Öklid dışı geometri

Öklit dışı geometriler, alışılmış iç çarpım formülünden ayrı bir biçimde tanımlanmış ve reel uzayla birleşmiş iç çarpım yoluyla elde edilen geometrilerdir. Bu geometrilere Galileo ve Lorentz geometrileri örnek olarak verilebilir. Lorentz geometrisinin öne çıkan farklarından biri de iç çarpımın tanımlanmasında temel maddelerden biri olan pozitif tanımlılığı sağlamamasıdır. Öklit geometrisinde vektörler tek tür iken Lorentz geometrisinde space-like, time-like ve null-like (light-like) olmak üzere 3 tür vektör bulunmaktadır.

Öklit dışı geometri modelleri

İki boyutta eliptik, Öklid ve hiperbolik geometrilerin karşılaştırılması

Öklid dışı geometri modelleri, Öklid'in paralellik postülasının geçerli olmadığı geometrik sistemleri tanımlamak amacıyla geliştirilmiş matematiksel yapılardır. Bu modeller, belirli bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnızca bir paralel çizilebildiğini savunan Öklid geometrisinin aksine, farklı paralellik anlayışlarını temel alır.

Hiperbolik geometride, belirli bir l doğrusuna dışındaki bir A noktasından geçen ve l ile kesişmeyen sonsuz sayıda doğru bulunmaktadır. Bu yapı, paralellik kavramının çoklu doğrularla ifade edildiği bir düzlem oluşturur. Öte yandan, eliptik geometride ise herhangi iki doğru en az bir noktada kesiştiğinden, paralel doğrular tanımlanamaz; yani eliptik geometri paralel doğruların bulunmadığı bir sistemdir.

Bir kürede, bir üçgenin açılarının toplamı 180°'ye eşit değildir. Bir kürenin yüzeyi bir Öklid uzayı değildir, ancak yerel olarak Öklid geometrisinin yasaları iyi yaklaşımlardır. Dünya yüzeyindeki küçük bir üçgende, açıların toplamı 180°'ye çok yakındır.

Öklid geometrisi, düzlem üzerindeki klasik "düz yüzey" kavramı ile modellenirken, eliptik geometri için en yaygın model, yüzeyi birim küre olan ve doğruların büyük daireler (örneğin ekvator ya da meridyenler) olarak tanımlandığı bir küredir. Bu modelde, birbirine zıt noktalar eşdeğer kabul edilir.

Hiperbolik geometri için kullanılan modellerden biri olan pseudoküre, negatif eğrilik taşıması sayesinde bu geometri türünün temel özelliklerini yansıtabilen uygun bir yüzey olarak kabul edilir.

Eliptik geometri

Eliptik geometrinin en temel modeli bir küredir. Dünya'nın ekvator ve meridyen gibi büyük daireler doğru görevi görür.

Bunu en kolay anlamanın yolu bir bulmacayı düşünmektir. Bir gün bir avcı, av bulmak için 1 kilometre güneye iner. Orada bir ayıyla karşılaşır ve 1 kilometre doğuya kaçar. Daha sonra 1 kilometre kuzeye giderek kampına geri döner.

Ayının rengi nedir?

Bu saçma gelebilir, çünkü avcının kampından 1 kilometre doğuda olması gerektiğini düşünebilirsiniz. Ancak, Dünya düz değildir. Böyle bir olayın yaşanabileceği tek yer kuzey kutbudur. Dolayısıyla, ayının rengi beyazdır.

Bir küre üzerinde bu hareketleri çizerseniz, güney yönündeki çizgi düz bir çizgi gibi görünürken, doğu yönüne hareket eğik gibi görünebilir. Ancak, aslında tüm çizgiler düzdür.

İşin ilginç tarafı, bu yol bir üçgen oluşturur, ancak iç açılarının toplamı 180 dereceden fazladır. Yine de bir geometrik şekil olmak için gerekli tüm özelliklere sahiptir: Düzgün kenarlara sahiptir ve kapalı bir şekildir.