İçteş kare problemi

Çözülememiş matematik problemi:

Her Jordan eğrisi, bir içteş kareye sahip midir?

(Diğer çözülememiş matematik problemleri)

Örnek: Siyah kesikli eğri birkaç mavi karenin tüm köşelerinden geçmektedir.

İçteş kare problemi, iç kare problemi veya Toeplitz varsayımı (İngilizce: Inscribed square problem), geometrinin çözülememiş sorularından biridir: Her düzlemsel basit kapalı eğri, bir karenin dört köşesini de içerir mi? Bu durum, eğri dışbükey olduğunda, parça parça düzgün olduğunda ya da bazı özel durumlarda geçerlidir.

Soru 1911 yılında Otto Toeplitz tarafından ortaya atılmış; Arnold Emch ve Lev Schnirelmann tarafından erken dönemlerde bazı olumlu sonuçlara ulaşılmıştır. Ancak problem hâlen çözülmemiştir.

Problem tanımı

$C$ bir Jordan eğrisi olsun. Eğer $P$ isimli bir çokgenin tüm köşeleri $C$ eğrisi üzerinde bulunuyorsa, $C$'ye içbükey (ya da içteş) olarak çizilmiş kabul edilir. İçteş kare problemi şu soruyu sormaktadır:

Her Jordan eğrisi, bir iç kare içerir mi?

Karenin köşelerinin eğri boyunca belirli bir dizilimde bulunması zorunlu değildir.

Örnekler

Bazı şekiller, örneğin çemberler ve kareler, sonsuz sayıda iç kare barındırır. Geniş açılı üçgenler, yalnızca bir iç kareye sahiptir. Dik açılı üçgenlerde iki adet, dar açılı üçgenlerde ise üç adet iç kare bulunur.

Çözülen vakalar

İç kare problemini çözmek adına, "akıllı uslu" (well-behaved curves) eğrilerin her zaman bir iç kare içerdiğini kanıtlayarak başlamak ve ardından herhangi bir eğriyi bu tür eğrilerden oluşan bir diziyle yaklaştırmak, böylece bu dizideki eğrilerde yer alan iç karelerin limitinin yine bir iç kare olacağını varsaymak cazip görünmektedir. Ancak bu yaklaşımın tam anlamıyla sonuçlandırılamamış olmasının bir nedeni, kareler dizisinin limitinin bir kare değil, yalnızca tek bir noktaya dönüşme olasılığıdır. Bununla birlikte, bazı özel eğri sınıflarının iç kare içerdiği artık bilinmektedir.

Parçalı analitik eğriler

Arnold Emch 1916 yılında, parçalı analitik eğrilerin her zaman içteç karelere sahip olduğunu göstermiştir. Özellikle bu durum çokgenler için de geçerlidir. Emch’in ispatı, verilen bir doğruya paralel olacak şekilde eğri üzerindeki kesen doğru parçalarının (secant line segments) orta noktalarının izlediği eğrileri ele alır. Bu eğrilerin, aynı şekilde ancak bu kez söz konusu doğruya dik olan bir kesenler ailesi (family of secants) için elde edilen eğrilerle kesişimlerini inceler. Emch, bu kesişimlerin tek sayıda olduğunu gösterir. Bu nedenle, en az bir kesişim noktası her zaman vardır ve bu nokta, verilen eğriye içteş bir eşkenar dörtgenin merkezi olur. İki dik doğru ailesi, dik açı boyunca sürekli olarak döndürüldüğünde ve bu dönüşüme ara değerler teoremi (intermediate value theorem) uygulandığında, bu eşkenar dörtgenlerden en az birinin kare olduğu sonucuna ulaşılır.

Yerel olarak monoton eğriler

Stromquist, her yerel olarak monoton, düzlemsel ve basit bir eğrinin içteş bir kareye sahip olduğunu ispatlamıştır. Kabulün gerçekleşmesi için gerekli koşul, herhangi bir p noktası için, eğri C'nin yerel olarak bir $y=f(x)$ fonksiyonunun grafiği olarak temsil edilebilmesidir.

Daha kesin bir ifadeyle, $C$ üzerindeki herhangi bir $p$ noktası için Açık $U(p)$ adında bir komşuluk ve sabit bir yön $n(p)$ ("$y$ -ekseninin yönü”) vardır ki, bu komşuluk içinde $C$ üzerindeki hiçbir kiriş $n(p)$ yönüne paralel değildir.

Yerel olarak monoton eğriler; her tür çokgeni, tüm kapalı dışbükey eğrileri ve sivri uç (kıvrım) içermeyen, parçalı olarak $C^{1}$ sınıfında olan tüm eğrileri kapsar.

Özel yamuk içermeyen eğriler

Yerel monotonluktan daha zayıf bir koşul, eğrinin, bazı $\varepsilon >0$ için, $\varepsilon$ boyutunda içteş özel yamuklar içermemesidir. Özel yamuk, üç kenarı eşit uzunlukta ve bu kenarların her biri dördüncü kenardan daha uzun olan ikizkenar bir yamuktur. Bu yamuk, köşeleri eğri üzerinde ve saat yönündeki köşe sıralaması eğrinin yönelimiyle uyumlu olacak biçimde yerleştirilmiştir. Yamuğun boyutu, eğrinin bu üç eşit kenar boyunca uzanan kısmının uzunluğuna karşılık gelir. Bu uzunluk, eğrinin düzgün ölçülebilir olmaması olasılığı nedeniyle, sabit bir parametrize edilmiş tanım alanında ölçülür.

Bu koşula dayalı ispat, limit argümanları yerine bağıl tıkanıklık kuramına (relative obstruction theory) dayanmaktadır. Söz konusu koşul, tüm Jordan eğrileri uzayında tıkız-açık topolojiye göre açık ve yoğun bir özellik oluşturur. Bu bakımdan, içteş kare problemi genel (generic) eğriler için çözümlenmiş kabul edilir.

Halkasal bölgelerdeki eğriler

Dış yarıçapı, iç yarıçapının $1+{\sqrt {2}}$ katı olan bir halkasal bölgeye yerleştirilmiş ve bu bölgenin iç çemberiyle dış çemberini birbirinden ayıran bir Jordan eğrisi, en az bir içteş kare içerir. Bu durumda verilen eğri, iyi tanımlı (düzenli) bir eğriyle yaklaşıldığında, halkasal bölgenin merkezini içeren büyük içteş kareler ile merkezi içermeyen daha küçük içteş kareler topolojik olarak birbirinden ayrılır. Büyük karelerden oluşan bir dizinin limiti yine büyük bir kare olur; tekil (dejenere) bir noktaya indirgenmez. Bu nedenle, bu durumda limit argümanı kullanılabilir.

Simetrik eğriler

İçteş kare probleminin olumlu çözümü, merkezi simetrik eğriler, Koch kartanesi gibi fraktallar ve bir doğruya göre yansıma simetrisine sahip eğriler için de geçerlidir.

Lipschitz grafikleri

2017 yılında Terence Tao, uç noktalarında aynı değere sahip ve Lipschitz süreklilik koşulunu (Lipschitz sabiti birden küçük olacak şekilde) sağlayan iki fonksiyonun grafiklerinin birleşiminden oluşan eğrilerde bir içteş karenin varlığını kanıtlayan bir çalışma yayımladı. Tao, ayrıca bu konuyla ilgili birkaç bağıntılı varsayım da ortaya koydu. 2024 yılında Joshua Greene ve Andrew Lobb, bu sonucu geliştirerek Lipschitz sabiti $1+{\sqrt {2}}$'den küçük olan eğrileri genelleyen bir ön baskı (preprint) yayımladı.

C² sınıfından bir Jordan eğrisine yakın Jordan eğrileri

Mart 2022'de Gregory R. Chambers, eğer $\gamma$, $\mathbb {R} ^{2}$ düzleminde $C^{2}$ sınıfından bir Jordan eğrisi olan $\beta$'ya yakın bir Jordan eğrisi ise $\gamma$'nın bir içteş kare içerdiğini göstermiştir. Chambers, $\kappa >0$ olmak üzere $\beta$'nın işaretsiz maksimum eğriliği alındığında ve $\gamma$'nın görüntüsünden $\beta$'nın görüntüsüne tanımlı bir $f$ fonksiyonu için:

$\|f(x)-x\|<{\frac {1}{10\kappa }}$

Varyantlar ve genellemeler

Ayrıca, başka şekillerin de rastgele bir Jordan eğrisine içteş olarak yerleştirilip yerleştirilemeyeceği sorulabilir. Bilinen bir sonuca göre, herhangi bir üçgen $T$ ve herhangi bir Jordan eğrisi $C$ için, $T$'ye benzer (benzerlik dönüşümüyle elde edilmiş) bir üçgen $C$'ye içteş şekilde yerleştirilebilir. Dahası, bu tür üçgenlerin köşelerinden oluşan küme, $C$ üzerinde yoğundur. Özellikle, her zaman bir eşkenar üçgen içteş olarak bulunur.

Her Jordan eğrisinin içteş bir dikdörtgen içerdiği de bilinmektedir. Bu sonuç, yaklaşık 1977 yılında Vaughan tarafından, problemin projektif düzlemin $\mathbb {R} ^{3}$ içine gömülememesine indirgenmesiyle kanıtlanmış; bu kanıt Meyerson tarafından yayımlanmıştır. 2020 yılında Morales ve Villanueva, düzlemde yer alan ve yerel olarak bağlantılı olan sürekli şekillerden hangilerinin en az bir içteş dikdörtgen içerdiğini belirleyen özellikleri ortaya koymuştur. Aynı yıl Joshua Evan Greene ve Andrew Lobb, her düzgün Jordan eğrisi $C$ ve Öklid düzlemindeki herhangi bir dikdörtgen $R$ için, $R$'ye benzer ve köşeleri $C$ üzerinde yer alan bir dikdörtgenin var olduğunu göstermiştir. Bu sonuç, hem rastgele şekilli dikdörtgenlerin varlığına hem de düzgün eğriler üzerindeki karelerin varlığına dair önceki sonuçları genelleştirmektedir; karelerin varlığına ilişkin ilk bilinen çalışma Šnirel'man (1944)'a aittir. 2021 yılında Greene ve Lobb, 2020 tarihli sonuçlarını genişleterek, her düzgün Jordan eğrisinin yön koruyan bir benzerlik dönüşümü altında her çevrel dörtgeni içteş olarak içerdeğini kanıtlamıştır.

İçteş kare problemine dair bazı genellemeler, eğrilere ve daha genel sürekli kümelere yüksek boyutlu Öklid uzaylarında içteş çokgenlerin varlığını konu edinir. Örneğin, Stromquist, $\mathbb {R} ^{n}$ uzayında "Koşul A"yı sağlayan, yani herhangi bir noktanın uygun bir komşuluğunda eğri üzerindeki hiçbir iki kirişin birbirine dik olmadığı sürekli kapalı her eğrinin, eşir kenarlara ve eşit köşegenlere sahip bir içteş dörtgen içerdiğini ispatlamıştır. Bu eğri sınıfı tüm $C^{2}$eğrileri kapsar. Nielsen ve Wright ise $\mathbb {R} ^{n}$ uzayındaki her simetrik sürekli kümenin birçok içteş dikdörtgen içerdiğini göstermiştir.

Konuyla ilgili yayınlar

• Wagon, Stan (1991), "Inscribed squares", Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory, The Dolciani Mathematical Expositions, 11, Cambridge University Press, ss. 58-65, 137-144, ISBN 978-0-88385-315-3 

Dış bağlantılar

• Mark J. Nielsen, Eğrilere İşlenmiş Figürler. Eski bir problemin kısa bir turu
• Yazılı kareler: Denne, Jordan Ellenberg'in blogunda konuşuyor
• Grant Sanderson, Bu açık problem bana topolojinin ne olduğunu öğretti, 3Blue1Brown, YouTube – problemin basitleştirilmiş bir versiyonuna topolojik bir çözüm gösteren bir video.