Projektif geometri

Matematikte projektif geometri, projektif dönüşümlere göre değişmeyen geometrik özelliklerin incelenmesidir. Bu, temel Öklid geometrisine kıyasla projektif geometrinin farklı bir ortama, projektif uzaya ve seçici bir dizi temel geometrik kavrama sahip olduğu anlamına gelir. Temel sezgiler, projektif uzayın belirli bir boyut için Öklid uzayından daha fazla noktaya sahip olduğu ve fazladan noktaları ("sonsuzdaki noktalar" olarak adlandırılır) Öklid noktalarına dönüştüren geometrik dönüşümlere izin verildiği ve bunun tersidir.

Projektif geometri için anlamlı olan özellikler, etkileri bir dönüşüm matrisi ve ötelemelerle (afin dönüşümler) ifade edilebilecek olandan daha radikal olan bu yeni dönüşüm fikri tarafından gözetilir. Geometriciler için ilk mesele, yeni bir durum için ne tür bir geometrinin yeterli olduğudur. Öklid geometrisinde olduğu gibi projektif geometride de açılardan bahsetmek mümkün değildir çünkü açı, perspektif çiziminde görüldüğü gibi projektif dönüşümlere göre değişmeyen bir kavram örneğidir. Projektif geometrinin kaynaklarından biri gerçekten de perspektif teorisidir. Temel geometriden bir diğer fark, kavram projektif geometrinin terimlerine çevrildiğinde paralel doğruların sonsuzdaki bir noktada buluştuğunun söylenebilmesidir. Yine bu kavramın sezgisel bir temeli vardır, örneğin bir perspektif çiziminde ufukta buluşan demiryolu rayları gibi. İki boyutta projektif geometrinin temelleri için projektif düzleme bakınız.

Fikirler daha önce mevcut olsa da, projektif geometri esas olarak 19. yüzyılın bir gelişmesiydi. Bu, karmaşık projektif uzay teorisini içeriyordu, kullanılan koordinatlar (homojen koordinatlar) karmaşık sayılardı. Daha soyut matematiğin bazı önemli türleri (değişmezlik teorisi, İtalyan cebirsel geometri okulu ve Felix Klein'ın klasik grupların incelenmesiyle sonuçlanan Erlangen programı dahil) projektif geometri tarafından motive edilmiştir. Aynı zamanda sentetik geometri gibi kendi başına birçok uygulayıcısı olan bir konuydu. Projektif geometrinin aksiyomatik çalışmalarından gelişen bir diğer konu da sonlu geometridir.

Projektif geometri konusunun kendisi şu anda birçok araştırma alt konusuna bölünmüştür, bunların iki örneği; projektif cebirsel geometri (projektif çeşitlerin incelenmesi) ve projektif diferansiyel geometridir (projektif dönüşümlerin diferansiyel değişmezlerinin incelenmesi).