Beklenen değer - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 Tanım
    • 1.1 Pratik örneklerle belirleme
    • 1.2 Matematiksel tanım
  • 2 Özellikler
    • 2.1 Sabitler
    • 2.2 Monotonluk
    • 2.3 Doğrusallık
    • 2.4 Yinelenmiş beklenti
      • 2.4.1 Ayrık rassal değişken için yinelenmiş beklenti
      • 2.4.2 Sürekli rassal değişken için yinelenmiş beklenti
    • 2.5 Eşitsizlik
    • 2.6 Simgelenme
    • 2.7 Çarpımsallık özelliği olmama
    • 2.8 Fonksiyonel daimilik olmaması
  • 3 Matrisler için beklenti
  • 4 Ayrıca bakınız
  • 5 Dış bağlantılar

Beklenen değer

  • العربية
  • Asturianu
  • Беларуская
  • Български
  • Català
  • Čeština
  • Чӑвашла
  • Dansk
  • Deutsch
  • Ελληνικά
  • English
  • Esperanto
  • Español
  • Eesti
  • Euskara
  • فارسی
  • Suomi
  • Français
  • Galego
  • עברית
  • हिन्दी
  • Magyar
  • Հայերեն
  • Bahasa Indonesia
  • Íslenska
  • İtaliano
  • 日本語
  • ქართული
  • 한국어
  • Latviešu
  • Македонски
  • Bahasa Melayu
  • Nederlands
  • Norsk nynorsk
  • Norsk bokmål
  • Polski
  • Português
  • Русский
  • Simple English
  • Slovenčina
  • Slovenščina
  • Shqip
  • Српски / srpski
  • Sunda
  • Svenska
  • தமிழ்
  • ไทย
  • Tagalog
  • Українська
  • اردو
  • Tiếng Việt
  • 吴语
  • Хальмг
  • 中文
  • 閩南語 / Bân-lâm-gí
  • 粵語
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi
(Matematiksel beklenti sayfasından yönlendirildi)
İstatistik dizisinin bir parçası
Olasılık teorisi
  • Olasılık
    • Aksiyomlar
  • Determinizm
    • Sistem
  • Belirlenimsizlik
  • Rastgelelik
  • Olasılık uzayı
  • Örnek uzayı
  • Olay
    • Birlikte kapsayıcı olaylar
    • Temel olay
    • Karşılıklı dışarlayan
    • Sonuç
    • Tek nesne
  • Deney
    • Bernoulli deneyi
  • Olasılık dağılımı
    • Bernoulli dağılımı
    • Binom dağılımı
    • Normal dağılım
  • Olasılık ölçümü
  • Rasgele değişken
    • Bernoulli denemesi
    • Sürekli veya kesikli
    • Beklenen değer
    • Markov zinciri
    • Gözlemlenen değer
    • Rastgele yürüyüş
    • Stokastik süreç
  • Tümleyen olay
  • Ortak olasılık
  • Marjinal olasılık
  • Koşullu olasılık
  • Bağımsızlık
  • Koşullu bağımsızlık
  • Toplam olasılık yasası
  • Büyük sayılar yasası
  • Bayes teoremi
  • Boole eşitsizliği
  • Venn şeması
  • Ağaç şeması
  • g
  • t
  • d

Olasılık kuramı bilim dalında matematiksel beklenti veya beklenen değer veya ortalama birçok defa tekrarlanan ve her tekrarda mümkün tüm olasılıklarını değiştirmeyen rastgele deneyler sonuçlarından beklenen ortalama değeri temsil eder. Bir ayrık rassal değişkennin alabileceği bütün sonuç değerlerin (bazen ödemelerin) olasılıklarıyla çarpılması ve bu işlemin bütün değerler üzerinden toplanmasıyla elde edilen değerdir. Bir sürekli rassal değişken için rassal değişken ile olasılık yoğunluk fonksiyonunun çarpımının aralığı belirsiz integralidir. Fakat dikkat edilmelidir ki bu değerin genel pratik anlamla rasyonel olarak beklenmesi pek uygun olmayabilir, çünkü matematiksel beklentiin olasılığı çok düşük belki sıfıra çok yakın olabilir ve hatta pratikte matematiksel beklenti bulunmaz. Ağırlıklı ortalama olarak da düşünülebilir ki değerler ağırlık katsayıları verilen olasılık kütle fonksiyonu veya olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

Tanım

[değiştir | kaynağı değiştir]

Pratik örneklerle belirleme

[değiştir | kaynağı değiştir]

Matematiksel beklenti, beklenen değer işlemcisi E ile gösterilir. Hileli/ yanlı olmayan bir altı-yüzlü zar atılırsa mümkün değerler (1 2 3 ...6) olup her bir değerin olasılığı (1/6) olur. Böylece tek bir zar atımı için matematiksel beklenti

E ⁡ ( X ) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 6 = 3 , 5 {\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3,5} {\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3,5}

olur. Dikkat edilirse bu beklenen değer kesirsel olup gerçekte mümkün olan bir sonuç değildir.

Matematiksel beklenti kavramının pratikte çok kullanıldığı bir alan kumar oyunlarıdır. Bir Amerikan tipi rulet oyunu tekerleğinde dönen ufak topun her birine aynı olasılıkla girip kalabileceği numara verilmiş 38 küçük delik vardır. Eğer topun gireceği deliğin numarası için bahse girilirse ve bu bahiste doğru bilişte kazanç bahis-olasılığı ile 35-te-1 olur; yani sonuç bahisin 36 misli olup koyulan para kaybedilmeyip 35 misli daha kazanç sağlanır. Her bir sonuça bahis için iki mümkün olay kaybetme veya kazanma ve bu iki mümkün olay için (kumar için çok kere bahis-olasılığı ile ifade edilen) olasılık vardır. Toplam mümkün 38 tane sonuç olabileceğine göre, tek bir numaraya 1TL konulursa kazancın beklenen değerini bulmak için önce kaybetme para değeri ile kaybetme bahis-olasılığı çarpımı; sonra kazanma para değeri ile kazanma bahis-olasılığı çarpımı bulunup bu ikisinin toplamı alınır; yani

E ⁡ ( X ) = ( − 1 T L × 37 38 ) + ( 35 T L × 1 38 ) ≈ − 0.0526 T L . {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\left(-1TL\times {\frac {37}{38}}\right)+\left(35TL\times {\frac {1}{38}}\right)\approx -0.0526TL.} {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\left(-1TL\times {\frac {37}{38}}\right)+\left(35TL\times {\frac {1}{38}}\right)\approx -0.0526TL.}

1TL bahis için mali durumdaki değişme, kaybedince -1TL ve kazanınca 35TL olur. Böylece, ortalama olarak, her yapılan 1TL değerde bahis için zarar 5 kuruşu biraz geçecektir ve 1TLlik bahsin matematiksel beklentisi 0,9474TL olacaktır. Kumar oyunlarında, bir oyun için beklenen değer bahse koyulan değere eşitse (yani kumar oynayanın beklenen değeri 0 ise) o kumar oyunu "adil oyun" diye isimlendirilir.

Matematiksel tanım

[değiştir | kaynağı değiştir]

Genel olarak, eğer X {\displaystyle X\,} {\displaystyle X\,} ( Ω , Σ , P ) {\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)\,} {\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)\,} olan bir olasılık uzayı içinde bir rassal değişken ise, o halde X {\displaystyle X\,} {\displaystyle X\,}in matematiksel beklentisi, notasyon olarak değer işlemcisi E kullanarak, E ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {E} (X)\,} {\displaystyle \operatorname {E} (X)\,} veya bazen ⟨ X ⟩ {\displaystyle \langle X\rangle } {\displaystyle \langle X\rangle } veya E ( X ) {\displaystyle \mathbb {E} (X)} {\displaystyle \mathbb {E} (X)} olarak yazılır ve şöyle tanımlanır:

E ⁡ ( X ) = ∫ Ω X d ⁡ P {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X\,\operatorname {d} P} {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X\,\operatorname {d} P}

Burada Lebesgue entegrasyonu uygulanmıştır. Dikkat edilmelidir ki bütün rassal değişkenler için matematiksel beklenti değeri bulunmaz; bu entegral bulunmayıp anlamsız ise (örneğin Cauchy dağılımı için) o halde beklenen değer de tanımlanamaz ve anlamsızdır. Ayni olasılık dağılımı gösteren iki rassal değişken için matematiksel beklenti aynıdır.

Eğer X {\displaystyle X} {\displaystyle X} bir olasılık kütle fonksiyonu p ( x ) {\displaystyle p(x)} {\displaystyle p(x)} olan bir ayrık rassal değişken ise, o halde beklenen değer şu olur:

E ⁡ ( X ) = ∑ i x i p ( x i ) {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}x_{i}p(x_{i})\,} {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}x_{i}p(x_{i})\,}

Eğer X {\displaystyle X} {\displaystyle X} bir sürekli rassal değişken olup olasılık yoğunluk fonksiyonu f ( x ) {\displaystyle f(x)} {\displaystyle f(x)} ise, o halde matematiksel beklenti veya beklenen değer şöyle bulunur:

E ⁡ ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d ⁡ x . {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\operatorname {d} x.} {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\operatorname {d} x.}

Olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) olan rassal değişken X için herhangi bir rastgele seçilmiş fonksiyon g(X) için matematiksel beklenti veya beklenen değer şöyle verilir:

E ⁡ ( g ( X ) ) = ∫ − ∞ ∞ g ( x ) f ( x ) d ⁡ x . {\displaystyle \operatorname {E} (g(X))=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)\,\operatorname {d} x.} {\displaystyle \operatorname {E} (g(X))=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)\,\operatorname {d} x.}

Özellikler

[değiştir | kaynağı değiştir]

Sabitler

[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir sabit k için matematiksel beklenti veya beklenen değer sabitin kendi değerine eşittir:

E ⁡ ( k ) = k : k ∈ R {\displaystyle \operatorname {E} (k)=k:k\in \mathbb {R} } {\displaystyle \operatorname {E} (k)=k:k\in \mathbb {R} }

Monotonluk

[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer X ve Y iki rassal değişken ve X ≤ Y {\displaystyle X\leq Y} {\displaystyle X\leq Y} geçerli ise, o halde

E ⁡ ( X ) ≤ E ⁡ ( Y ) {\displaystyle \operatorname {E} (X)\leq \operatorname {E} (Y)} {\displaystyle \operatorname {E} (X)\leq \operatorname {E} (Y)}.

olur.

Doğrusallık

[değiştir | kaynağı değiştir]

Beklenen değer işlemcisi E {\displaystyle \operatorname {E} } {\displaystyle \operatorname {E} } şu anlamlarda doğrusal olur:

E ⁡ ( X + c ) = E ⁡ ( X ) + c {\displaystyle \operatorname {E} (X+c)=\operatorname {E} (X)+c\,} {\displaystyle \operatorname {E} (X+c)=\operatorname {E} (X)+c\,};
E ⁡ ( X + Y ) = E ⁡ ( X ) + E ⁡ ( Y ) {\displaystyle \operatorname {E} (X+Y)=\operatorname {E} (X)+\operatorname {E} (Y)\,} {\displaystyle \operatorname {E} (X+Y)=\operatorname {E} (X)+\operatorname {E} (Y)\,};
E ⁡ ( a X ) = a E ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {E} (aX)=a\operatorname {E} (X)\,} {\displaystyle \operatorname {E} (aX)=a\operatorname {E} (X)\,}

Bu üç denklem sonuçları birleştirilirse şu ifadeler bulunur:

E ⁡ ( a X + b ) = a E ⁡ ( X ) + b {\displaystyle \operatorname {E} (aX+b)=a\operatorname {E} (X)+b\,} {\displaystyle \operatorname {E} (aX+b)=a\operatorname {E} (X)+b\,}
E ⁡ ( a X + b Y ) = a E ⁡ ( X ) + b E ⁡ ( Y ) {\displaystyle \operatorname {E} (aX+bY)=a\operatorname {E} (X)+b\operatorname {E} (Y)\,} {\displaystyle \operatorname {E} (aX+bY)=a\operatorname {E} (X)+b\operatorname {E} (Y)\,}

Burada X {\displaystyle X} {\displaystyle X} ile Y {\displaystyle Y} {\displaystyle Y} aynı olasılık uzayında bulunan rassal değişkenler ve a {\displaystyle a} {\displaystyle a} ile b {\displaystyle b} {\displaystyle b} reel sayılardır.

Yinelenmiş beklenti

[değiştir | kaynağı değiştir]

Ayrık rassal değişken için yinelenmiş beklenti

[değiştir | kaynağı değiştir]

Herhangi iki ayrık rassal değişken X , Y {\displaystyle X,Y} {\displaystyle X,Y} için koşullu beklenti şöyle tanımlanabilir:

E ⁡ ( X | Y ) ( y ) = E ⁡ ( X | Y = y ) = ∑ x x ⋅ P ⁡ ( X = x | Y = y ) . {\displaystyle \operatorname {E} (X|Y)(y)=\operatorname {E} (X|Y=y)=\sum \limits _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x|Y=y).} {\displaystyle \operatorname {E} (X|Y)(y)=\operatorname {E} (X|Y=y)=\sum \limits _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x|Y=y).}

Bundan E ⁡ ( X | Y ) ( y ) {\displaystyle \operatorname {E} (X|Y)(y)} {\displaystyle \operatorname {E} (X|Y)(y)} ifadesinin y {\displaystyle y} {\displaystyle y} üzerinde bir fonksiyon olduğu anlaşılır.

O zaman X {\displaystyle X} {\displaystyle X} için beklenti şu ifadeyi tatmin eder:

E ⁡ ( E ⁡ ( X | Y ) ) = ∑ y E ⁡ ( X | Y = y ) ⋅ P ⁡ ( Y = y ) {\displaystyle \operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X|Y)\right)=\sum \limits _{y}\operatorname {E} (X|Y=y)\cdot \operatorname {P} (Y=y)\,} {\displaystyle \operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X|Y)\right)=\sum \limits _{y}\operatorname {E} (X|Y=y)\cdot \operatorname {P} (Y=y)\,}
= ∑ y ( ∑ x x ⋅ P ⁡ ( X = x | Y = y ) ) ⋅ P ⁡ ( Y = y ) {\displaystyle =\sum \limits _{y}\left(\sum \limits _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x|Y=y)\right)\cdot \operatorname {P} (Y=y)\,} {\displaystyle =\sum \limits _{y}\left(\sum \limits _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x|Y=y)\right)\cdot \operatorname {P} (Y=y)\,}
= ∑ y ∑ x x ⋅ P ⁡ ( X = x | Y = y ) ⋅ P ⁡ ( Y = y ) {\displaystyle =\sum \limits _{y}\sum \limits _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x|Y=y)\cdot \operatorname {P} (Y=y)\,} {\displaystyle =\sum \limits _{y}\sum \limits _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x|Y=y)\cdot \operatorname {P} (Y=y)\,}
= ∑ y ∑ x x ⋅ P ⁡ ( Y = y | X = x ) ⋅ P ⁡ ( X = x ) {\displaystyle =\sum \limits _{y}\sum \limits _{x}x\cdot \operatorname {P} (Y=y|X=x)\cdot \operatorname {P} (X=x)\,} {\displaystyle =\sum \limits _{y}\sum \limits _{x}x\cdot \operatorname {P} (Y=y|X=x)\cdot \operatorname {P} (X=x)\,}
= ∑ x x ⋅ P ⁡ ( X = x ) ⋅ ( ∑ y P ⁡ ( Y = y | X = x ) ) {\displaystyle =\sum \limits _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x)\cdot \left(\sum \limits _{y}\operatorname {P} (Y=y|X=x)\right)\,} {\displaystyle =\sum \limits _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x)\cdot \left(\sum \limits _{y}\operatorname {P} (Y=y|X=x)\right)\,}
= ∑ x x ⋅ P ⁡ ( X = x ) {\displaystyle =\sum \limits _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x)\,} {\displaystyle =\sum \limits _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x)\,}
= E ⁡ ( X ) . {\displaystyle =\operatorname {E} (X).\,} {\displaystyle =\operatorname {E} (X).\,}

Böylece şu denklem ortaya çıkartılır:

E ⁡ ( X ) = E ⁡ ( E ⁡ ( X | Y ) ) . {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X|Y)\right).} {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X|Y)\right).}

Bu denklemin sağ tarafı yinelenmiş beklenti adı ile anılır ve bazen kule kuralı adı da verilir. Bu toplam beklenti yasası maddesinde de incelenmiştir.

Sürekli rassal değişken için yinelenmiş beklenti

[değiştir | kaynağı değiştir]

Herhangi iki sürekli rassal değişken X , Y {\displaystyle X,Y} {\displaystyle X,Y} için de sonuçlar ayrık rassal değişkenler halinin tamamıyla benzeridir. Koşullu beklenti tanımı eşitsizlikleri kullanır; olasılık yoğunluk fonksiyonları ile entegralleri olasılık kütle fonksiyonları ile toplamalar yerlerini alırlar. Sonunda aynı sonuç ortaya çıkar:

E ⁡ ( X ) = E ⁡ ( E ⁡ ( X | Y ) ) . {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X|Y)\right).} {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X|Y)\right).}

Eşitsizlik

[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer bir rassal değişken X diğer bir rassal değişken olan Yden daha az veya ona eşitse ise,

Eğer X ≤ Y {\displaystyle X\leq Y} {\displaystyle X\leq Y}, o halde E ⁡ ( X ) ≤ E ⁡ ( Y ) {\displaystyle \operatorname {E} (X)\leq \operatorname {E} (Y)} {\displaystyle \operatorname {E} (X)\leq \operatorname {E} (Y)} olur.

Özellikle X ≤ | X | {\displaystyle X\leq |X|} {\displaystyle X\leq |X|} ve − X ≤ | X | {\displaystyle -X\leq |X|} {\displaystyle -X\leq |X|} oldukları için, bir rassal değişkenin matematiksel beklentisinin (veya beklenen değerinin) mutlak değeri, mutlak değerinin matematiksel beklentisinden daha küçük olur veya ona eşittir:

| E ⁡ ( X ) | ≤ E ⁡ ( | X | ) {\displaystyle |\operatorname {E} (X)|\leq \operatorname {E} (|X|)} {\displaystyle |\operatorname {E} (X)|\leq \operatorname {E} (|X|)}

Simgelenme

[değiştir | kaynağı değiştir]

( E ⁡ ( X ) < ∞ {\displaystyle \operatorname {E} (X)<\infty } {\displaystyle \operatorname {E} (X)<\infty }) koşuluna uyan her bir negatif olmayan reel değerli rassal değişken X ve pozitif reel sayı α {\displaystyle \alpha } {\displaystyle \alpha } için şu formül her zaman geçerlidir:

E ⁡ ( X α ) = α ∫ 0 ∞ t α − 1 P ⁡ ( X > t ) d ⁡ t . {\displaystyle \operatorname {E} (X^{\alpha })=\alpha \int _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}\operatorname {P} (X>t)\,\operatorname {d} t.} {\displaystyle \operatorname {E} (X^{\alpha })=\alpha \int _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}\operatorname {P} (X>t)\,\operatorname {d} t.}

Özellikle bu daha da kısa olarak şöyle ifade edilebilir:

E ⁡ ( X ) = ∫ 0 ∞ { 1 − F ( t ) } d ⁡ t . {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{\infty }\lbrace 1-F(t)\rbrace \,\operatorname {d} t.} {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{\infty }\lbrace 1-F(t)\rbrace \,\operatorname {d} t.}

Çarpımsallık özelliği olmama

[değiştir | kaynağı değiştir]

Genel olarak E beklenen değer işlemcisinin çarpımsallık özelliği bulunmaz, yani E ⁡ ( X Y ) {\displaystyle \operatorname {E} (XY)} {\displaystyle \operatorname {E} (XY)} ile E ⁡ ( X ) E ⁡ ( Y ) {\displaystyle \operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)} {\displaystyle \operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)} birbirine mutlaka eşit olmaz. Eğer çarpımsallık özelliği bulunursa, bu halde X {\displaystyle X} {\displaystyle X} ve Y {\displaystyle Y} {\displaystyle Y} rassal değişkenleri birbiri arasında korelasyon bulunmayan değişkenler olarak tanımlanırlar. Aralarında bağımsızlık bulunan değişkenlerin birbirleri arasında korelasyon bulunmayan değişkenlere en önemli örneğin sağlarlar. Genellikle çarpımsal olmama özelliği kovaryasyon ve korelasyon analizlerine önemli bir neden sağlar.

Fonksiyonel daimilik olmaması

[değiştir | kaynağı değiştir]

Genel olarak beklenen değer işlemcisi E'ye ve rassal değişkenler için fonksiyonlara değişmeli işlem uygulanamaz; yani

E ⁡ ( g ( X ) ) = ∫ Ω g ( X ) d ⁡ P ≠ g ( E ⁡ ( X ) ) , {\displaystyle \operatorname {E} (g(X))=\int _{\Omega }g(X)\,\operatorname {d} P\neq g(\operatorname {E} (X)),} {\displaystyle \operatorname {E} (g(X))=\int _{\Omega }g(X)\,\operatorname {d} P\neq g(\operatorname {E} (X)),}

Bu konuyla ilişkili en önemli konu konveks (veya konkav) fonksiyonlarla ilişkili olarak Jensen'in eşitsizliğidir.

Matrisler için beklenti

[değiştir | kaynağı değiştir]

Matris matematiğine göre, X {\displaystyle X} {\displaystyle X} m × n {\displaystyle m\times n} {\displaystyle m\times n} dereceli bir matris ise o halde bu matrisin matematiksel beklentisi (veya beklenen değeri) matris elamanlarının ayrı ayrı matematiksel beklentilerinin (veya beklenen değerlerinin) matrisi olur:

E ⁡ ( X ) = E ⁡ ( x 1 , 1 x 1 , 2 ⋯ x 1 , n x 2 , 1 x 2 , 2 ⋯ x 2 , n ⋮ x m , 1 x m , 2 ⋯ x m , n ) = ( E ⁡ ( x 1 , 1 ) E ⁡ ( x 1 , 2 ) ⋯ E ⁡ ( x 1 , n ) E ⁡ ( x 2 , 1 ) E ⁡ ( x 2 , 2 ) ⋯ E ⁡ ( x 2 , n ) ⋮ E ⁡ ( x m , 1 ) E ⁡ ( x m , 2 ) ⋯ E ⁡ ( x m , n ) ) . {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} {\begin{pmatrix}x_{1,1}&x_{1,2}&\cdots &x_{1,n}\\x_{2,1}&x_{2,2}&\cdots &x_{2,n}\\\vdots \\x_{m,1}&x_{m,2}&\cdots &x_{m,n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {E} (x_{1,1})&\operatorname {E} (x_{1,2})&\cdots &\operatorname {E} (x_{1,n})\\\operatorname {E} (x_{2,1})&\operatorname {E} (x_{2,2})&\cdots &\operatorname {E} (x_{2,n})\\\vdots \\\operatorname {E} (x_{m,1})&\operatorname {E} (x_{m,2})&\cdots &\operatorname {E} (x_{m,n})\end{pmatrix}}.} {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} {\begin{pmatrix}x_{1,1}&x_{1,2}&\cdots &x_{1,n}\\x_{2,1}&x_{2,2}&\cdots &x_{2,n}\\\vdots \\x_{m,1}&x_{m,2}&\cdots &x_{m,n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {E} (x_{1,1})&\operatorname {E} (x_{1,2})&\cdots &\operatorname {E} (x_{1,n})\\\operatorname {E} (x_{2,1})&\operatorname {E} (x_{2,2})&\cdots &\operatorname {E} (x_{2,n})\\\vdots \\\operatorname {E} (x_{m,1})&\operatorname {E} (x_{m,2})&\cdots &\operatorname {E} (x_{m,n})\end{pmatrix}}.}

Bu sonuç kovaryans matrisleri için kullanılır.

Ayrıca bakınız

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Koşullu beklenti
  • Pascal'ın Kumarı
  • Moment (matematik)

Dış bağlantılar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Beklenen değer, PlanetMath.org. (İngilizce)
Otorite kontrolü Bunu Vikiveri'de düzenleyin
  • GND: 4152930-3
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Beklenen_değer&oldid=36433989" sayfasından alınmıştır
Kategoriler:
  • Olasılık dağılımlar teorisi
  • Kumar terimleri
Gizli kategori:
  • GND tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
  • Sayfa en son 01.52, 23 Kasım 2025 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
Beklenen değer
Konu ekle