Aradeğerleme eşitsizliği

Matematiğin bir alt dalı olan analizde, aradeğerleme eşitsizliği ya da içkestirim eşitsizliği (ya da enterpolasyon eşitsizliği), bir vektör uzayının elemanlarının normunun, verilmiş iki ya da daha fazla vektör uzayı ve bu uzayda yer alan elemanların normları üzerinden kestirildiği eşitsizliklere denilir.

Daha matematiksel bir ifadeyle, $0\leq k\leq n$ için,

• $X_{k}$ bir vektör uzayı
• $\|\cdot \|_{k}$, $X_{k}$ uzayı üzerinde tanımlanmış bir norm
• $u_{k}$, $X_{k}$'nin bir elemanı
• $\alpha _{k}$ gerçel sayı
• $C$ sabiti $u_{0},..,u_{n}$ sayılarından bağımsız olmak üzere

bu tür eşitsizlikler şu biçimde ortaya çıkar:

$\|u_{0}\|_{0}\leq C\|u_{1}\|_{1}^{\alpha _{1}}\|u_{2}\|_{2}^{\alpha _{2}}\dots \|u_{n}\|_{n}^{\alpha _{n}},\quad n\geq 2.$

Bu tür eşitsizliklerin konusu olan vektör uzayları genelde fonksiyon uzaylarıdır ve çoğu aradeğerleme eşitsizliği $u_{0}=u_{1}=\cdots =u_{n}$ varsaymaktadır. Böylelikle, bir fonksiyonun bir uzaydaki normunun diğer iki ya da daha fazla uzaydaki normların bileşimiyle kestirimi elde edilir. Bu tür aradeğerleme eşitsizliklerine örnek olarak Ladıjenskaya eşitsizliği ve Gagliardo-Nirenberg aradeğerleme eşitsizliği verilebilir. Yine de, birbirinden farklı olan $u_{0},..,u_{n}$ elemanları aracılığıyla ifade edilen aradeğerleme eşitsizlikleri de yaygındır. Bunlara örnek olarak, Hölder eşitsizliği ve Young evrişim eşitsizliği verilebilir.

Uygulamaları

Aradeğerleme eşitsizliğinin başlıca uygulamaları fonksiyon uzaylarının çeşitli örneklerinin kullanıldığı kısmi diferansiyel denklemler gibi çalışma alanlarında yer alır. Önemli bir örnek, bir $p$ sayısı için, bazı tam sayı ya da kesirli mertebeden zayıf türevlerinin L^p uyzaylarında yer aldığı fonksiyonlardan oluşan Sobolev uzaylarıdır. Bu aradeğerleme eşitsizlikleri, kabaca söylemek gerekirse, bazı mertebeden türevleri diğer mertebeden türevlerin bir bileşimiyle sınırlamak için kullanılır. Ayrıca, genellikle fonksiyon uzayı seçiminde bir miktar esneklikle, çarpımları, evrişimleri ve diğer fonksiyon kombinasyonlarını sınırlamak için de kullanılabilirler. Aradeğerleme eşitsizlikleri, aradeğerleme uzayı kavramının da temelini oluşturur. Bu tür uzaylara örnek olarak $s^{\text{inci}}$ ve daha düşük mertebeden zayıf türevlerin $L^{p}$ uzayında yer aldığı $W^{s,p}$ Sobolev uzaylarıdır. kesirliş bir sayı durumunda, $s^{\text{inci}}$ mertebeden türevin ne olduğu açık olmadığı için, bu tür aradeğerleme eşitsizlikleri aracılığyla arada kalan uzaylara bir anlam kazandırılmış olur. Sobolev uzaylarının bir genellemesi olan Besov uzayları $B_{p,q}^{s}(\Omega )$ ile çalışılırken de aradeğerleme eşitsizlikleri uygulanır. Aradeğerleme eşitsizliklerine izin veren bir diğer uzay sınıfı da Hölder uzaylarıdır.

Örnekler

u_k fonksiyonlarının birbirine eşit olduğu ama normların birbirinden farklı olduğu aradeğerleme eşitsizliklerinin basit bir örneği $u:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ fonksiyonları için verilen Ladıjenskaya eşitsizliğidir. Bu eşitsizlikte, eğer $u:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ fonksiyonları tıkız destekli ise ve hem u hem de u'nun gradyanı ∇u kare integrallenebilir ise, o zaman u'nun dördüncü kuvvetinin integrallenebilir olduğu ifade edilir ve eşitsizlik ise şöyle verilir:

$\int _{\mathbb {R} ^{2}}|u(x)|^{4}\,\mathrm {d} x\leq 2\int _{\mathbb {R} ^{2}}|u(x)|^{2}\,\mathrm {d} x\int _{\mathbb {R} ^{2}}|\nabla u(x)|^{2}\,\mathrm {d} x.$

Denk bir ifadeyle, bu eşitsizlik şöyle yazılabilir:

$\|u\|_{L^{4}}\leq {\sqrt[{4}]{2}}\,\|u\|_{L^{2}}^{1/2}\,\|\nabla u\|_{L^{2}}^{1/2}.$

Ladıjenskaya eşitsizliğinin biraz daha zayıf hali 3 boyutta da geçerlidir. Ladyzhenskaya eşitsizliği aslında Sobolev uzaylarını içeren birçok aradeğerleme eşitsizliğini kapsayan ve Gagliardo-Nirenberg aradeğerleme eşitsizliği olarak anılan genel bir sonucun özel bir durumudur.

Tam sayısız Sobolev uzaylarının aradeğerlemesine yol açan aşağıdaki örnek, aynı zamanda Gagliardo-Nirenberg aradeğerleme eşitsizliğinin özel bir durumudur. $L^{2}$ Sobolev uzaylarını $H^{k}=W^{k,2}$ ile gösterirsek, verilmiş ${\textstyle 1\leq k<\ell <m}$ gerçel sayıları ve $u\in H^{m}$ fonksiyonu için $\|u\|_{H^{\ell }}\leq \|u\|_{H^{k}}^{\frac {m-\ell }{m-k}}\|u\|_{H^{m}}^{\frac {\ell -k}{m-k}}$ eşitsizliği vardır.

Lebesgue uzayları için temel aradeğerleme eşitsizliği Hölder eşitsizliğinin doğrudan bir sonucudur ve şu şekilde ifade edilir:
$1\leq p\leq r\leq q\leq \infty$ üsleri için her $f\in L^{p}(X,\mu )\cap L^{q}(X,\mu )$ ayrıca math>L^r(X,\mu),</math> uzayına da aittir. Ayrıca,

$\|f\|_{L^{r}}\leq \|f\|_{L^{p}}^{t}\|f\|_{L^{q}}^{1-t},$

eşitsizliği vardır.

• $p<q<\infty ,$ $r$ durumunda $r$ dışbükey bileşim olarak $r=tp+(1-t)q$ biçiminde ya da başka bir ifadeyle $t:={\frac {q-r}{q-p}}$ ve $1-t={\frac {r-p}{q-p}}$ olarak yazılır.
• $p<q=\infty$ durumunda ise, $r$, $r={\frac {p}{t}}$ olarak ya da başka bir ifadeyle $t:={\frac {p}{r}}$ ve $1-t={\frac {r-p}{r}}$ olarak yazılır.

u_k elemanlarının birbirinden farklı olduğu aradeğerleme eşitsizliklerinin basit bir örneği ise Young evrişim eşitsizliğidir. ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1+{\tfrac {1}{r}}$ özelliğine sahip $1\leq p,q,r\leq \infty$ üsleri ve $f\in L^{p},\ g\in L^{q}$ fonksiyonları aracılığıyla elde edilen evrişim $L^{r}$ uzayına aittir ve

$\|f*g\|_{L^{r}}\leq \|f\|_{L^{p}}\|g\|_{L^{q}}$

eşitsizliği vardır.

Aradeğerleme eşitsizliği örnekleri

• Agmon eşitsizliği
• Gagliardo-Nirenberg aradeğerleme eşitsizliği
• Ladıjenskaya eşitsizliği
• Landau-Kolmogorov eşitsizliği
• Marcinkiewicz aradeğerleme teoremi
• Nash eşitsizliği
• Riesz-Thorin teoremi
• Young evrişim eşitsizliği