Laplasyen

Matematikte, Laplace operatörü ya da Laplasyen, Öklid uzayındaki bir skaler fonksiyonun gradyanı alınarak elde edilen vektörün diverjansı ile tanımlanan bir diferansiyel operatörüdür. Genellikle $\nabla \cdot \nabla$, $\nabla ^{2}$ (burada $\nabla$, nabla operatörüdür) veya $\Delta$ sembolleriyle gösterilir. Kartezyen koordinat sisteminde, Laplasyen, fonksiyonun her bağımsız değişkenine göre ikinci kısmi türevlerinin toplamı ile verilir. Silindirik ve küresel koordinatlar gibi diğer koordinat sistemlerinde de Laplasyenin kullanışlı bir formu vardır.

Laplace operatörü, operatörü ilk kez gök mekaniği çalışmasına uygulayan Fransız matematikçi Pierre-Simon Laplace (1749–1827) adına adlandırılmıştır. Belirli bir kütle yoğunluğu dağılımına bağlı olarak yerçekimi potansiyelinin Laplasyeni, bu yoğunluk dağılımının sabit bir katıdır. Laplace denklemi $\nabla ^{2}f$= 0'ın çözümleri, harmonik fonksiyonlar olarak adlandırılır ve vakumdaki olası yerçekimi potansiyellerini temsil eder.

Motivasyon

Difüzyon

Difüzyonun fiziksel teorisinde, Laplace operatörü,[difüzyon dengesinin matematiksel tanımında doğal olarak ortaya çıkar. Özellikle, eğer u bir miktarın, örneğin kimyasal bir yoğunluğun denge durumundaki yoğunluğunu temsil ediyorsa, V'nin düzgün bir bölgesinin sınırı ∂V (aynı zamanda S olarak da adlandırılır) boyunca u'nun net akısı sıfırdır, eğer V içinde bir kaynak veya yutucu yoksa: $$\int _{S}\nabla u\cdot \mathbf {n} ,dS=0,$$ burada n, V'nin sınırına dışa doğru olan birim normal vektördür. Diverjans teoremine göre, $$\int _{V}\operatorname {div} \nabla u,dV=\int _{S}\nabla u\cdot \mathbf {n} ,dS=0.$$ Bu, tüm düzgün bölgeler V için geçerli olduğundan, şu sonuca varılabilir: $$\operatorname {div} \nabla u=\Delta u=0.$$ Bu denklemin sol tarafı Laplace operatörüdür ve tüm denklem Δu = 0 olarak bilinen Laplace denklemidir. Laplace denkleminin çözümleri, yani Laplasyeni sıfır olan fonksiyonlar, difüzyon altında olası denge yoğunluklarını temsil eder.

Laplace operatörünün kendisi, denge dışı difüzyon için fiziksel bir yoruma sahiptir; bir noktanın kimyasal yoğunluk açısından bir kaynak ya da yutucu olarak ne derece işlev gördüğünü, difüzyon denklemi ile kesin hale getirilen bir anlamda gösterir. Laplasyenin bu yorumu, ortalamalar hakkındaki şu gerçek ile de açıklanabilir.

Ortalamalar

Sürekli iki kez türevlenebilir bir fonksiyon $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ve bir nokta $p\in \mathbb {R} ^{n}$ verildiğinde, $p$ merkezli ve yarıçapı $h$ olan küre üzerinde $f$'in ortalama değeri şu şekildedir: $${\overline {f}}_{B}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2(n+2)}}h^{2}+o(h^{2})\quad h\to 0\quad ,$$

Benzer şekilde, $p$ merkezli ve yarıçapı $h$ olan kürenin (bir topun sınırı olarak da düşünülebilir) üzerinde $f$'nin ortalama değeri şu şekildedir: $${\overline {f}}_{S}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2n}}h^{2}+o(h^{2})\quad h\to 0.$$

Potansiyele bağlı yoğunluk

Eğer φ skaler fonksiyonu, q ile gösterilen bir yük dağılımı ile ilişkili elektrostatik potansiyeli gösteriyorsa, yük dağılımı, φ'nin Laplasyeninin negatifi ile verilir: $$q=-\varepsilon _{0}\Delta \varphi ,$$ burada ε₀ elektrik sabitidir.

Bu, Gauss yasasının doğal bir sonucudur. Gerçekten de, V bölgesi, sınırı ∂V olan herhangi bir düzgün bölgeyse, Gauss yasasına göre elektrostatik alan E'nin sınır boyunca akısı, bu bölge içerisindeki toplam elektriksel yük ile orantılıdır: $$\int _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} \,dS=\int _{V}\operatorname {div} \mathbf {E} \,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.$$ burada ilk eşitlik diverjans teoremine dayanmaktadır. Elektrostatik alan, potansiyelin (negatif) gradyanı olduğundan, şu sonucu elde ederiz: $$-\int _{V}\operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )\,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.$$

Bu, olası tüm bölgeler V için geçerli olduğundan, şu sonuca varırız: $$\operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}q$$

Aynı yaklaşım, kütleçekimsel potansiyelin Laplasyeninin negatifinin kütle dağılımı olduğunu ima eder. Genellikle, yük (veya kütle) dağılımı bilinir ve buna bağlı potansiyel bilinmez. Uygun sınır koşullarına tabi potansiyel fonksiyonunu bulmak, Poisson denklemini çözmeye eşdeğerdir.

Enerji minimizasyonu

Laplace operatörünün fizikte ortaya çıkmasının bir diğer motivasyonu, Δf = 0 denkleminin çözümlerinin, bir bölge U'da Dirichlet enerjisi fonksiyonelini durağan nokta yapmasıdır: $$E(f)={\frac {1}{2}}\int _{U}\lVert \nabla f\rVert ^{2}dx.$$

Bunu görmek için, f : U → R bir fonksiyon ve u : U → R U bölgesinin sınırında sıfır olan bir fonksiyon olsun. O zaman: $$\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}E(f+\varepsilon u)=\int _{U}\nabla f\cdot \nabla u,dx=-\int _{U}u\Delta fdx$$Son eşitlik, Green teoremi (Green'in birinci özdeşliği) kullanılarak elde edilir. Bu hesaplama, eğer Δf = 0 ise, E'nin f etrafında durağan olduğunu gösterir. Tersine, eğer E, f etrafında durağan ise, varyasyonlar hesabının temel teoremine göre Δf = 0 olur.

Koordinat ifadeleri

İki boyut

İki boyutta Laplace operatörü şu şekilde verilir:

Kartezyen koordinatlarda, $$\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}$$ burada x ve y, xy-düzleminin standart Kartezyen koordinatlarıdır.

Kutupsal koordinatlarda, $${\begin{aligned}\Delta f&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}},\end{aligned}}$$ burada r radyal mesafeyi, θ ise açıyı temsil eder.

Üç boyut

(Ayrıca bakınız: Silindirik ve küresel koordinatlarda del operatörü)

Üç boyutta, Laplace operatörü çeşitli koordinat sistemlerinde sıkça kullanılır.

Kartezyen koordinatlarda: $$\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.$$Silindirik koordinatlarda: $$\Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},$$ burada $\rho$ radyal mesafeyi, φ azimutal açıyı ve z yüksekliği temsil eder.

Küresel koordinatlarda: $$\Delta f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},$$ veya $$\Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(rf)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},$$İlk ve ikinci terimi genişlettiğimizde ifadeler aşağıdaki şekli alır:$$\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\left(\cos \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}+\sin \theta {\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},$$ burada φ azimutal açıyı ve θ zenit açısını temsil eder.

Genel eğrisel koordinatlarda (ξ¹, ξ², ξ³): $$\Delta =\nabla \xi ^{m}\cdot \nabla \xi ^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m},\partial \xi ^{n}}}+\nabla ^{2}\xi ^{m}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{m}}}=g^{mn}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m},\partial \xi ^{n}}}-\Gamma _{mn}^{l}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{l}}}\right),$$burada tekrarlanan indisler üzerinde toplama varsayılmıştır, g^mn ters metrik tensördür ve Γ^l _mn seçilen koordinatlar için Christoffel sembolleridir.