Kenarortay

Kenarortaylar ve ağırlık merkezi

Kenarortay üçgende bir kenarın orta noktasını karşı köşeye birleştiren doğru parçası. Kenarortayların kesiştiği noktaya o üçgenin ağırlık merkezi denir ve G harfi ile adlandırılır.

Bir üçgende ağırlık merkezi kenarortayı ikiye bir oranında böler. Yani bir üçgende köşeye A, kenarortayın kenarı kestiği noktaya D dersek;
$|AG|=2|GD|$

Kenarortay formülleri

Kenarortay uzunluğu

Bir üçgende kenarortayın uzunluğunu bulmak için;

$2V_{a}^{2}=b^{2}+c^{2}-{\frac {a^{2}}{2}}$ bağıntısı kullanılır.

Eğer tüm kenarortaylar için bu eşitlik yazılır ve taraf tarafa toplanırsa şu eşitlik elde edilir:

$4(V_{a}^{2}+V_{b}^{2}+V_{c}^{2})=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

İspatı

Kenarortayın kenarı kestiği noktada bir açıya x, diğer açıya 180-x yazılırsa ve iki defa kosinüs teoremi uygulanıp taraf tarafa toplanırsa kenarortay teoremi elde edilir.

Dik üçgende kenarortay

Muhteşem üçlü

Bir dik üçgende A noktasından hipotenüse ait çizilen kenarortay doğru parçası hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem üçlü):

$|MA|={\frac {|BC|}{2}}$

Bir dik üçgende dik kenarlara ait kenarortaylarının karelerinin toplamı hipotenüse ait kenarortayın karesinin beş katıdır:

$V_{b}^{2}+V_{c}^{2}=5V_{a}^{2}={\frac {5}{4}}a^{2}$

İspatı

Şu bağıntıyı yukarıda görmüştük:

$4(V_{a}^{2}+V_{b}^{2}+V_{c}^{2})=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Hipotenüs c kabul edilirse Pisagor teoremi gereği a²+b² yerine c² yazılır. Muhteşem üçlüye göre c yerine 2V_c yazılıp düzenlenirse eşitlik elde edilir.

Dik kesişen kenarortaylar

Eğer bir üçgende herhangi iki kenarortay dik olarak kesişiyorsa bu bağıntılar ortaya çıkar:

$V_{b}$ ve $V_{c}$ dik kesişen kenarortaylar olmak üzere;

$V_{b}^{2}+V_{c}^{2}=V_{a}^{2}$

Kenarortayın izdüşüm uzunluğu

Bir kenar üzerindeki yükseklik ile kenarortayı birleştiren doğru parçası kenarortayın izdüşümüdür ve uzunluğu(x) şu formülle hesaplanır:

$2ax=|b^{2}-c^{2}|$

Ayrıca bakınız

• Üçgen
• Açıortay