Minkowski eşitsizliği - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 Kanıt
  • 2 Minkowski integral eşitsizliği
  • 3 Ayrıca bakınız
  • 4 Kaynakça

Minkowski eşitsizliği

  • العربية
  • Català
  • Čeština
  • Deutsch
  • Ελληνικά
  • English
  • Español
  • Euskara
  • Suomi
  • Français
  • עברית
  • Magyar
  • İtaliano
  • 日本語
  • 한국어
  • Nederlands
  • Polski
  • Português
  • Română
  • Русский
  • Српски / srpski
  • Svenska
  • Українська
  • Tiếng Việt
  • 中文
  • 粵語
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi
Bu maddenin içeriğinin Türkçeleştirilmesi veya Türkçe dilbilgisi ve kuralları doğrultusunda düzeltilmesi gerekmektedir. Bu maddedeki yazım ve noktalama yanlışları ya da anlatım bozuklukları giderilmelidir.
(Yabancı sözcükler yerine Türkçe karşılıklarının kullanılması, karakter hatalarının düzeltilmesi, dilbilgisi hatalarının düzeltilmesi vs.) Düzenleme yapıldıktan sonra bu şablon kaldırılmalıdır.


Minkowski Eşitsizliği, sonlu sayıda, hepsi sıfır olmayan a i {\displaystyle a_{i}} {\displaystyle a_{i}}, b i {\displaystyle b_{i}} {\displaystyle b_{i}}, i=1,2,...,n pozitif sayılarında, p>1 için aşağıdaki eşitsizliğe denir: ( ∑ i = 1 n ( a i + b i ) p ) 1 / p ≤ ( ∑ i = 1 n a i p ) 1 / p + ( ∑ i = 1 n b i p ) 1 / p {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{p}\right)^{1/p}} {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{p}\right)^{1/p}}

Hölder eşitsizliğinden türetilebilen, uygulamada oldukça yararlı bu eşitsizliği Alman matematikçi Hermann Minkowski (1864-1909) elde etmiştir.

Bu sayfa normlar ile ilgili Minkowski eşitsizliği içindir. Bkz.Minkowski'nin konveks cisimler için ilk eşitsizliği için konveks geometride Minkowski eşitsizliği.

üçgen'de, Minkowski eşitsizliği' Lp uzayı normlu vektör uzayı' belirlemesidir. diyelimki S bir ölçüm uzayı olsun,ve diyelimki 1 ≤ p ≤ ∞ ve diyelimki Lp(S) ögeleri f ve g olsun. ise Lp(S) içindeki f + gdir ve bizim üçgen eşitsizliği'miz var

‖ f + g ‖ p ≤ ‖ f ‖ p + ‖ g ‖ p {\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}} {\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}

için eşitliği ile 1 < p <∞ eğer ve yalnızca eğerf ve g pozitifliği doğrusal bağımlılık, yani burada bazı λ {\displaystyle \lambda } {\displaystyle \lambda } ≥ 0.için f = λ {\displaystyle \lambda } {\displaystyle \lambda } g aşağıdaki norm ile verilir:

‖ f ‖ p = ( ∫ | f | p d μ ) 1 / p {\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f|^{p}d\mu \right)^{1/p}} {\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f|^{p}d\mu \right)^{1/p}}

Eğer p < ∞ veya p = ∞ durumu içinde zorunlu üstünlük ile

‖ f ‖ ∞ = e s s   s u p x ∈ S ⁡ | f ( x ) | . {\displaystyle \|f\|_{\infty }=\operatorname {ess\ sup} _{x\in S}|f(x)|.} {\displaystyle \|f\|_{\infty }=\operatorname {ess\ sup} _{x\in S}|f(x)|.}

Minkowski eşitsizliği Lp(S) içinde üçgen eşitsizliğidir, aslında bu durumun daha genel durumu var,

‖ f ‖ p = sup ‖ g ‖ q = 1 ∫ | f g | d μ , 1 / p + 1 / q = 1 {\displaystyle \|f\|_{p}=\sup _{\|g\|_{q}=1}\int |fg|d\mu ,\qquad 1/p+1/q=1} {\displaystyle \|f\|_{p}=\sup _{\|g\|_{q}=1}\int |fg|d\mu ,\qquad 1/p+1/q=1}

bunun sağ-el tarafta üçgen eşitsizliğinin tatmin edici olduğunu görmek kolay

Hölder eşitsizliği gibi, Minkowski eşitsizliği dizisi özelleştirilebilir ve sayarak ölçülen vektörler tarafından kullanılıyor:

( ∑ k = 1 n | x k + y k | p ) 1 / p ≤ ( ∑ k = 1 n | x k | p ) 1 / p + ( ∑ k = 1 n | y k | p ) 1 / p {\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}} {\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}}

için tümgerçel (veya karmaşık) x1, ..., xn, y1, ..., yn sayıları için ve burada n; S'in kardinalite'sidir. (S'in ögelerinin sayısı).

Kanıt

[değiştir | kaynağı değiştir]

İlk, kanıtı f+g sonludur p-norm eğer f ve g ikilisi olarak, bunlar ile aşağıda

| f + g | p ≤ 2 p − 1 ( | f | p + | g | p ) . {\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).} {\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}

Nitekim, aslında burada h ( x ) = x p {\displaystyle h(x)=x^{p}} {\displaystyle h(x)=x^{p}} konveks üzerinde R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} ( p {\displaystyle p} {\displaystyle p} birden büyük için) ve yine, konveksite tanımı ile,

| 1 2 f + 1 2 g | p ≤ | 1 2 | f | + 1 2 | g | | p ≤ 1 2 | f | p + 1 2 | g | p . {\displaystyle \left|{\frac {1}{2}}f+{\frac {1}{2}}g\right|^{p}\leq \left|{\frac {1}{2}}|f|+{\frac {1}{2}}|g|\right|^{p}\leq {\frac {1}{2}}|f|^{p}+{\frac {1}{2}}|g|^{p}.} {\displaystyle \left|{\frac {1}{2}}f+{\frac {1}{2}}g\right|^{p}\leq \left|{\frac {1}{2}}|f|+{\frac {1}{2}}|g|\right|^{p}\leq {\frac {1}{2}}|f|^{p}+{\frac {1}{2}}|g|^{p}.}

Bunun anlamı

| f + g | p ≤ 1 2 | 2 f | p + 1 2 | 2 g | p = 2 p − 1 | f | p + 2 p − 1 | g | p . {\displaystyle |f+g|^{p}\leq {\frac {1}{2}}|2f|^{p}+{\frac {1}{2}}|2g|^{p}=2^{p-1}|f|^{p}+2^{p-1}|g|^{p}.} {\displaystyle |f+g|^{p}\leq {\frac {1}{2}}|2f|^{p}+{\frac {1}{2}}|2g|^{p}=2^{p-1}|f|^{p}+2^{p-1}|g|^{p}.}

Şimdi, yasal olarak konuşabiliriz ( ‖ f + g ‖ p ) {\displaystyle (\|f+g\|_{p})} {\displaystyle (\|f+g\|_{p})}. Sıfır ise, Minkowski eşitsizliği tutar.Şimdi varsayalım ki ( ‖ f + g ‖ p ) {\displaystyle (\|f+g\|_{p})} {\displaystyle (\|f+g\|_{p})} sıfır değildir.Hölder's eşitsizliği kullanılıyor.

‖ f + g ‖ p p = ∫ | f + g | p d μ {\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu } {\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu }
≤ ∫ ( | f | + | g | ) | f + g | p − 1 d μ {\displaystyle \leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu } {\displaystyle \leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu }
= ∫ | f | | f + g | p − 1 d μ + ∫ | g | | f + g | p − 1 d μ {\displaystyle =\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu } {\displaystyle =\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu }
≤ H o ¨ lder ( ( ∫ | f | p d μ ) 1 / p + ( ∫ | g | p d μ ) 1 / p ) ( ∫ | f + g | ( p − 1 ) ( p p − 1 ) d μ ) 1 − 1 p {\displaystyle {\stackrel {{\text{H}}{\ddot {\text{o}}}{\text{lder}}}{\leq }}\left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}} {\displaystyle {\stackrel {{\text{H}}{\ddot {\text{o}}}{\text{lder}}}{\leq }}\left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}}
= ( ‖ f ‖ p + ‖ g ‖ p ) ‖ f + g ‖ p p ‖ f + g ‖ p . {\displaystyle =(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}.} {\displaystyle =(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}.}

Biz elde Minkowski'nin eşitsizliği ile ‖ f + g ‖ p ‖ f + g ‖ p p . {\displaystyle {\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}^{p}}}.} {\displaystyle {\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}^{p}}}.} her iki taraf çarparız

Minkowski integral eşitsizliği

[değiştir | kaynağı değiştir]

Varsayalımki (S1,μ1) ve (S2,μ2) are iki ölçüm uzayıs ve F : S1×S2 → R ölçülebilirdir. ise Minkowski's integral eşitsizliği is Stein 1970, §A.1dir, Hardy, Littlewood & Pólya 1988, Theorem 202:

[ ∫ S 2 | ∫ S 1 F ( x , y ) d μ 1 ( x ) | p d μ 2 ( y ) ] 1 / p ≤ ∫ S 1 ( ∫ S 2 | F ( x , y ) | p d μ 2 ( y ) ) 1 / p d μ 1 ( x ) , {\displaystyle \left[\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,d\mu _{1}(x)\right|^{p}d\mu _{2}(y)\right]^{1/p}\leq \int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,d\mu _{2}(y)\right)^{1/p}d\mu _{1}(x),} {\displaystyle \left[\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,d\mu _{1}(x)\right|^{p}d\mu _{2}(y)\right]^{1/p}\leq \int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,d\mu _{2}(y)\right)^{1/p}d\mu _{1}(x),}

durumunda belirgin değişiklikler p = ∞. eğer p > 1 ve her iki taraf sonlu ise eşitlikle örtüşür eğer |F(x,y)| = φ(x)ψ(y) a.e.bazı negatif ölçülebilir fonksiyonlar φ ve ψ için.

Eğer μ1 iki nokta kümesi sayma ölçüsüS1 = {1,2} ise Minkowski eşitsizliği bir özel durum olarak verir: için ƒi(y) = F(i,y) yapıştırma için i = 1,2, integral eşitsizliğini verir.

‖ f 1 + f 2 ‖ p = [ ∫ S 2 | ∫ S 1 F ( x , y ) d μ 1 ( x ) | p d μ 2 ( y ) ] 1 / p ≤ ∫ S 1 ( ∫ S 2 | F ( x , y ) | p d μ 2 ( y ) ) 1 / p d μ 1 ( x ) = ‖ f 1 ‖ p + ‖ f 2 ‖ p . {\displaystyle {\begin{aligned}\|f_{1}+f_{2}\|_{p}&=\left[\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,d\mu _{1}(x)\right|^{p}d\mu _{2}(y)\right]^{1/p}\leq \int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,d\mu _{2}(y)\right)^{1/p}d\mu _{1}(x)=\|f_{1}\|_{p}+\|f_{2}\|_{p}.\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\|f_{1}+f_{2}\|_{p}&=\left[\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,d\mu _{1}(x)\right|^{p}d\mu _{2}(y)\right]^{1/p}\leq \int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,d\mu _{2}(y)\right)^{1/p}d\mu _{1}(x)=\|f_{1}\|_{p}+\|f_{2}\|_{p}.\end{aligned}}}

Ayrıca bakınız

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Mahler eşitsizliği
  • Hölder eşitsizliği

Kaynakça

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1952). "Inequalities". 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9.  Eksik ya da boş |url= (yardım)
  • Minkowski, H. (1953). "Geometrie der Zahlen". ChelseaŞablon:Tutarsız alıntı .
  • Stein, Elias (1970). "Singular integrals ve differentiability properties of functions". Princeton University PressŞablon:Tutarsız alıntı .
  • Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Minkowski eşitsizliği", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
  • Arthur Lohwater (1982). "Introduction to Inequalities" (PDF, Online e-book). mediafire.com. 14 Ekim 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Ekim 2013. 
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Minkowski_eşitsizliği&oldid=35618665" sayfasından alınmıştır
Kategori:
  • Eşitsizlikler
Gizli kategoriler:
  • Türkçeleştirilmesi gereken sayfalar
  • KB1 hataları: URL gerekli
  • Kanıt içeren maddeler
  • Sayfa en son 15.53, 8 Temmuz 2025 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
Minkowski eşitsizliği
Konu ekle