Toplam beklenti yasası

Toplam beklenti yasası, olasılık kuramında, yinelemeli beklenti yasası, kule kuralı, düzleştirme teoremi gibi çeşitli isimlerine de rastlanan öneri.

Bu oneriye gore: Eğer X; E(| X |) < ∞ koşulunu sağlayan (yani entegrallenebilir) bir rassal değişken ve Y (mutlaka entegrallenebilir olmayan) herhangi bir rassal değişken ise, aynı olasılık uzayında

E(X)=E(E(X\mid Y)),

sağlanır.

Yani, X in Y bilindiğindeki koşullu matematiksel beklentisinin matematiksel beklentisi, X in matematiksel beklentisine eşittir.

Toplam olasılık yasası ile paralel bir önermedir. Bkz. Toplam varyans yasası, varyansın bileşenlerine ayrılması.

(Koşullu matematiksel beklenti E(X | Y) nin kendisi Y nin değerine bağlı bir rassal değişkendir. Y = y olayı bilindiğine göre X in koşullu matematiksel beklenti değeri y nin bir fonksiyonudur. Eğer E(X | Y = y) = g(y) yazarsak, rassal değişken E(X | Y) de; g(Y) olur.)

Ayrıklı halde kanıt

E[E[X | Y]] = Σ_y ( E[X | Y = y]P{Y = y} )

=Σ_y Σ_x ( xP{X = x | Y = y}P{Y = y} )

=Σ_y Σ_x ( xP{X = x, Y = y} )

=Σ_x x Σ_y P{X = x, Y = y}

=Σ_x xP{X = x}

=E[X]

Ayrıca bakınız

Kaynakça