Parabolik kısmi diferansiyel denklem

Matematikte bir parabolik kısmi diferansiyel denklem iki veya daha çok mertebeli özel bir kısmi diferansiyel denklemdir. Bu tip denklemler, genelde bir zaman değişkeninin ortaya çıktığı ve zamana bağlı evrimin birinci mertebeden bir türevle tanımlandığı denklemlerdir. Bu sebeple, zamana bağlı değişimi kastederek, evrim denklemleri adı verilen daha genel bir kısmi diferansiyel denklemler sınıfının içinde de incelenirler.

Parabolik diferansiyel denklemlerin çözümleri genellikle katılarda ısı iletimini veya sıvı ve gazlarda difüzyonu tanımlayan ısı iletimi denkleminin, yâni, daha çok bilinen adıyla ısı denkleminin, çözümleri gibi davranır. Isı denkleminin doğal bir genellemesiyle, önemli bir diferansiyel denklem sınıfı olan, iki mertebeli, doğrusal, parabolik diferansiyel denklemler elde edilir. Isı denklemine ek olarak, bu tip denklemler okyanustaki ses dalgalarının yayılması, zaman-bağımlı Schrödinger denklemi ve pay opsiyon fiyatlarının hareketleri (Black-Scholes denklemi) gibi durumlarda uygulanırlar. Yâni, daha genel olarak, bu tip denklemlerin fizik mühendisliğinde, kuvantum mekaniğinde ve finansal matematikte geniş kullanımları vardır.

Tanım

İkinci mertebeden doğrusal parabolik denklemler

En genel tanıma giriş yapılabilmesi için bu gibi denklemlerin en basit hâlleriyle, yâni, iki değişkenli hâllerin, ilk önce incelemek ve tanımlamak yerinde olacaktır.

İki değişkenli durum için tanım

İki değişkene bağlı ve aşağıdaki gibi genel bir hâlde verilmiş, iki mertebeli, doğrusal bir kısmi diferansiyel denklemi ele alalım:

$a(x,y){\frac {\partial ^{2}u(x,y)}{\partial x^{2}}}+b(x,y){\frac {\partial ^{2}u(x,y)}{\partial x\partial y}}+c(x,y){\frac {\partial ^{2}u(x,y)}{\partial y^{2}}}+d(x,y){\frac {\partial u(x,y)}{\partial x}}+e(x,y){\frac {\partial u(x,y)}{\partial y}}+f(x,y)u(x,y)=0$

Bir $(x,y)$ noktasında

$a(x,y)c(x,y)-\left({\frac {b(x,y)}{2}}\right)^{2}=0$

sağlanıyorsa, bu diferansiyel denkleme $(x,y)$ noktasında paraboliktir denir. Bu koşul da,

${\begin{pmatrix}a(x,y)&{\frac {b(x,y)}{2}}\\{\frac {b(x,y)}{2}}&c(x,y)\end{pmatrix}}$

matrisinin determinantının $(x,y)$ noktasında sıfır olduğu anlamına gelir. Genelde, iki değişkenli durumlarda en sık rastlanılan örnek, $x$ değişkeninin bir boyuttaki konumu ve $y$'nin de zamanı temsil etmesinde görülür. Ortaya çıkan kısmi diferansiyel denklem, önceden verilmiş başlangıç ya da sınır koşullarına bağlı olarak çözülür.

Tanımdaki parabolik teriminin ve determinantın koni kesitinin genel hâlini veren

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

denklemi ile alakası vardır. Bu denklemde, eğer $B^{2}-4AC=0$ sağlanıyorsa, o zaman kesit bir parabolü temsil etmektedir. Yine, benzer tanımlar, eliptik ve hiperbolik diferansiyel denklemler için de geçerlidir.

İki mertebeli ve bir değişkenin zamana bağlı olduğu en tipik parabolik diferansiyel denklem örneği ısı denklemidir:

$u_{t}=\alpha \,u_{xx}.$

Bu denklemde, $u(x,t)$ ince bir çubuk üzerinde $x$ konumunda ve $t$ zamanındaki sıcaklığı temsil etmektedir. $\alpha$ ise sıcaklık yayınırlığı adı verilen bir sabittir ve ısı iletim katsayısının özgül ısı ve yoğunluk çarpımına oranı olarak hesaplanan ve ısının cisim içinde yayılım hızını gösteren bir büyüklüktür.

n değişkenli durumda tanım

Parabolik kısmi diferansiyel denklemlerin tanımı daha yüksek boyutlara taşımanın birkaç yolu vardır. En bariz örnek, bir boyutlu ısı denkleminde sağ tarafı Laplace operatorü olarak görüp genellemektir. Yani,

$\Delta u:={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}},$

u üzerine işleyen Laplace operatorü olmak üzere

$u_{t}=\alpha \,\Delta u$

tanımlanabilir. Böylece, çok boyutlu parabolik kısmi diferansiyel tanımı için bir ilkörnek (prototip) elde edilmiş olur. Diğer taraftan, $-\Delta$ operatörünün eliptik bir operatör olduğu gözlemiyle daha geniş bir sınıfı kapsayan bir eliptik kısmi diferansiye denklem tanımı verilebilir. Diğer deyişle, $L$ ikinci mertebeden eliptik operatör olmak kaydıyla, parabolik kısmi diferansiyel denklem tanımı

$u_{t}=-Lu,$

olarak da verilebilir. Bu bağlamda, İki ve daha fazla değişkenli durumlarda doğrusal bir kısmi diferansiyel denklem şöyle bir şekilde temsil edilebilir:$\sum _{i,j=1}^{n}a_{i,j}\xi _{i}\xi _{j}$ kesin pozitif kuadratik form olmak üzere,

$u_{t}-\sum _{i,j=1}^{n}a_{i,j}(x,t)u_{x_{i}x_{j}}-\sum _{i=1}^{n}a_{i}(x,t)u_{x_{i}}-a(x,t)u=f(x,t)F(t,{\vec {x}},u,\nabla u)=0$

biçiminde tanımlı kısmi denklemlere ikinci mertebeden, doğrusal, parabolik kısmi diferansiyel denklem denir.

Ayrıca bakınız

• Eliptik kısmi diferansiyel denklem
• Hiperbolik kısmi diferansiyel denklem