Poisson denklemi - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 Elektrostatik
    • 1.1 Gauss yük yoğunluğunun potansiyeli
  • 2 Ayrıca bakınız
  • 3 Kaynakça
  • 4 Dış bağlantılar

Poisson denklemi

  • العربية
  • Беларуская
  • Български
  • Català
  • Čeština
  • Dansk
  • Deutsch
  • Ελληνικά
  • English
  • Español
  • Eesti
  • فارسی
  • Français
  • עברית
  • हिन्दी
  • Արեւմտահայերէն
  • Bahasa Indonesia
  • İtaliano
  • 日本語
  • 한국어
  • Nederlands
  • Norsk bokmål
  • Polski
  • Português
  • Русский
  • Slovenščina
  • Shqip
  • Svenska
  • Українська
  • 吴语
  • 中文
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Wikimedia Commons
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi
Griffiths' Electrodynamics kitabının önyüzü

Matematikte, Poisson denklemi elektrostatik, makine mühendisliği ve teorik fizik'de geniş kullanım alanına sahip eliptik türdeki Kısmi diferansiyel denklemlerdir. Fransız matematikçi, geometrici ve fizikçi olan Siméon Denis Poisson'dan sonra isimlendirilmiştir. Poisson denklemi

Δ φ = f {\displaystyle \Delta \varphi =f} {\displaystyle \Delta \varphi =f}

Burada Δ {\displaystyle \Delta } {\displaystyle \Delta } Laplasyene ve f ve φ ise Çokkatlıda gerçek veya Karmaşık-değerli fonksiyonlara karşılık gelmektedir. Çokkatlı öklid uzayı olduğu zaman, Laplasyen ∇ 2 {\displaystyle {\nabla }^{2}} {\displaystyle {\nabla }^{2}} olarak belirtilir ve Poisson denklemi genel olarak

∇ 2 φ = f . {\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =f.} {\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =f.}

şeklinde yazılır. 3 boyutlu Kartezyen koordinat sisteminde

( ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 ) φ ( x , y , z ) = f ( x , y , z ) . {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).} {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}

formunu alır. f sıfır olduğunda denklem;

Δ φ = 0. {\displaystyle \Delta \varphi =0.\!} {\displaystyle \Delta \varphi =0.\!}

halini alır. Bu Poisson denklemi, Green fonksiyonu kullanılarak çözülebilir; Green Fonksiyonunun Poisson denklemi için genel çözümünü Sönümlü Poisson denklemi başlığında verilmiştir. Nümerik çözüm için çok fazla değişik türden metot bulunmaktadır; rahatlatma metodu, yinelemeli algoritma sadece bir örnek...

Elektrostatik

[değiştir | kaynağı değiştir]
Ana madde: Elektrostatik

Elektrostatiğin köşe taşlarından biri de Poisson denklemleri ile açıklanan problemlerin çözümünü ortaya atıp çözmektir. Verilmiş bir yük dağılımı için Elektriksel gerilimi bulmak için genelde kullandığımız yol bu olduğu için, φ'yi verilmiş f cinsinden bulmak önemli pratik bir sorundur.

Elektrostatikteki Poisson denkleminin türeyişi şu şekildedir. Uluslararası Birimler Sisteminin Öklid uzayında kullanıldığını var sayarsak ve differansiyel kontrol hacimdeki elektrik için Gauss Yasası ile başlarsak:

∇ ⋅ D = ρ f {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}} {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}}
∇ ⋅ {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot } {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot }, Diverjansa
D {\displaystyle \mathbf {D} } {\displaystyle \mathbf {D} }, elektrik deplasman alanına
ρ f {\displaystyle \rho _{f}} {\displaystyle \rho _{f}}, serbest yükün yük yoğunluğuna (yani dışarıdan getirilmiş yüklere) tekamül etmektedir.

Ortamın lineer, izotropik ve homojen olduğunu kabul edersek;

D = ε E {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} } {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }
ε {\displaystyle \varepsilon } {\displaystyle \varepsilon }, ortamın geçirgenliği
E {\displaystyle \mathbf {E} } {\displaystyle \mathbf {E} }, elektrik alan'dır.

Yerine koyma ve sadeleştirme işlemlerinden sonra;

∇ ⋅ E = ρ f ε {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}} {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}}

elde ederiz. Değişken bir manyetik alan, B {\displaystyle \mathbf {B} } {\displaystyle \mathbf {B} } olmadığı zaman, Faraday-Lenz yasası gereğince,

∇ × E = − ∂ B ∂ t = 0 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\dfrac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0} {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\dfrac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0}
∇ × {\displaystyle \nabla \times } {\displaystyle \nabla \times }, Rotasyonele
t {\displaystyle t} {\displaystyle t} ise zamana karşılık gelmektedir.

Elektrik Alanın Rotasyoneli sıfır olduğundan, o bir skaler elektrik potansiyel birler elektrik potansiyel olarak tanımlanır.

E = − ∇ φ {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi } {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi }

E {\displaystyle \mathbf {E} } {\displaystyle \mathbf {E} }’yi yerine koyma metodu ile yok edersek, Poisson denkleminin bir formunu elde ederiz:

∇ ⋅ ∇ φ = ∇ 2 φ = − ρ f ε . {\displaystyle \nabla \cdot \nabla \varphi ={\nabla }^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}.} {\displaystyle \nabla \cdot \nabla \varphi ={\nabla }^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}.}

Potansiyel için Poisson denklemini çözmek yük yoğunluğu dağılımının bilinmesini gerektirir. Eğer yük yoğunluğu sıfır ise denklem Laplace denklemine dönüşür. Eğer ki yük yoğunluğu Boltzmann dağılımına tekamül ederse denklem Poisson-Boltzman denklemi halini alır. Poisson Boltzmann denklemi Debye-Hückel denkleminin gelişmesinde büyük rol oynar.

(Not: Yukarıdaki tartışma manyetik alanın zamanla değişmediğini kabullenim olarak alsa da aynı Coulomb ölçümlemesi kullanıldığı sürece zamanla gerçekten bir değişim olsa bile Poisson denklemi ortaya çıkar. Yalnız, genel bağlamda φ {\displaystyle \varphi } {\displaystyle \varphi } hesaplamak artık E {\displaystyle \mathbf {E} } {\displaystyle \mathbf {E} }’yi hesaplamak için yeterli değildir, çünkü ikincisi aynı zamanda manyetik vektör potansiyeline bağlıdır, ki bu da bağımsız olarak hesaplanmalıdır.)

Gauss yük yoğunluğunun potansiyeli

[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer ki durgun küresel simetrik bir Gauss yük yoğunluğu ρ f ( r ) {\displaystyle \rho _{f}(r)} {\displaystyle \rho _{f}(r)} var ise:

ρ f ( r ) = Q σ 3 2 π 3 e − r 2 / ( 2 σ 2 ) , {\displaystyle \rho _{f}(r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},} {\displaystyle \rho _{f}(r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},}

burada Q toplam yüktür. Dolayısıyla Poisson denkleminin çözümü φ (r),

∇ 2 φ = − ρ f ε {\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =-{\rho _{f} \over \varepsilon }} {\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =-{\rho _{f} \over \varepsilon }},

burada φ ( r ) {\displaystyle \varphi (r)} {\displaystyle \varphi (r)} şöyle gösterilir;

φ ( r ) = 1 4 π ε Q r erf ( r 2 σ ) {\displaystyle \varphi (r)={1 \over 4\pi \varepsilon }{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)} {\displaystyle \varphi (r)={1 \over 4\pi \varepsilon }{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)}

ki burada erf(x) hata fonksiyonuna tekamül etmektedir. Bu çözüm bariz bir biçimde ∇ 2 φ {\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi } {\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi }yi hesaplayarak kontrol edilebilir. Dikkate alınmalı ki, tahmin edildiği şekilde σ den çok büyük bir r için erf fonksiyonu 1'e ve potansiyel noktasal yük potansiyeli φ (r), 1 4 π ε 0 Q r {\displaystyle {1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{Q \over r}} {\displaystyle {1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{Q \over r}}'e yaklaşmaktadır. Ayrıca, erf fonksiyonu kendi argümanı arttıkça 1'e çok hızlı şekilde yaklaşmaktadır; pratikte r > 3σ için göreli hata binde birden küçüktür.

Ayrıca bakınız

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Ayrık Poisson denklemi
  • Poisson–Boltzmann denklemi
  • Poisson denklemi için benzersizlik teoremi

Kaynakça

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • "Poisson Equation" (PDF). EqWorld: The World of Mathematical Equations. 25 Mayıs 2005 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. .
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
  • A.D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

Dış bağlantılar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • "Poisson's equation". PlanetMath. 18 Şubat 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. .
  • "Poisson's Equation for a Point Source". COMSOL Multiphysics model gallery. 8 Mart 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. .
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Poisson_denklemi&oldid=34655763" sayfasından alınmıştır
Kategoriler:
  • Potansiyel teorisi
  • Eliptik kısmi diferansiyel denklemler
  • Elektrostatik
Gizli kategori:
  • ISBN sihirli bağlantısını kullanan sayfalar
  • Sayfa en son 09.47, 16 Ocak 2025 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
Poisson denklemi
Konu ekle