Vikipedi, özgür ansiklopedi
Doğrusal cebirde veya daha genel ifade ile matematikte matris toplamı , iki matrisin ilgili girişlerinin eklenmesi işlemidir. Matrisler için diğer bir toplama işlemi türü doğrudan toplamdır .
Matris toplamı genellikle, aynı boyuta sahip iki matris için tanımlıdır. m × n ("m'ye n"lik diye okunur) boyutlu A ve B matrislerinin toplamı, A + B şeklinde sembolize edilir. Toplama işlemi sonucunda yine m × n boyutlu matris elde edilir:
A
+
B
=
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
]
+
[
b
11
b
12
⋯
b
1
n
b
21
b
22
⋯
b
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
b
m
1
b
m
2
⋯
b
m
n
]
=
[
a
11
+
b
11
a
12
+
b
12
⋯
a
1
n
+
b
1
n
a
21
+
b
21
a
22
+
b
22
⋯
a
2
n
+
b
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
+
b
m
1
a
m
2
+
b
m
2
⋯
a
m
n
+
b
m
n
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}\,\!}
Örneğin:
[
1
3
1
0
1
2
]
+
[
0
0
7
5
2
1
]
=
[
1
+
0
3
+
0
1
+
7
0
+
5
1
+
2
2
+
1
]
=
[
1
3
8
5
3
3
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}}
Aynı boyuta sahip iki matrisi birbirinden çıkartabiliriz. A − B ; A ile B ögelerinin birbirlerinden çıkarılması işlemidir. Sonuçta yine aynı boyutlu matris elde edilir. Örneğin:
[
1
3
1
0
1
2
]
−
[
0
0
7
5
2
1
]
=
[
1
−
0
3
−
0
1
−
7
0
−
5
1
−
2
2
−
1
]
=
[
1
3
−
6
−
5
−
1
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-0&3-0\\1-7&0-5\\1-2&2-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\-6&-5\\-1&1\end{bmatrix}}}
Nadir kullanılan diğer matris toplama işlemi, doğrudan toplamdır (⊕ ile sembolize edilir). m × n boyutlu A matrisi ile p × q boyutlu B matrisinin toplamı, (m + p ) × (n + q ) boyutlu bir matristir. Şöyle ifade edilir:
A
⊕
B
=
[
A
0
0
B
]
=
[
a
11
⋯
a
1
n
0
⋯
0
⋮
⋱
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
⋯
a
m
n
0
⋯
0
0
⋯
0
b
11
⋯
b
1
q
⋮
⋱
⋮
⋮
⋱
⋮
0
⋯
0
b
p
1
⋯
b
p
q
]
{\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {B} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}}
Örneğin,
[
1
3
2
2
3
1
]
⊕
[
1
6
0
1
]
=
[
1
3
2
0
0
2
3
1
0
0
0
0
0
1
6
0
0
0
0
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}}
Matrislerin doğrudan toplamı, bir özel blok matris oluşturur.
n matrisin doğrudan toplamı, genellikle şöyle ifade edilir:
⨁
i
=
1
n
A
i
=
d
i
a
g
(
A
1
,
A
2
,
A
3
⋯
A
n
)
=
[
A
1
0
⋯
0
0
A
2
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
A
n
]
{\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}\mathbf {A} _{i}={\rm {diag}}(\mathbf {A} _{1},\mathbf {A} _{2},\mathbf {A} _{3}\cdots \mathbf {A} _{n})={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {A} _{2}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &\mathbf {A} _{n}\\\end{bmatrix}}\,\!}
Buradaki sıfırlar, sıfır bloklardır. Yani sıfır matrislerdir.
