Koebe dörtte bir teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Koebe dörtte bir teoremi, yalınkat fonksiyonların görüntü kümelerinin boyutuyla ilgili bir sonuçtur. Teorem, 1907'de sonucu hipotez olarak öne süren Paul Koebe'nin adını taşımaktadır. İspât, 1916 yılında Ludwig Bieberbach tarafından verilmiştir.

Buna benzer başka sonuç Schwarz önsavıdır. Her ikisiyle alâkalı bir kavram ise açıkorururluk yarıçapıdır.

Teoremin ifadesi

$\mathbf {D}$, karmaşık düzlemde birim disk, $f:\mathbf {D} \to \mathbb {C}$ ise yalınkat bir fonksiyon olsun. O zaman, $f(0)$ merkezli ve $|f'(0)|/4$ yarıçaplı disk, $f(\mathbf {D} )$ görüntü kümesinin içinde yer alır.

Teoremdeki $1/4$ sabiti Koebe fonksiyonu tarafından verildiği için en iyi kestirimdir.

Koebe fonksiyonu

Koebe fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanır:

$f(z)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nz^{n}$

Serinin yakınsaklık bölgesi $z=1$ noktasındaki tekillikten dolayı birim disktir. Ayrıca, basit bir hesapla, $f(0)=$ ve $f'(0)=1$ olduğu elde edilebilir. Diğer taraftan, fonksiyonun holomorf olduğu açıktır ve türevi üzerinden fonksiyonun birebirliği de hemen elde edilir. Diğer deyişle, Koebe fonksiyonu yalınkat fonksiyondur.

Ayrıca, ${\frac {z}{(1-z)^{2}}}=-{\frac {1}{4}}$ eşitliğinin tek çözüm kümesi $z=-1$den oluşur. Bu yüzden, $f(\mathbf {D} )$ kümesi merkezi orijin olan ve yarıçapı ${\frac {1}{4}}$ten büyük olan bir diski içeremez.

Döndürülmüş Koebe fonksiyonu ise

$f_{\alpha }(z)={\frac {z}{(1-\alpha z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }n\alpha ^{n-1}z^{n}$

tarafından verilir. Koebe fonksiyonu ve tüm döndürülmüş fonksiyonları schlichttir; yani, bu fonksiyonlar, birebir holomorf fonksiyonlardır ve $f(0)=0$, $f'(0)=1$ özelliklerine sahiplerdir.

Bieberbach eşitsizliği

Birim diskte yalınkat olan

$g(z)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots$

fonksiyonunu ele alalım. O zaman, Bieberbach eşitsizliğine göre

$|a_{2}|\leq 2$

olmalıdır.

Eşitsizliğin ispatı Grönwall alan teoreminin

$g(z^{-2})^{-1/2}=z-{1 \over 2}a_{2}z^{-1}+\cdots .$

fonksiyonuna uygulanmasından geçer. Burada eşitlik ancak ve ancak $g$ döndürülmüş bir Koebe fonksiyonuysa elde edilir. Bu sonuç, Bieberbach tarafından 1916 yılında kanıtlanmıştır. Sadece $a_{2}$ için değil de bütün $n$ler için

${\text{her bir }}n\geq 2{\text{ için}},\quad |a_{n}|\leq n$

olduğunu iddia eden ünlü Bieberbach hipotezinin kaynağı bu sonuca dayanmaktadır. Bieberbach hipotezi, 1985 yılında Louis de Branges tarafından kanıtlanmıştır ve sonuç artık De Branges teoremi olarak bilinmektedir.

Kanıt

Fonksiyonu öteleyerek ya da berileyerek ve gerekirse döndürerek ve ölçekleyerek

$f(0)=0,\,\,\,f^{\prime }(0)=1,$

olduğunu varsayabiliriz. O zaman,

$f(z)=z+a_{2}z^{2}+\cdots$

yazılabilir. Bu halde, Bieberbach eşitsizliğinden, $|a_{2}|\leq 2$ olacaktır. Eğer $w$ sayısı, $f(\mathbf {D} )$ kümesinin içinde değilse,

$h(z)={wf(z) \over w-f(z)}=z+(a_{2}+w^{-1})z^{2}+\cdots$

fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyon, birim disk içinde yalınkat olacaktır. Bieberbach eşitsizliğinden elde edilen sonucu kullanarak

$|w|^{-1}=|w^{-1}|=|-a_{2}+a_{2}+w^{-1}|\leq |a_{2}|+|a_{2}+w^{-1}|\leq 4$

elde edilir. Böylelikle,

$|w|\geq {1 \over 4}$

olur.

Koebe büyüme ve bozulma teoremi

Yalınkat fonksiyonların nasıl büyüyebileceğini ve birim diskteki basit eğri ve doğruların, hatta açıların, yalınkat fonksiyonların gönderimi altında nasıl çabukça bozulabileceğini kontrol eden sonuçlar yine Koebe ismi altında incelenir. Bu sonuçlar, doğrudan Bieberbach eşitsizliği ve Koebe dörtte bir teoremi kullanılarak elde edilebilir.

$f(z)$ fonksiyonu $|z|<1$ üzerinde yalınkat olsun. Ayrıca, $f(0)=0$ ve $f'(0)=1$ özellikleri sağlansın ve $r=|z|$ olsun. O zaman,

1. ${r \over (1+r)^{2}}\leq |f(z)|\leq {r \over (1-r)^{2}}$
3. ${1-r \over (1+r)^{3}}\leq |f^{\prime }(z)|\leq {1+r \over (1-r)^{3}}$
5. ${1-r \over 1+r}\leq \left|z{f^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leq {1+r \over 1-r}$

eşitsizlikleri vardır. Dahası, eşitlik durumları ancak ve ancak $f$ fonksiyonu döndürülmüş bir Koebe fonksiyonuysa sağlanır; yani,

$f(z)={z \over (1-e^{i\theta }z)^{2}}$

olursa eşitlikler elde edilir.

Ayrıca bakınız

• Grönwall alan teoremi