Brune teoremi

Brune teoremi için çizilen örnek dışbükey dörtgen

Brune teoremi, bir orta düzey Prusya memuru olan muhasebeci Ernst Wilhelm Brune (1790?-1860?) tarafından bulunan ve 1841 yılında Berlin'de yayınlanan, dörtgenlerle ilgili bir temel geometri teoremidir. Teorem, Öklid düzleminde bir dışbükey dörtgeninin yapıcı bir şekilde aynı alana sahip dört kısmi dörtgene nasıl bölünebileceği problemini ele alır ve yanıtlar.

Teoremin formülasyonu

Teorem şu şekilde formüle edilebilir:

Öklid düzleminde keyfi bir $ABCD$ dışbükey dörtgeni verilir. $M$ ve $N$, $AC$ ve $BD$ köşegenleri üzerinde yer alan iki orta noktadır.

$M$ ve $N$ noktalarından diğer köşegene paralel çizilir, $O$ noktası iki köşegen merkezinden çizilen doğruların kesişme noktasıdır. $O$ noktasının $M=N$'de olması durumunda $ABCD$ bir paralelkenardır.

Sonra:

$O$ noktası, dörtgenin dört kenarının orta noktaları ile birleştirilirse, $ABCD$ dörtgeni, her biri $ABCD$ dörtgeninin ${\tfrac {1}{4}}$ alanına sahip olan dört alt dörtgene bölünmüş olur.

İspat

Teoremin ispatı

$ABCD$ herhangi bir düzensiz dörtgen ve $E,F,G,H$ ise bu dörtgenin kenarlarının orta noktaları olsun. Öyle bir $K$ noktası vardır ki;

$S_{AHKE}=S_{EKFB}=S_{KHDG}=S_{KGCF}=\left({\frac {1}{4}}S_{ABCD}\right)$

$A,B,C,D,I$'nın sırasıyla $p_{1},p_{2},p_{3},p_{4},p$ koordinatlarına sahip olduğunu varsayalım. Sonra,

$\mathbf {S} _{AHKE}={\frac {1}{2}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1})\times {\frac {\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{4}}{2}}={\frac {1}{4}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1})\times (\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{4})$,

$\mathbf {S} _{EKFB}={\frac {1}{4}}(\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} _{1})\times (\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} )={\frac {1}{4}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} _{2})\times (\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} _{1})$,

$\mathbf {S} _{KHDG}={\frac {1}{4}}(\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} _{1})\times (\mathbf {p} -\mathbf {p} _{4})={\frac {1}{4}}(\mathbf {p} _{4}-\mathbf {p} )\times (\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} _{1})$,

$\mathbf {S} _{KGCF}={\frac {1}{4}}(\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} )\times (\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{4})$.

Aşağıdaki ifade kolayca görülebilir:

$\mathbf {S} _{AHKE}+\mathbf {S} _{KGCF}={\frac {1}{2}}\mathbf {S} _{ABCD}$,

$\mathbf {S} _{EKFB}+\mathbf {S} _{KHDG}={\frac {1}{2}}\mathbf {S} _{ABCD}$

bu nedenle $p$'nin iki bileşenini belirlemek için tam olarak iki doğrusal denklem vardır;

$\mathbf {S} _{AHKE}-\mathbf {S} _{KGCF}=0$,

$\mathbf {S} _{EKFB}-\mathbf {S} _{KHDG}=0$

Ve denklemler aşağıdaki şekilde yazılabilir;

$(2\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{3})\times (\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{4})=0$,

$(2\mathbf {p} -\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{4})\times (\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} _{1})=0$

Bu, aşağıdaki ifadeye eşittir:

$\mathbf {p} ={\frac {\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{3}}{2}}+\lambda (\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{4})={\frac {\mathbf {p} _{2}+\mathbf {p} _{4}}{2}}+\mu (\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} _{1}),\quad \lambda ,\mu \in \mathbb {R}$

$K$'nin geometrik tanımı şimdi açık olmalıdır: $K$ noktası, köşegenlerin kesişme noktasının ($M=AC\cap BD$), köşelerin ağırlık merkezi $P$'ye göre yansımasıdır/simetrisidir.

Kaynakça

• Brune (1841). "Eine Eigenschaft des Vierecks". Crelles Journal. Cilt 22. s. 379. MR1578286. 
• Friedrich Joseph Pythagoras Riecke, (Ed.) (1973). "Erstes Heft". Mathematische Unterhaltungen. Walluf bei Wiesbaden: Dr. Martin Sändig. ISBN 3-500-26010-1. Unveränderter Neudruck der Ausgabe Stuttgart 1867–1873. 

Konuyla ilgili yayınlar

• Wetzel, John E. "Squares in triangles." The Mathematical Gazette 86.505 (2002): ss. 28-34.