Sistolik geometri

Gromov’un hipereliptik durum için ortaya koyduğu doldurma alanı varsayımı, bir futbol topunun yüzeyi üzerindeki jeodezik eğriler kullanılarak kanıtlanmıştır.

Sistolik geometri, diferansiyel geometri alanında, bir topolojik uzay üzerindeki metrik yapının belirli homotopi sınıflarındaki en kısa döngülerle (sistollerle) olan ilişkisini inceleyen bir disiplindir. Bu geometri dalı, özellikle bir uzayın hacmi ile homotopik olarak sıfıra indirgenemeyen döngülerinin uzunlukları arasındaki eşitsizlikleri araştırır.

Alan, 20. yüzyılın ortalarında Charles Loewner tarafından başlatılmış ve Mikhail Gromov tarafından genelleştirilerek sistematik bir yapıya kavuşturulmuştur. Sistolik eşitsizlikler, bir manifold üzerindeki geometrik yapıların sınırlamalarını anlamada güçlü bir araç sunar. Örneğin, bir torus üzerindeki en kısa sıkıştırılamaz döngü ile alanı arasındaki ilişkiyi ortaya koyan Loewner eşitsizliği, bu alanın temel örneklerindendir.

Sistolik geometri sadece teorik bir alan olarak değil, aynı zamanda topoloji, geometri ve matematiksel fizik arasında köprü kuran birçok uygulamaya sahiptir. Modern araştırmalarda Ricci eğriliği, minimal yüzeyler ve geodezik ağlar gibi yapılarla da ilişkilendirilerek daha geniş matematiksel çerçeveler içinde değerlendirilmektedir.