Ortalama değer teoremi

[a, b] aralığında sürekli ve (a, b) aralığında türevi tanımlı herhangi bir işlev için (a, b) aralığında öyle bir c değeri vardır ki [a, b] aralığının uç noktalarını birleştiren kiriş, c noktasındaki teğete koşut olur.

Kalkülüste ortalama değer kuramı, sürekli bir eğrinin üzerinde seçilen herhangi bir bölüm üzerinde, türevi (eğimi) bu bölümün "ortalama" türevine eşit (koşut) olan en az bir noktanın bulunduğunu belirtmektedir. Geometrik olarak, verilen bir eğrinin en az bir noktasındaki teğet doğrusunun, eğrinin başlangıç ve bitiş uçlarını birleştiren doğruya paralel olacağını ifade eder. Kuram, fonksiyonların belirli aralıklar üzerindeki davranışlarına ilişkin genel çıkarımlar yapan kuramların kanıtlanmasında kullanılmaktadır.

Matematiksel bir ifade ile, eğer f(x), [a, b] kapalı aralığında sürekli ve (a, b) açık aralığında türevlenebilir bir fonksiyon ise, (a, b) aralığında öyle bir c noktası vardır ki

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,$

olur.

Kuram, devinim olgusuyla koşut düşünüldüğünde daha iyi anlaşılacaktır. Bir saatte yüz kilometre yol alan bir aracın ortalama hızı 100 km/h'tir. Aracın bu ortalama hıza ulaşabilmesi için ya 100 km/h'lik sabit bir hıza sahip olması ya da yolun bir bölümünde daha yavaş kaldıysa yolun kalan bölümünde hızlanmış olması gerekmektedir (ya da bunun tam tersi). Ortalama değer kuramı, aracın yol boyunca en az bir kez tam olarak 100 km/h hızla yol aldığını vurgulamaktadır.

Ayrıca bakınız

• Aritmetik ortalama

Dış bağlantılar

• PlanetMath: Ortalama Değer Kuramı 18 Kasım 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (İngilizce)
• Mathworld: Ortalama Değer Kuramı20 Şubat 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (İngilizce)