Routh teoremi

Geometride, Routh teoremi verilen bir üçgen ile üç cevianın ikili kesişimlerinden oluşan bir üçgen arasındaki alanların oranını belirler. Teorem, eğer $ABC$ üçgeninde $D$ , $E$ ve $F$ noktaları, $BC$ , $CA$ ve $AB$ doğru parçaları üzerindeyse, o zaman ${\tfrac {CD}{BD}}=x$ , ${\tfrac {AE}{CE}}=y$ ve ${\tfrac {BF}{AF}}=z$ olmak üzere, $AD$ , $BE$ ve $CF$ cevianları tarafından oluşturulan işaretli üçgenin alanı şöyle bulunur:

S_{ABC}{\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}},

burada $S_{ABC}$ , $ABC$ üçgeninin alanıdır.

Bu teorem, Edward John Routh tarafından 1896 yılında Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples adlı eserinin 82. sayfasında verilmiştir. Özel durum $x=y=z=2$ , yedide bir alanlı üçgen olarak popüler hale gelmiştir. $x=y=z=1$ durumu, üç kenarortayın tek noktada (sentroid) kesiştiğini gösterir.

İspat

$ABC$ üçgeninin alanının 1 olduğunu varsayalım. $ABD$ üçgeni ve $FRC$ doğrusu için Menelaus teoremi şu şekilde ifade edilir:

{\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=1

.

O halde ${\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}\times {\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}$ . Böylece $ARC$ üçgeninin alanı:

S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}\times {\frac {DC}{BC}}S_{ABC}={\frac {x}{zx+x+1}}

Benzer argümanlarla, $S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}$ ve $S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1}}$ . Bu nedenle $PQR$ üçgeninin alanı:

{\begin{aligned}S_{PQR}&=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}\\&=1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}\\&={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}.\end{aligned}}

Atıflar

Routh teoremi için yaygın olarak verilen atıf Routh'un Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples, Cilt 1, Bölüm IV, 1896 tarihli ikinci baskı, s. 82'dir, muhtemelen bu baskıyı bulmak daha kolay olduğu içindir. Ancak Routh teoremi 1891 tarihli ilk baskıda, Cilt 1, Bölüm IV, s. 89'da zaten belirtmiştir. Baskılar arasında sayfa numaralarında bir değişiklik olmasına rağmen, ilgili dipnotun ifadesi aynı kalmıştır. Routh, genişletilmiş dipnotunu bir uyarı ile sonlandırmaktadır:

“	Yazar, sıklıkla karşılaşılan iki üçgenin alanları için bu ifadelerle karşılaşmamıştır. Bu nedenle, metindeki argümanın daha kolay anlaşılabilmesi için bunları buraya yerleştirmiştir.	„

Muhtemelen Routh, baskılar arasındaki beş yıl içinde bu koşulların değişmediğini düşünmüştür. Öte yandan, Routh'un kitabının başlığı daha önce Isaac Todhunter tarafından kullanılmıştı; her ikisi de William Hopkins tarafından eğitilmişti.

Routh, teoremi kitabında yayınlamış olsa da, bilinen ilk yayınlanmış ifade ve ispat, Solutions of the Cambridge Senate-house Problems and Riders for the Year 1878, yani o yılki Cambridge Mathematical Tripos'un 33. sayfasında yer alan rider (vii) şeklindedir.Bu bölümdeki Roma rakamlı problemlerin yazarı, aynı zamanda tüm cildin editörlüğünü de yapan James Whitbread Lee Glaisher idi. Routh, kitabı yayınlandığında tanınmış bir Tripos hocasıydı ve 1878 Tripos sınavının içeriğine kesinlikle aşinaydı, ancak yukarıda alıntılanan ifadesinden de anlaşılacağı üzere, aradan geçen on üç yıl içinde teoremin kaynağını unutmuş olabilir.

Bu ruha sahip problemlerin eğlence matematiği ve matematiksel pedagoji alanlarında uzun bir geçmişi vardır; belki de en eski örneklerinden biri Stomachion tahtasının on dört bölgesinin oranlarının belirlenmesidir. Routh'un Cambridge'i akılda tutularak, bazı hesaplarda Richard Feynman ile ilişkilendirilen yedide bir alanlı üçgen, örneğin, Soru 100, p.80, Trinity College'dan Robert Potts (1805-1885) tarafından 1859'da yayınlanan Euclid's Elements of Geometry (Fifth School Edition) kitabında; aynı sayfadaki 98, 99 numaralı sorularıyla da karşılaştırın. Potts 1832'de yirmi altıncı Wrangler olmuş ve daha sonra Hopkins ve Routh gibi Cambridge'de koçluk yapmıştır. Pott'un geometri alanındaki açıklayıcı yazıları 1862 Uluslararası Sergisinde bir madalya ve College of William and Mary, Williamsburg, Virginia'dan onur derecesiyle ödüllendirilmiştir.

Kaynakça

Murray S. Klamkin and A. Liu (1981) "Three more proofs of Routh's theorem", Crux Mathematicorum 7:199–203.
H. S. M. Coxeter (1969) Introduction to Geometry, statement p. 211, proof pp. 219–20, 2nd edition, Wiley, New York.
J. S. Kline and D. Velleman (1995) "Yet another proof of Routh's theorem" (1995) Crux Mathematicorum 21:37–40
Ivan Niven (1976) "A New Proof of Routh's Theorem", Mathematics Magazine 49(1): 25–7, DOI:10.2307/2689876
Jay Warendorff, Routh's Theorem, The Wolfram Demonstrations Project.
Eric W. Weisstein, Routh's Theorem (MathWorld)
Routh's Theorem by Cross Products at MathPages
Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) "Routh's theorem revisited", Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.