Zayıf türev

Matematikte zayıf türev, güçlü türev olarak da bilinen olağan türev kavramının bir genellemesidir. Zayıf türev kavramı türevlenebilir olmadığı ama bir Lebesgue uzayında olduğu varsayılan fonksiyonlar için geliştirilmiş bir türev kavramıdır.

Zayıf türev kavramı aynı zamanda Sobolev uzaylarındaki zayıf çözüm kavramının tanımlanmasına da yol açar.

Tanım

Tanımın arkasında yatan ana fikir bir Lebesgue uzayı içindeki sonsuz türevli ve tıkız desteğe sahip fonksiyonların bu uzay içinde yoğun olarak var olması gerçeğine dayanır. Gerçekten de, türevlenebilir $u$ ve $\varphi$ fonksiyonları için parçalı integral yazılırsa

$${\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)\varphi '(x)\,dx&={\Big [}u(x)\varphi (x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)\varphi (x)\,dx\\[6pt]\end{aligned}}$$

elde edilir. $\varphi$ fonksiyonu ayrıca tıkız desteğe sahipse, o zaman ${\Big [}u(x)\varphi (x){\Big ]}_{a}^{b}$ terimi sıfır olur. Böylece, türevli her $u$ ve tıkız desteğe sahip, sonsuz türevli her $\varphi$ fonksiyonu için

$${\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)\varphi '(x)\,dx&=-\int _{a}^{b}u'(x)\varphi (x)\,dx\\[6pt]\end{aligned}}$$

elde edilir. Tıkız desteğe sahip sonsuz türevli $\varphi$ gibi fonksiyonların kümesi Lebesgue uzayında yoğun olduğundan, $u$ fonksiyonunun türevli olduğu varsayımı kaldırılarak aşağıdaki gibi basit bir zayıf tanıma ulaşılabilir.

Basit tanım

Gerçel sayılar üzerindeki bir $[a,b]$ kapalı aralığı üzerinde tanımlı ve $L^{1}([a,b])$ uzayında yer alan bir $u$ fonksiyonunu ele alalım. $\varphi (a)=\varphi (b)=0$ özelliğine sahip sonsuz türevli her $\varphi$ fonksiyonu için

$\int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)\,dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)\,dt$

eşitliğini sağlayan bir $v\in L^{1}([a,b])$ fonksiyonu varsa, $v$ fonksiyonuna $u$ fonksiyonunun zayıf türevi denir.

Genel tanım

Öklid uzayındaki açık bir $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ kümesinde tanımlı ve gerçel değerli fonksiyonların zayıf türevini tanımlamak için ilk önce çoklu indis gösterimi altında türev operatörünü tanımlayalım.
$\mathbb {N} ^{n}=\{(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})|\alpha _{i}\in \mathbb {N} \quad \forall i=1,\ldots ,n\}$ kümesi ${\textstyle n}$-boyutlu doğal sayılar kümesi olsun. $x_{1},\cdots ,x_{n}$ Öklid uzayındaki bağımsız değişkenleri temsil etsin. $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ için $|\alpha |:=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$ tanımlansın ve $D^{\alpha }$ türev operatörünü yeteri kadar türevli bir $\varphi$ için $$D^{\alpha }\varphi ={\frac {\partial ^{|\alpha |}\varphi }{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}\left(\cdots \left({\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\varphi \right)\right)$$ ile tanımlayalım. Tanımın arkasında yatan ana fikir yüksek boyutlu Öklid uzayında da geçerlidir. Diğer deyişle, $|\alpha |$ kere türevli her $u:U\to \mathbb {R}$ ve tıkız desteğe sahip, sonsuz türevli her $\varphi$ fonksiyonu için

$${\begin{aligned}\int _{U}u\ D^{\alpha }\varphi \,dx&=(-1)^{|\alpha |}\int _{U}D^{\alpha }u\ \varphi \,dx\\[6pt]\end{aligned}}$$

elde edilir.

Yerel olarak integrallenebilir bir $u:U\to \mathbb {R}$ fonksiyonunu; yani, $U$ kümesindeki her tıkız küme üzerinde integrallenebilir bir $u:U\to \mathbb {R}$ fonksiyonunu ele alalım ve böyle bir fonksiyonu $u\in L_{\text{loc}}^{1}(U)$ ile gösterelim. $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ olsun. $U$ üzerinde tıkız desteğe sahip sonsuz türevli her $\varphi$ fonksiyonu için

$\int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi$

eşitliğini sağlayan bir $v\in L_{\text{loc}}^{1}(U)$ fonksiyonu varsa, o zaman, $v$ fonksiyonuna $u$ fonksiyonunun $\alpha$ mertebesinden zayıf türevi denir.

Özellikler

Bir $u$ fonksiyonunun zayıf türevi varsa, bu zayıf türev Lebesgue anlamında biriciktir. Diğer deyişle, eğer bir fonksiyonun iki zayıf türevi varsa, bu zayıf türevler en fazla ölçüsü sıfır olan kümeler üzerinde farklı değerler alırlar. Bir başka deyimle, bu ki fonksiyon hemen hemen her yerde birbirine eşittir. Fonksiyonların birbirine hemen hemen her yerde eşit olan fonksiyonların denklik sınıfı olarak alırsak, o zaman türev biricik olacaktır. Bu yüzden, bir $u$ fonksiyonunun zayıf türevini $D^{\alpha }u$ olarak göstermekte genelde sakınca yoktur. Genellikle, birden fazla zayıf türevin varlığı bir sorun değildir; çünkü, fonksiyonlar hemen hemen her yerde eşitse L^p uzayları ve Sobolev uzayları teorisinde eşdeğer kabul edilir.

Güçlü türevi Lebesgue uzayında yer alan bir $u$ fonksiyonu için zayıf türev tanımındaki integral koşulu zaten sağlanacaktır. Böylece, zayıf türev tanımı güçlü türev tanımını genelleştirmiş olur. Dahası, güçlü türev için geçerli olan toplamın türevi ya da çarpımın türevi gibi kurallar, zayıf türevlilik için de geçerli olacaktır. Başka bir zayıf türev özelliği ise, zayıf türevi 0 olan bir fonksiyonun sabit olması gerektiğidir. Gerçekten de, bir $(a,b)$ aralığı üzerinde gerçel değerler alan böyle bir $f$ fonksiyonunun sabit olduğunu göstermek için, şöyle tartışılabilir:
İlk önce zayıf türev tanımı gereği, sonsuz türevli ve tıkız destekli harhangi bir $\phi$ fonksiyonu için

$\int _{a}^{b}f\phi 'dx=0$

olacaktır. $\eta$ fonksiyonu, $(a,b)$ aralığında tıkız destekli ve bu aralık üzerinde integrali 1e eşit olan sonsuz türevli bir fonksiyon olsun. O zaman, sonsuz türevli ve tıkız destekli herhangi bir $\phi$ fonksiyonu için

$A:=\int _{a}^{b}\phi dx\quad {\text{ ve }}\quad \psi (x)=\int _{a}^{x}\left(\phi (t)-A\eta (t)\right)dt$

yazarak, $\phi =A\eta +\psi '$ yazılabilir. O zaman, $c=\int _{a}^{b}f\eta dx$ olmak üzere

$\int _{a}^{b}f\phi dx=A\int _{a}^{b}f\eta dx+\int _{a}^{b}f\psi 'dx=A\int _{a}^{b}f\eta dx=c\int _{a}^{b}\phi$

olur. Bu yüzden, sonsuz türevli ve tıkız destekli harhangi bir $\phi$ fonksiyonu için

$\int _{a}^{b}(f-c)\phi dx=0$

olur ki bu da noktasal olarak hemen hemen her yerde $f=c$ eşitliğini verir. Sonuç olarak, $f$ sabit bir fonksiyona denktir.

Örnekler

$u:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{+},u(t)=|t|$ olarak tanımlanan mutlak değer fonksiyonunun $t=0$ noktasında türevi yoktur. Yine de, işaret fonksiyonu olarak da bilinen $v:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ $$v(t)={\begin{cases}1&t>0{\text{ ise}};\\[6pt]0&t=0{\text{ ise}};\\[6pt]-1&t<0{\text{ ise}}.\end{cases}}$$ fonksiyonu $u$'nun zayıf türevidir. Daha önce vurgu yapıldığı üzere, bu fonksiyondan sıfır ölçülü herhangi bir gerçel sayılar kümesinde farklılaşan başka herhangi bir fonksiyon yine $u$'nun zayıf türevi olacaktır. Örneğin, yukarıdaki işaret fonksiyon tanımındaki $v(0)$ tanımı herhangi bir sayı alınabilir.

Rasyonel sayıların karakteristik fonksiyonu $1_{\mathbb {Q} }$ hiçbir yerde türevli olmayan bir fonksiyondur ama bu fonksiyonun zayıf türevi vardır. Rasyonel sayıların Lebesgue ölçüsü sıfır olduğundan, $$\int 1_{\mathbb {Q} }(t)\varphi (t)\,dt=0$$ olur. Böylece, $v(t)=0$ olarak tanımlanan sıfır fonksiyonu $1_{\mathbb {Q} }$ fonksiyonunun zayıf türevi olur. Yalnız burada dikkat edilmesi gereken bu zayıf türevin sezgilerimize ters olabileceğidir. Diğer deyişle, $1_{\mathbb {Q} }$ bir $L^{p}$ uzayının üyesi olarak düşünüldüğünde sıfır fonksiyonu ile aynı denklik sınıfına sahiptir; yani, bu fonksiyonlar, Lebesgue ölçüsü sıfır olan $\mathbb {Q}$ kümesi üzerinde farklılaşırlar.

Zayıf türev kavramı hemen hemen her yerde türevliliği genelleştirmez. Diğer deyişle, hemen hemen her yerde türevi olan bir fonksiyonun zayıf türevi olmayabilir. Örneğin, Cantor fonksiyonu $c$ süreklidir ve hemen hemen her yerde türevi de vardır. Ancak, bu fonksiyonun zayıf türevi yoktur. Fonksiyonun zayıf türevi olsaydı, o zaman bu zayıf türevin, Cantor fonksiyonunun sabit olduğu her aralıkta 0 değeri alması gerekirdi. Gerçekten de böyle bir aralıkta desteği olmayan sonsuz türevli fonksiyonlar aracılığıyla bu özellik gösterilebilr. Ama, bu gibi aralıkların birleşiminin ölçüsü 1 olacağı için, o zaman bu zayıf türevin hemen hemen her yerde 0 değeri alması gerekirdi. Ancak, zayıf türevi 0 olan bir fonksiyon aslında hemen hemen her yerde sabit fonksiyondur. Sonuç olarak, Cantor fonksiyonu sürekliliğinden dolayı her yerde sabit fonksiyon olacaktır. Böylece, $0=c(0)<c(1)=1$ olan bir fonksiyon için sabit olduğu çıkarımı yapıldı ki bu da bir çelişkidir. Bu yüzden, baştaki zayıf türevin varlığı varsayımı yanlıştır.