Mittag-Leffler teoremi

Ünlü İsveçli matematikçi Gösta Mittag-Leffler'ın, sanatçı Carl Brauer tarafından yapılmış bir portresidir.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Mittag-Leffler teoremi, önceden verilmiş ve belirli özellikleri sağlayan bir noktalar kümesinde kutupları olan meromorf fonksiyonların varlığıyla ilgili olan bir sonuçtur. Bu sonuç, önceden verilmiş ve yine bazı özellikleri sağlayan noktalar kümesinde sıfır değerleri alan holomorf fonksiyonların varlığıyla ilgili olan Weierstrass çarpım teoremi ile parallellik taşımaktadır.

Teorem, 1876 ve 1884'te teoremi bugün halinden farklı şekilde yayınlayan İsveçli matematikçi Gösta Mittag-Leffler'in adını taşımaktadır.

Teoremin ifadesi

$U\subset \mathbb {C}$ açık küme, $E\subset U$ ise, eğer varsa, limit noktaları $U$'nun sınırında olan bir altküme olsun. $E$deki her $a$ noktası için $p_{a}(z)$ fonksiyonu $1/(z-a)$'nın sabit katsayılı polinomu olsun; diğer deyişle, $$p_{a}(z)=\sum _{n=1}^{N_{a}}{\frac {c_{a,n}}{(z-a)^{n}}},\quad c_{a,n}\in \mathbb {C} .$$ O zaman, $U$ üzerinde meromorf bir $f$ fonksiyon vardır, $f$ fonksiyonun kutup noktalarının kümesi $E$ ile aynıdır ve $E$deki her $a$ noktası için $f(z)-p_{a}(z)$ fonksiyonun $a$ noktasında sadece kaldırılabilir tekilliği vardır. Ayrıca, $f$nin $a$ noktasıdaki Laurent serisinin negative üslü kısmı $p_{a}(z)$'ye eşittir. Eğer $f$den başka meromorf bir $g$ fonksiyonu $U$ üzerinde aynı özellikleri taşıyorsa, o zaman $f=g+h$ yazılabilir ve burada $h$ holomorf olur.

Kanıtın taslağı

Olası bir kanıt taslağı şu şekildedir. Eğer $E$ sonlu bir küme ise $p_{a}(z)$ almak yeterldir. $E$ sonlu bir küme değilse, $E$'nin altkümesi olan sonlu bir $F$ kümesi için ${\textstyle S_{F}(z)=\sum _{a\in F}p_{a}(z)}$ fonksiyonunu ele alalım. $F$ kümesi $E$ kümesine yaklaşırken $S_{F}(z)$ yakınsamayabilir. Ancak, Runge teoremi vasıtasıyla kutupları $U$'nun dışında kalacak şekilde iyi seçilmiş fonksiyonları $S_{F}(z)$ fonksiyondan çıkarıp hem Laurent serisindeki negatif üslü terimleri koruyabiliriz hem de yakınsaklığı güvence altına almış oluruz.

Örnek

Diyelim ki bütün pozitif tam sayılarda kalıntısı 1 olan basit kutuplu bir meromorf fonksiyon bulmak istiyoruz. O zaman, $E=\mathbb {Z} ^{+}$ ve $k\in E$ için $p_{k}(z)={\frac {1}{z-k}}$. Mittag-Leffler teoremi sayesinde $z=k$ noktasindak' Laurent serisinin negati üslü kısmının $p_{k}(z)$'ye eşit olduğu meromorf bir $f$ fonksiyonu vardır. Hatta, bu fonksiyonu, $$f(z)=z\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(z-k)}}$$ olarak alabiliriz. Bu seri, $\mathbb {C} \smallsetminus \mathbb {Z} ^{+}$ kümesinin herhangi bir tıkız altkümesi üzerinde istediğimiz özelliklere sahip meromorf bir fonksiyona normal yakınsaktır.

Bazı meromorf fonksiyonların kutup açılımları

$$\tan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {8z}{(2n+1)^{2}\pi ^{2}-4z^{2}}}$$ $$\csc(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+2z\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{z^{2}-(n\,\pi )^{2}}}$$ $$\sec(z)\equiv -\csc \left(z-{\frac {\pi }{2}}\right)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n-1}}{z-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)\pi }{(n+{\frac {1}{2}})^{2}\pi ^{2}-z^{2}}}$$ $$\cot(z)\equiv {\frac {\cos(z)}{\sin(z)}}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+2z\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}-(k\,\pi )^{2}}}$$ $$\csc ^{2}(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{(z-n\,\pi )^{2}}}$$ $$\sec ^{2}(z)={\frac {d}{dz}}\tan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {8((2n+1)^{2}\pi ^{2}+4z^{2})}{((2n+1)^{2}\pi ^{2}-4z^{2})^{2}}}$$ $${\frac {1}{z\sin(z)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n\neq 0}{\frac {(-1)^{n}}{\pi n(z-\pi n)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {2}{z^{2}-(n\,\pi )^{2}}}$$

Kaynakça

• Ahlfors, Lars (1953), Complex analysis, 3rd, McGraw Hill (1979 tarihinde yayınlandı), ISBN 0-07-000657-1 .
• Conway, John B. (1978), Functions of One Complex Variable I, 2nd, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3 .

Ayrıca bakınız

• Riemann-Roch teoremi
• Weierstrass çarpım teoremi

Dış bağlantılar

• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Mittag-Leffler theorem", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104