Trigonometrik polinom

Şekil, Fourier serisinin $f(x)=5\sin(x)\cos ^{2}(2x)+\sin ^{14}(12x)$ trigonometrik polinomuna yakınsadığını gösterir. Yakınsama tamdır, ancak birçok katsayı gerekir.

Sayısal analiz ve matematiksel analiz alt alanlarında, bir trigonometrik polinom, sin(nx) ve cos(nx) fonksiyonlarının sonlu bir doğrusal kombinasyonu olup n bir veya daha fazla doğal sayı değerini alır. Gerçel değerli fonksiyonlar için, katsayılar gerçel sayılar olarak alınabilir. Kompleks katsayılar için, böyle bir fonksiyon ile sonlu bir Fourier serisi arasında bir fark yoktur.

Trigonometrik polinomlar, örneğin periyodik fonksiyonların interpolasyonuna uygulanan trigonometrik interpolasyonda yaygın olarak kullanılır. Ayrıca ayrık Fourier dönüşümünde de kullanılırlar.

Gerçel değerli durum için trigonometrik polinom terimi analoji kullanmak olarak görülebilir: sin(nx) ve cos(nx) fonksiyonları polinomlar için monomial basise benzer. Karmaşık durumda trigonometrik polinomlar $e^{ix}$'in pozitif ve negatif kuvvetleri tarafından yayılır, yani $x\mapsto z:=e^{ix}$ değişkenlerin değişimi altında $z$'de Laurent polinomudur.

Tanım

Aşağıdaki biçimde herhangi bir T fonksiyonu,

$$T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbb {R} )$$

katsayıları $a_{n},b_{n}\in \mathbb {C}$ ve en yüksek dereceli katsayılardan en az biri $a_{N}$ ve $b_{N}$ sıfır olmayan, N dereceli bir “karmaşık trigonometrik polinom” olarak adlandırılır. Euler formülü kullanılarak polinom, $c_{n}\in \mathbb {C}$ olmak üzere şu şekilde yeniden yazılabilir:

$$T(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx}\qquad (x\in \mathbb {R} ).$$

Benzer şekilde, $a_{n},b_{n}\in \mathbb {R}$ katsayıları ve $a_{N}$ ve $b_{N}$ katsayılarından en az birinin sıfır olmaması veya eşdeğer olarak, $c_{n}\in \mathbb {R}$ ve $c_{n}={\bar {c}}_{-n}$ tüm $n\in [-N,N]$ için,

$t(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbb {R} )$

N dereceli bir reel trigonometrik polinom olarak adlandırılır.

Özellikler

Bir trigonometrik polinom, reel doğru üzerinde periyodu $2\pi$'nin bir böleniyle periyodik bir fonksiyon veya birim çember üzerinde bir fonksiyon olarak düşünülebilir.

Trigonometrik polinomlar, birim çember üzerindeki sürekli fonksiyon uzayında düzgün norm ile yoğundur; bu Stone-Weierstrass teoreminin özel bir durumudur. Daha somut olarak, her sürekli $f$ fonksiyonu ve her $\epsilon >0$ için bir trigonometrik $T$ polinomu vardır, öyle ki $|f(z)-T(z)|<\epsilon$ tüm $z$ değerleri için. Fejér teoremi, $f$ Fourier serisinin kısmi toplamlarının aritmetik ortalamalarının, $f$'nin çember üzerinde sürekli olması koşuluyla $f$'ye düzgün bir şekilde yakınsadığını belirtir; bu kısmi toplamlar $f$'ye yaklaşmak için kullanılabilir.

Derecesi $N$ olan bir trigonometrik polinom, sıfır fonksiyonu olmadığı sürece $[a,a+2\pi )$ reel aralığında maksimum $2N$ köke sahiptir.

Fejér-Riesz teoremi

Fejér-Riesz teoremi, tüm $x\in \mathbb {R}$ için $t(x)>0$'ı sağlayan her pozitif reel trigonometrik polinom $$t(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx},$$ için, başka bir (genellikle “karmaşık”) trigonometrik $q(x)$ polinomunun modül karesi olarak temsil edilebileceğini belirtir, öyle ki: $$t(x)=|q(x)|^{2}=q(x){\bar {q}}(x).$$ Ya da eşdeğer olarak, tüm $\zeta \in \mathbb {T}$ için $w(\zeta )\geq 0$ koşulunu sağlayan $w_{n}\in \mathbb {C}$ olmak üzere, her Laurent polinomu $$w(z)=\sum _{n=-N}^{N}w_{n}z^{n},$$ bazı $p(z)$ polinomları için aşağıdaki şekilde yazılabilir:

$$w(\zeta )=|p(\zeta )|^{2}=p(\zeta ){\bar {p}}({\bar {\zeta }}),$$

Kaynakça

• Dritschel, Michael A.; Rovnyak, James (2010). "The Operator Fejér-Riesz Theorem". A Glimpse at Hilbert Space Operators. Basel: Springer Basel. doi:10.1007/978-3-0346-0347-8_14. ISBN 978-3-0346-0346-1. 
• Hussen, Abdulmtalb; Zeyani, Abdelbaset (2021). "Fejer-Riesz Theorem and Its Generalization". International Journal of Scientific and Research Publications (IJSRP). 11 (6). ss. 286-292. doi:10.29322/IJSRP.11.06.2021.p11437. 
• Powell, Michael J. D. (1981), Approximation Theory and Methods, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-29514-7 
• Riesz, Frigyes; Szőkefalvi-Nagy, Béla (1990). Functional analysis. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66289-3. 
• Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, 3rd, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157 .