Analitik Fredholm teoremi

Matematikte Analitik Fredholm teoremi bir Hilbert uzayı üzerinde tanımlı sınırlı doğrusal operatörlerden bazılarının sınırlı terslerinin varlığıyla ilgili bir sonuçtur. Teorem, Hilbert-Schmidt teoremi ve Fredholm seçeneği gibi iki klasik ve önemli teoremin temelini oluşturur. Teorem, adını İsveçli matematikçi Erik Ivar Fredholm'dan almıştır.

Teoremin ifadesi

$G\subset \mathbb {C}$ bir bölge, $(H,\langle \ ,\ \rangle )$ gerçel ve karmaşık bir Hilbert uzayı ve $L(H)$ ise $H$'den $H$'ye giden sınırlı ve doğrusal operatörlerin uzayı olsun. Birim operatörü $I$ ile gösterelim. Diyelim ki, bir $B:G\to L(H)$ gönderimi için $$\lim _{\lambda \to \lambda _{0}}{\frac {B(\lambda )-B(\lambda _{0})}{\lambda -\lambda _{0}}}$$ limiti her $\lambda _{0}\in G$ için var olsun; yâni, $B$ gönderimi $G$ içinde analitik olsun ve $B(\lambda )$ operatörü her $\lambda \in G$ için tıkız operatör olsun. O zaman,

• ya tüm $\lambda$ değerleri için $I-B(\lambda )$ operatörünün tersi yoktur;
• ya da, $G$'nin ayrık bir $S$ altkümesi vardır öyle ki $I-B(\lambda )$ operatörünün tersi $\lambda \in G\backslash S$ için her zaman vardır. Bu durumda, $\lambda \mapsto (I-B(\lambda ))^{-1}$ olarak tanımlanan bir fonksiyon, $G\backslash S$ kümesinde analitik olur. Eğer $\lambda \in S$ ise, o zaman

$B(\lambda )\psi =\psi$

denkleminin çözümlerinin kümesi sonlu boyutlu olur.