Türev alma kuralları

Türev, matematikteki ve özellikle diferansiyeldeki temel kavramlardan biridir. Aşağıda temel türev alma kuralları ve bazı fonksiyonların türev kuralları yer almaktadır.

Temel türev alma kuralları

Sabit fonksiyonun türevi

Herhangi bir $c\in \mathbb {R}$ için, eğer $f(x)=c$ ise, o zaman ${\frac {df}{dx}}=0$ olur.

Kanıt

$c\in \mathbb {R}$ olsun. O zaman, türevin tanımından yola çıkarak

${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {(c)-(c)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}0\\&=0\end{aligned}}$

elde edilir.

Türev almanın doğrusallığı

Ana madde: Türevin doğrusallığı

$f$ ve $g$ iki fonksiyon, $a$ ve $b$ iki gerçel sayı olsun. O zaman, $h(x)=af(x)+bg(x)$ fonksiyonunun $x$'e göre türevi

$h'(x)=af'(x)+bg'(x).$

Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır: $${\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.$$ Türevin doğrusallığı şu özel halleri de verir:

• Sabitle çarpım kuralı

$\left({cf}\right)'=cf'$

• Toplama kuralı

$$(f+g)'=f'+g'$$

• Çıkarma kuralı

$$(f-g)'=f'-g'.$$

Çarpımın türevi

Ana madde: Çarpma kuralı

$f$ ve $g$ iki fonksiyon olsun. O zaman, $h(x)=f(x)g(x)$ fonksiyonunun $x$'e göre türevi

$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

şeklinde olmalıdır. Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır: $${\frac {d(fg)}{dx}}=g{\frac {df}{dx}}+f{\frac {dg}{dx}}.$$

Zincir kuralı

Ana madde: Zincir kuralı

$h(x)=f(g(x))$ fonksiyonunun türevi şu şekilde verilir: $$h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).$$ Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır: $${\frac {d}{dx}}h(x)=\left.{\frac {d}{dz}}f(z)\right|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),$$ ve genelde şu şekilde kısaltılır: $${\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.$$

Ters fonksiyon kuralı

Ana madde: Ters fonksiyon kuralı

Eğer f fonksiyonunun ters fonksiyonu g ise; yani, $g(f(x))=x$ ve $f(g(y))=y$ ise $$g'={\frac {1}{f'\circ g}}.$$ Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır: $${\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}.$$

Kuvvet yasası, polinomlar, bölme ve çarpmaya göre ters

Polinom ve basit kuvvet kuralı

Ana madde: Kuvvet kuralı

$f(x)=x^{r}$ ise her $r\neq 0,$ için

$f'(x)=rx^{r-1}.$

Eğer $r=1$ ise o zaman $f(x)=x$'tir ve $f'(x)=1$ olur. Kuvvet kuralını toplama ve sabit terimle çarpma kuralı ile birleştirerek polinomların türevi hesaplanabilir.

Çarpmaya göre tersin türevi

Ana madde: Çarpmaya göre tersin türevi

Eğer bir fonksiyon, başka bir fonksiyonun çarpmaya göre tersi ise; yani, $h(x)={\frac {1}{f(x)}}$ ile tanımlanmışşsa ve f sıfır değeri almıyorsa

$h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}$ (f nin 0 olmadığı her yerde)

olur. Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır:

${\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.$

Çarpmaya göre tersin türevi böle kuralından ya da kuvvet luralı ve zincir kuralının peşpeşe kullanılmasında elde edilebilir.

Bölmenin türevi

Ana madde: Bölme kuralı

f ve g iki fonksiyon olsun. O zaman, g nin 0 olmadığı her yerde

$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}$

olur. Bu kural, çarpma kuralı ve çarpmaya göre tersin türevi beraber kullanılarak gösterilebilir.

Genel kuvvet kuralı

Ana madde: Kuvvet kuralı

Kuvvet kuralı daha genel hale de uygulanabilir. Eğer ${\textstyle f(x)=x^{a}\!}$ ise, o zaman a 0 olmadığı ve x pozitif olduğu müddetçe,

${\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}$

olur. Bunun daha genel hali için f ve g iki fonksiyon olsun. O zaman,

$(f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad$

Bu halde, çarpmaya göre tersin türevi ${\textstyle g(x)=-1\!}$ alınarak bulunabilir.

Üstel ve logaritma fonksiyonlarının türevleri

$d/dx$, fonksiyonun $x$'e göre türevinin alındığını gösterir.

${d \over dx}c^{x}={c^{x}\ln c},\qquad c>0$

Eğer ${\textstyle c<0}$ olursa, o zaman karmaşık sayılar göz önüne alınmalıdır.

${d \over dx}e^{ax}=ae^{ax}$

${d \over dx}\log _{c}x={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1$

Eğer ${\textstyle c<0}$ olursa, o zaman karmaşık sayılar göz önüne alınmalıdır.

${d \over dx}\ln x={1 \over x}\qquad x>0$

${d \over dx}\ln |x|={1 \over x}\qquad x\neq 0$

${d \over dx}x^{x}=x^{x}(1+\ln x)$

${\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{ eğer }}f(x)>0{\text{ ise ve}}{\frac {df}{dx}}{\text{ ve }}{\frac {dg}{dx}}{\text{ varsa.}}$

${\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ eğer }}f_{i<n}(x)>0{\text{ ve }}$ ${\frac {df_{i}}{dx}}{\text{ varsa. }}$

Logaritmik türevler

Ana madde: Logaritmik türev

Logaritmik türev bir fonksiyonun logaritmasının türevini ifade etmenin bir başka yoludur

$(\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad$ (f pozitif olduğu müddetçe).

Logaritma ile türev alma

Logaritma ile türev alma özellikle karmaşık fonksiyonlar için kullanılır. Logaritma ile türev alınırken ilk önce fonksiyon yazılır ve fonksiyonun doğal logaritması alınır. Sonra da iki tarafında türevi alınır. Son olarak da fonksiyonun türevi izole edilir. Örnek olarak:

${\begin{aligned}h(x)&=f(x)g(x)\\\ln(h(x))&=\ln(f(x)g(x))\\\ln(h(x))&=\ln(f(x))+\ln(g(x))\\{\frac {h'(x)}{h(x)}}&={\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\\h'(x)&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\\end{aligned}}$

Ve türevin çarpma kuralının özel bir durumunda, yani $f(x)>0$ ve $g(x)>0$ iken elde edilir.

Trigonometrik fonksiyonların türevleri

Ana madde: Trigonometrik fonksiyonların türevleri

Trigonometrik fonksiyonların türevi, temel prensipler kullanılarak, yani eğrinin eğimini veren cebirsel bir ifade bulunarak elde edilir:

${d \over dx}\sin x=\cos x$	${\frac {d}{dx}}\arcsin x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
${\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x$	${\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
${\frac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x$	${\frac {d}{dx}}\arctan x={\frac {1}{1+x^{2}}}$
${\frac {d}{dx}}\csc x=-\csc {x}\cot {x}$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\frac {d}{dx}}\sec x=\sec {x}\tan {x}$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\frac {d}{dx}}\cot x=-\csc ^{2}x=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-1-\cot ^{2}x$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x=-{1 \over 1+x^{2}}$

Yukarıdaki ters fonksiyonların bazıları için tanımları gereği şart koymak gerektir. Burada, ters sekant fonksiyonun görüntü kümesi $[0,\pi ]\!$ ve ters kosekant fonksiyonunun görüntü kümesi $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ olarak değerlendirilmiştir. Ayrıca, ters tanjant fonksiyonu da bazen $\arctan(y,x)$ olarak gösterilebilir. Görüntü kümesi $[-\pi ,\pi ]$ ve $(x,y)$ hangi kuadrantta yer aldığını yansıtır. Birinci ve dördüncü kuadrantta (yani $x>0$ iken) $\arctan(y,x>0)=\arctan(y/x)$ olur. O zaman kısmi türevler

${\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\qquad {\text{ve}}\qquad {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial x}}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}$

halinde hesaplanır.

Hiperbolik fonksiyonların türevleri

${\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$
${\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$
${\frac {d}{dx}}\tanh x={\operatorname {sech} ^{2}x}=1-\tanh ^{2}x$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x={\frac {1}{1-x^{2}}}$
${\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x=-\operatorname {csch} {x}\coth {x}$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}$
${\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x=-\operatorname {sech} {x}\tanh {x}$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\frac {d}{dx}}\coth x=-\operatorname {csch} ^{2}x=1-\coth ^{2}x$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x={\frac {1}{1-x^{2}}}$

BU türevlerin üzerindeki sınırlandırmaları görmek için Hiperbolik fonksiyonlar'a bakınız.

Özel fonksiyonlarin türevleri

Gama fonksiyonu

$\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt$

${\begin{aligned}\Gamma '(x)&=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt\\&=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)\\&=\Gamma (x)\psi (x)\end{aligned}}$

Burada, $\psi (x)$ digama fonksiyonudur.

Riemann zeta fonksiyonu

$\zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}$

${\begin{aligned}\zeta '(x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \\&=-\sum _{p{\text{ asal}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ asal}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\end{aligned}}$

İntegralin türevi

Ana madde: İntegral altında türev alma

Diyelim ki

$F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)dt$

biçiminde verilen bir fonksiyonun xe göre türevini almak istiyoruz. Diyelim ki şu koşullar sağlanıyor:

• $(t,x)$ düzleminin $a(x)\leq t\leq b(x),$ $x_{0}\leq x\leq x_{1}$ koşullarını da sağlayacak belli bir bölgesinde $f(x,t)$ ve ${\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)$ fonksiyonları hem $t$ hem de $x$ değişkeninde sürekliler
• $a(x)$ ve $b(x)$ fonksiyonlarının $x_{0}\leq x\leq x_{1}$ için hem kendileri hem de türevleri sürekli.

O zaman, $\,x_{0}\leq x\leq x_{1}$ için

$F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,.$

Bu formüle Leibniz integral kuralı denir ve Kalkülüsün temel teoremi ile çıkarılabilir.

n' inci mertebeden türev

Eğer n pozitif tam sayı ise fonksiyonların ninci türevini hesaplamak için bazı kurallar da vardır.

Faà di Bruno's formülü

Ana madde: Faà di Bruno formülü

Eğer f ve g, n kere türevlenebilir fonksiyon olsun. O zaman, $${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}.$$ Burada, ${\textstyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}$ ve $\{k_{m}\}$ kümesi ise Diyofant denklemi ${\textstyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}$ nin negatif olmayan bütün çözümlerinden oluşmaktadır.

Genel Leibniz Kuralı

Ana madde: Genel Leibniz kuralı

Eğer f ve g, n kere türevlenebilir fonksiyon olsun. O zaman, $${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x).$$