Delta metodu - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 Tek Değişkenli Delta metodu
  • 2 Tek Değişkenli Durumda Kanıt
  • 3 Çok Değişkenli Delta metodu
  • 4 Örnek
  • 5 Not
  • 6 Ayrıca bakınız
  • 7 Kaynakça

Delta metodu

  • Deutsch
  • English
  • Español
  • Français
  • עברית
  • İtaliano
  • Norsk bokmål
  • Português
  • Русский
  • Українська
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi
Bu madde, öksüz maddedir; zira herhangi bir maddeden bu maddeye verilmiş bir bağlantı yoktur. Lütfen ilgili maddelerden bu sayfaya bağlantı vermeye çalışın. (Eylül 2022)

Delta metodu istatistikte, bir asimtotik normal istatistiki tahmin edicinin fonksiyonu için bu tahmin edicinin sınırlayıcı varyans bilgisi kullanılarak yaklaşık bir olasılık dağılımı türetme metodudur. Delta metodu merkezi limit teoreminin genelleştirilmiş hali olarak ele alınabilir.

Tek Değişkenli Delta metodu

[değiştir | kaynağı değiştir]

Xn dağılımda

n [ X n − θ ] → D N ( 0 , σ 2 ) , {\displaystyle {{\sqrt {n}}[X_{n}-\theta ]\,{\xrightarrow {D}}\,N(0,\sigma ^{2})},} {\displaystyle {{\sqrt {n}}[X_{n}-\theta ]\,\xrightarrow {D} \,N(0,\sigma ^{2})},}

koşulunu sağlayan rassal değişkenler dizisi olsun. (Burada θ {\displaystyle \theta } {\displaystyle \theta } ve σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} {\displaystyle \sigma ^{2}} sonlu değere sahip sabitleri ve → D {\displaystyle {\xrightarrow {D}}} {\displaystyle \xrightarrow {D} } dağılımda yakınsamayı temsil etmektedir.)

Veri bir g fonksiyonu ve belli bir θ {\displaystyle \theta } {\displaystyle \theta } değeri için g ′ ( θ ) {\displaystyle g'(\theta )} {\displaystyle g'(\theta )}'nın var olduğunu ve sıfıra eşit olmadığını varsayalım. O halde dağılımda,

n [ g ( X n ) − g ( θ ) ] → D N ( 0 , σ 2 [ g ′ ( θ ) ] 2 ) {\displaystyle {{\sqrt {n}}[g(X_{n})-g(\theta )]\,{\xrightarrow {D}}\,N(0,\sigma ^{2}[g'(\theta )]^{2})}} {\displaystyle {{\sqrt {n}}[g(X_{n})-g(\theta )]\,\xrightarrow {D} \,N(0,\sigma ^{2}[g'(\theta )]^{2})}}

olur.

Tek Değişkenli Durumda Kanıt

[değiştir | kaynağı değiştir]

g ′ ( θ ) {\displaystyle g'(\theta )} {\displaystyle g'(\theta )} süreklidir varsayımı altında kanıtı gerçekleştirmek oldukça kolaydır. Öncelikle ortalama değer kuramı kullanılarak başlanır;

g ( X n ) = g ( θ ) + g ′ ( θ ~ ) ( X n − θ ) , {\displaystyle g(X_{n})=g(\theta )+g'({\tilde {\theta }})(X_{n}-\theta ),} {\displaystyle g(X_{n})=g(\theta )+g'({\tilde {\theta }})(X_{n}-\theta ),}

Burada θ ~ {\displaystyle {\tilde {\theta }}} {\displaystyle {\tilde {\theta }}}, X n {\displaystyle X_{n}} {\displaystyle X_{n}} ve θ {\displaystyle \theta } {\displaystyle \theta } arasında bir değer almaktadır. X n → P θ {\displaystyle X_{n}\,{\xrightarrow {P}}\,\theta } {\displaystyle X_{n}\,\xrightarrow {P} \,\theta }, θ ~ → P θ {\displaystyle {\tilde {\theta }}\,{\xrightarrow {P}}\,\theta } {\displaystyle {\tilde {\theta }}\,\xrightarrow {P} \,\theta }'yı ima ettiğinden ve g ′ ( θ ) {\displaystyle g'(\theta )} {\displaystyle g'(\theta )} sürekli olduğundan Slutsky Teoremi'nin uygulanması sonucunda

g ′ ( θ ~ ) → P g ′ ( θ ) , {\displaystyle g'({\tilde {\theta }})\,{\xrightarrow {P}}\,g'(\theta ),} {\displaystyle g'({\tilde {\theta }})\,\xrightarrow {P} \,g'(\theta ),}

elde edilir ki burada → P {\displaystyle {\xrightarrow {P}}} {\displaystyle \xrightarrow {P} } olasılıkta yakınsamayı ifade etmektedir.

İfadeleri düzenler ve n {\displaystyle {\sqrt {n}}} {\displaystyle {\sqrt {n}}} ile çarparsak

n [ g ( X n ) − g ( θ ) ] = g ′ ( θ ~ ) n [ X n − θ ] . {\displaystyle {\sqrt {n}}[g(X_{n})-g(\theta )]=g'({\tilde {\theta }}){\sqrt {n}}[X_{n}-\theta ].} {\displaystyle {\sqrt {n}}[g(X_{n})-g(\theta )]=g'({\tilde {\theta }}){\sqrt {n}}[X_{n}-\theta ].}

ifadesini elde ederiz.

Varsayım gereği,

n [ X n − θ ] → D N ( 0 , σ 2 ) {\displaystyle {{\sqrt {n}}[X_{n}-\theta ]{\xrightarrow {D}}N(0,\sigma ^{2})}} {\displaystyle {{\sqrt {n}}[X_{n}-\theta ]\xrightarrow {D} N(0,\sigma ^{2})}}

olduğundan Slutsky Teoreminden

n [ g ( X n ) − g ( θ ) ] → D N ( 0 , σ 2 [ g ′ ( θ ) ] 2 ) . {\displaystyle {{\sqrt {n}}[g(X_{n})-g(\theta )]{\xrightarrow {D}}N(0,\sigma ^{2}[g'(\theta )]^{2})}.} {\displaystyle {{\sqrt {n}}[g(X_{n})-g(\theta )]\xrightarrow {D} N(0,\sigma ^{2}[g'(\theta )]^{2})}.}

elde edilir ve kanıt tamamlanır.

Çok Değişkenli Delta metodu

[değiştir | kaynağı değiştir]

Tanım gereği, istatistikte tutarlı tahmin edici B {\displaystyle B} {\displaystyle B} gerçek değeri olan β {\displaystyle \beta } {\displaystyle \beta }'ya yakınsar ve genelde asimtotik normalite elde etmek için merkezi limit teoremi uygulanabilir.

n ( B − β ) → D N ( 0 , Σ ) , {\displaystyle {\sqrt {n}}\left(B-\beta \right)\,{\xrightarrow {D}}\,N\left(0,\Sigma \right),} {\displaystyle {\sqrt {n}}\left(B-\beta \right)\,\xrightarrow {D} \,N\left(0,\Sigma \right),}

burada n gözlem sayısını ve Σ {\displaystyle \Sigma } {\displaystyle \Sigma } (simetrik pozitif yarı belirli) kovaryans matrisini ifade etmektedir. B tahmin edicisinin h fonksiyonuna ait varyansını tahmin etmek istediğimizi varsayalım. Taylor serisinin ilk iki terimini ele alır ve gradyan için vektör notasyonu kullanırsak, h(B)'yi

h ( B ) ≈ h ( β ) + ∇ h ( β ) T ⋅ ( B − β ) {\displaystyle h(B)\approx h(\beta )+\nabla h(\beta )^{T}\cdot (B-\beta )} {\displaystyle h(B)\approx h(\beta )+\nabla h(\beta )^{T}\cdot (B-\beta )}

olarak tahmin edebiliriz ki bu h(B)'nin varyansının yaklaşık olarak,

Var ⁡ ( h ( B ) ) ≈ Var ⁡ ( h ( β ) + ∇ h ( β ) T ⋅ ( B − β ) ) = Var ⁡ ( h ( β ) + ∇ h ( β ) T ⋅ B − ∇ h ( β ) T ⋅ β ) = Var ⁡ ( ∇ h ( β ) T ⋅ B ) = ∇ h ( β ) T ⋅ V a r ( B ) ⋅ ∇ h ( β ) = ∇ h ( β ) T ⋅ ( Σ / n ) ⋅ ∇ h ( β ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(h(B)\right)&\approx \operatorname {Var} \left(h(\beta )+\nabla h(\beta )^{T}\cdot (B-\beta )\right)\\&=\operatorname {Var} \left(h(\beta )+\nabla h(\beta )^{T}\cdot B-\nabla h(\beta )^{T}\cdot \beta \right)\\&=\operatorname {Var} \left(\nabla h(\beta )^{T}\cdot B\right)\\&=\nabla h(\beta )^{T}\cdot Var(B)\cdot \nabla h(\beta )\\&=\nabla h(\beta )^{T}\cdot (\Sigma /n)\cdot \nabla h(\beta )\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(h(B)\right)&\approx \operatorname {Var} \left(h(\beta )+\nabla h(\beta )^{T}\cdot (B-\beta )\right)\\&=\operatorname {Var} \left(h(\beta )+\nabla h(\beta )^{T}\cdot B-\nabla h(\beta )^{T}\cdot \beta \right)\\&=\operatorname {Var} \left(\nabla h(\beta )^{T}\cdot B\right)\\&=\nabla h(\beta )^{T}\cdot Var(B)\cdot \nabla h(\beta )\\&=\nabla h(\beta )^{T}\cdot (\Sigma /n)\cdot \nabla h(\beta )\end{aligned}}}

olduğunu ima eder.

(Çok değişkenli reel değerli fonksiyonlar için) Ortalama limit teoremi kullanılarak bunun birinci derece yakınlaştırmaya dayanmadığı görülebilir.

Dolayısıyla Delta metodu,

n ( h ( B ) − h ( β ) ) → D N ( 0 , ∇ h ( β ) T ⋅ Σ ⋅ ∇ h ( β ) ) {\displaystyle {\sqrt {n}}\left(h(B)-h(\beta )\right)\,{\xrightarrow {D}}\,N\left(0,\nabla h(\beta )^{T}\cdot \Sigma \cdot \nabla h(\beta )\right)} {\displaystyle {\sqrt {n}}\left(h(B)-h(\beta )\right)\,\xrightarrow {D} \,N\left(0,\nabla h(\beta )^{T}\cdot \Sigma \cdot \nabla h(\beta )\right)}

veya tek değişken ifadesiyle,

n ( h ( B ) − h ( β ) ) → D N ( 0 , σ 2 ⋅ ( h ′ ( β ) ) 2 ) . {\displaystyle {\sqrt {n}}\left(h(B)-h(\beta )\right)\,{\xrightarrow {D}}\,N\left(0,\sigma ^{2}\cdot \left(h^{\prime }(\beta )\right)^{2}\right).} {\displaystyle {\sqrt {n}}\left(h(B)-h(\beta )\right)\,\xrightarrow {D} \,N\left(0,\sigma ^{2}\cdot \left(h^{\prime }(\beta )\right)^{2}\right).}

olduğunu ima eder.

Örnek

[değiştir | kaynağı değiştir]

X n {\displaystyle X_{n}} {\displaystyle X_{n}}'in p {\displaystyle p} {\displaystyle p} ve n {\displaystyle n} {\displaystyle n} parametreleri ile binom dağılıma sahip olduğunu varsayalım.

n [ X n n − p ] → D N ( 0 , p ( 1 − p ) ) , {\displaystyle {{\sqrt {n}}\left[{\frac {X_{n}}{n}}-p\right]\,{\xrightarrow {D}}\,N(0,p(1-p))},} {\displaystyle {{\sqrt {n}}\left[{\frac {X_{n}}{n}}-p\right]\,\xrightarrow {D} \,N(0,p(1-p))},}

olduğundan, g ( θ ) = log ⁡ ( θ ) {\displaystyle g(\theta )=\log(\theta )} {\displaystyle g(\theta )=\log(\theta )} ile delta metodunu uygulayabilir ve

n [ log ⁡ ( X n n ) − log ⁡ ( p ) ] → D N ( 0 , p ( 1 − p ) [ 1 / p ] 2 ) {\displaystyle {{\sqrt {n}}\left[\log \left({\frac {X_{n}}{n}}\right)-\log(p)\right]\,{\xrightarrow {D}}\,N(0,p(1-p)[1/p]^{2})}} {\displaystyle {{\sqrt {n}}\left[\log \left({\frac {X_{n}}{n}}\right)-\log(p)\right]\,\xrightarrow {D} \,N(0,p(1-p)[1/p]^{2})}}

olduğunu görebiliriz. Dolayısıyla, log ⁡ ( X n n ) {\displaystyle \log \left({\frac {X_{n}}{n}}\right)} {\displaystyle \log \left({\frac {X_{n}}{n}}\right)}'in varyansı yaklaşık olarak

1 − p p n . {\displaystyle {\frac {1-p}{p\,n}}.\,\!} {\displaystyle {\frac {1-p}{p\,n}}.\,\!}

şeklindedir. Dahası, eğer p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} {\displaystyle {\hat {p}}} ve q ^ {\displaystyle {\hat {q}}} {\displaystyle {\hat {q}}} sırasıyla n {\displaystyle n} {\displaystyle n} ve m {\displaystyle m} {\displaystyle m} büyüklüklerinde bağımsız örneklemlerden elde edilen farklı grup oranı tahminleriyse, tahmini göreli risk p ^ q ^ {\displaystyle {\frac {\hat {p}}{\hat {q}}}} {\displaystyle {\frac {\hat {p}}{\hat {q}}}}'nın logaritması yaklaşık olarak 1 − p ^ p ^ n + 1 − q ^ q ^ m {\displaystyle {\frac {1-{\hat {p}}}{{\hat {p}}\,n}}+{\frac {1-{\hat {q}}}{{\hat {q}}\,m}}} {\displaystyle {\frac {1-{\hat {p}}}{{\hat {p}}\,n}}+{\frac {1-{\hat {q}}}{{\hat {q}}\,m}}} ile tahmin edilebilecek varyansa sahip normal dağılıma sahiptir. Bu göreli risk için hipotez testi kurmak veya güven aralığı oluşturmak için faydalıdır.

Not

[değiştir | kaynağı değiştir]

Delta metodu genellikle Xn veya B'nin asimtotik olarak normal olarak dağıldığı varsayımı hariç yukarıdaki ile benzer biçimde kullanılmaktadır. Genelde tek şart varyansın küçük olduğudur. Bu durumda sonuçlar sadece dönüştürülmüş büyüklükler için ortalama ve kovaryanslar için yaklaştırımlar verir. Örneğin, Klein (1953, p. 258)'da sunulan formüller şu şekildedir;

Var ⁡ ( h r ) = ∑ i ( ∂ h r ∂ B i ) 2 Var ⁡ ( B i ) + ∑ i ∑ j ≠ i ( ∂ h r ∂ B i ) ( ∂ h r ∂ B j ) Cov ⁡ ( B i , B j ) Cov ⁡ ( h r , h s ) = ∑ i ( ∂ h r ∂ B i ) ( ∂ h s ∂ B i ) Var ⁡ ( B i ) + ∑ i ∑ j ≠ i ( ∂ h r ∂ B i ) ( ∂ h s ∂ B j ) Cov ⁡ ( B i , B j ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(h_{r}\right)=&\sum _{i}\left({\frac {\partial h_{r}}{\partial B_{i}}}\right)^{2}\operatorname {Var} \left(B_{i}\right)+\\&\sum _{i}\sum _{j\neq i}\left({\frac {\partial h_{r}}{\partial B_{i}}}\right)\left({\frac {\partial h_{r}}{\partial B_{j}}}\right)\operatorname {Cov} \left(B_{i},B_{j}\right)\\\operatorname {Cov} \left(h_{r},h_{s}\right)=&\sum _{i}\left({\frac {\partial h_{r}}{\partial B_{i}}}\right)\left({\frac {\partial h_{s}}{\partial B_{i}}}\right)\operatorname {Var} \left(B_{i}\right)+\\&\sum _{i}\sum _{j\neq i}\left({\frac {\partial h_{r}}{\partial B_{i}}}\right)\left({\frac {\partial h_{s}}{\partial B_{j}}}\right)\operatorname {Cov} \left(B_{i},B_{j}\right)\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(h_{r}\right)=&\sum _{i}\left({\frac {\partial h_{r}}{\partial B_{i}}}\right)^{2}\operatorname {Var} \left(B_{i}\right)+\\&\sum _{i}\sum _{j\neq i}\left({\frac {\partial h_{r}}{\partial B_{i}}}\right)\left({\frac {\partial h_{r}}{\partial B_{j}}}\right)\operatorname {Cov} \left(B_{i},B_{j}\right)\\\operatorname {Cov} \left(h_{r},h_{s}\right)=&\sum _{i}\left({\frac {\partial h_{r}}{\partial B_{i}}}\right)\left({\frac {\partial h_{s}}{\partial B_{i}}}\right)\operatorname {Var} \left(B_{i}\right)+\\&\sum _{i}\sum _{j\neq i}\left({\frac {\partial h_{r}}{\partial B_{i}}}\right)\left({\frac {\partial h_{s}}{\partial B_{j}}}\right)\operatorname {Cov} \left(B_{i},B_{j}\right)\end{aligned}}}

burada hr, h(B)'nin rinci elemanı ve Bi, 'nin iinci elemanıdır. Tek fark Klein'ın bunları aslında yaklaştırımlar olmasına rağmen özdeşlikler olarak ifade etmesidir.

Ayrıca bakınız

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Taylor açılımı
  • Slutsky teoremi

Kaynakça

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Casella, G. and Berger, R. L. (2002), Statistical Inference, 2nd ed.
  • Davison, A. C. (2003), Statistical Models, pp. 33–35.
  • Greene, W. H. (2003), Econometric Analysis, 5th ed., pp. 913f.
  • Klein, L. R. (1953), A Textbook of Econometrics, p. 258.
  • Oehlert, G. W. (1992), A Note on the Delta Metot, The American Statistician, Vol. 46, No. 1, p. 27-29.
  • Ders Notları (İngilizce)13 Haziran 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Ders Notları (İngilizce)10 Haziran 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Stata Programı Websitesinden Tanım (İngilizce)2 Ocak 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Delta_metodu&oldid=32506987" sayfasından alınmıştır
Kategoriler:
  • Ekonometri
  • İstatistiki yaklaştırım
Gizli kategoriler:
  • Öksüz maddeler Eylül 2022
  • Webarşiv şablonu wayback bağlantıları
  • Kanıt içeren maddeler
  • Sayfa en son 16.26, 16 Nisan 2024 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
Delta metodu
Konu ekle