Birler matrisi

Matematikte, birler matrisi her ögesi bire eşit olan matristir.^[1] Standart gösterimi şöyledir:

J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}.\quad

Birler matrisi birim matris ile karıştırılmamalıdır.

Özellikler

n×n boyutundaki birler matrisi J aşağıdaki özelliklere sahiptir:

J'nin izi n'dir,^[2] eğer n 1 ise matrisin determinantı 1 dir, aksi halde 0'dır.
J'nin kertesi 1'dir. Özdeğeri n ya da 0'dır.^[3]
$J^{k}=n^{k-1}J,k=1,2,\ldots .\,$ ^[4]
Matris ${\tfrac {1}{n}}J$ eşgüçlü'dür. Bu üstteki özelliğin bir doğrudan sonucudur.^[4]
Üstel matrisi $\exp(J)=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J$ 'dir.
J Hadamard çarpımının yüksüz ögesidir.^[5]

^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012), "0.2.8 The all-ones matrix and vector", Matrix Analysis, Cambridge University Press, s. 8, ISBN 9780521839402, 1 Ocak 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi21 Mart 2014 .
^ Stanley, Richard P. (2013), Algebraic Combinatorics: Walks, Trees, Tableaux, and More, Lemma 1.4, p. 4: Springer, ISBN 9781461469988, 1 Ocak 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi21 Mart 2014 .
^ Stanley (2013); Horn & Johnson (2012), p. 65 1 Ocak 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi..
^ ^a ^b Timm, Neil H. (2002), Applied Multivariate Analysis, Springer texts in statistics, Springer, s. 30, ISBN 9780387227719, 1 Ocak 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi21 Mart 2014 .
^ Smith, Jonathan D. H. (2011), Introduction to Abstract Algebra, CRC Press, s. 77, ISBN 9781420063721, 1 Ocak 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi21 Mart 2014 .