu&oldid=35788092" sayfasından alınmıştır
Kategori:
  • Olasılık dağılımlar teorisi
  • Sayfa en son 15.10, 8 Ağustos 2025 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Konu ekle