Geometrik medyan

Başlığın diğer anlamları için medyan (anlam ayrımı) sayfasına bakınız.

Geometrik medyanı anlatan görsel tasvir.

Geometrik medyan bir Öklid uzayında bulunan aralıklı set halindeki örneklem noktaları, bu noktalar arasındaki uzaklıkların toplamını en küçük (minimum) yapan bir nokta olarak tanımlanır. Tek boyutlu veri serisi içinde veri noktaları arasında uzaklıkları minimum yapma özelliği olan medyanın, çok boyutlu veri uzayında karşıtı olup, bir çokdeğişirli merkezsel konum ölçüsü olur. Geometrik medyan için kullanılan diğer adlar Fermat-Weber noktası veya 1-medyan olur.

Geometrik medyan yöneylem araştırması, Endüstri Mühendisliği alanlarında bulunan ve pratikte çok önemi olan standart üretim ve dağıtım kuruluşu konumlanma problemi için kullanılan yaklaşımlardan en popüleridir; çünkü geometrik medyan noktasında konumlanma taşıma maliyetlerini en küçük yapan bir noktadır.

Tanınım

Geometrik medyan için matematik biçimde tanımlama şöyle yapılır:

Her biri $x_{i}\in \mathbb {R} ^{n}$ içinde m tane nokta olan $x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\,$ seti verilmiş olsun. Bu halde geometrik medyan matematiksel olarak şöyle tanımlanır:

Geometrik Medyan $={\underset {y\in \mathbb {R} ^{n}}{\operatorname {argmin} }}\sum _{i=1}^{m}\left\|x_{i}-y\right\|$

Burada argmin verilen toplamanın hangi argümanlara göre minimumunun bulunduğunu gösterir. Bu halde bütün $x_{i}$ noktalarına giden Euclid-tipi uzaklıklarının toplamını minimum yapacak bir başlangıç noktası olan $y$ noktasıdır.

Özellikler

• Tek boyutlu uzayda, geometrik medyan medyan ile çakışır. Buna neden tekdeğişirli medyanın da veri noktalarından medyana uzaklıklarının toplamının minimum olmasıdır.
• Eğer noktalar doğrudaşlık (İngilizce:collinearity) özelliğine sahip değillerse, geometrik medyan tanımına uyan yegane tek bir noktadır.
• Geometrik medyan Euclid tipi (çevirme ve devretme gibi) benzerlik dönüşümlerine eşit değişme gösterir. Bu demektir ki geometrik medyana uygulanan benzerlik dönüşümü ile elde edilen sonuç ile önce veri serisine ayni dönüşümü uygulayıp sonra dönüşümlü serilerin geometrik medyanı alma sonucuyla aynıdır. Bu özellik geometrik medyanın sadece nokta çiftlerine göre tanımlanması nedeninden ve örneklem veri serisinin temsil edildiği ortogonal Kartezyen koordinat sistemine bağlı olmamasından ortaya çıkar. Buna karşılık, birçoklu değişirli veri dizisi kullanılarak elde edilen çoklu-medyan genellikle rotasyon dönüşümünden etkilenmekte ve koordinat sitemi seçimine çok güçlü olarak bağlı olmaktadır.
• Geometrik medyan için çöküntü noktası 0,5 olarak hesaplanmıştır. Bu demektir ki eğer örneklem veri serisinin yarısı keyfi bir şekilde bozulmuşlarsa, geometrik medyan bu halde bile, bozuk olmayan verilerin ortaya çıkarabileceği merkezsel konum noktasının bir güçlü kestirimi olacaktır.

Özel haller

• Üç nokta için: Eğer bir üçgenin herhangi bir açısı 120°den daha büyük ise, geometrik medyan bu açının başlangıç köşe noktasıdır. Eğer tüm açılar 10&geg;den daha az ise, geometrik medyan üçgenin içinde öyle bir noktadır ki tüm üç çift noktaya 120°lik bir açı kurulabilirse, bu nokta üç noktaya kurulmuş olan bir üçgenin Fermat noktası olarak da bilinir.
• Dört aynı-düzeysel noktalar için: Eğer bir nokta diğer üç noktadan kurulmuş olan bir üçgenin içinde ise bu nokta geometrik medyandır. Aksi halde, noktalar bir konveks dörtgen kurarlar ve geometrik medyan bu dörtgenin köşegenlerinin kesişme noktasıdır. Bu nokta dört köşe noktasının Radon noktası olarak bilinir.

Hesaplama

Kavram olarak anlaşılması oldukça kolay olan geometrik medyan bulmak için kullanabilcek bir matematik formül daha mevcut değildir. Geometrik medyana benzer olan ve her örneklem noktasının uzaklık karelerinin toplamını minimum yapan sentroid veya kütle merkezi için basit bir formül bulunmaktadır. Ama uzaklık toplamını minimize edecek geometrik medyan için bunun imkânsız olduğu, yani sadece aritmetiksel işlemler ve kinci kökler hesapları kullanılmasını öneren bir matematik formülün bulunmasının genel olarak mümkün olamayacağı, ispatlanmıştır.

Cebirsel şekilde bir formülün bulunmasına rağmen, sayısal yaklaşımlar kullanılarak yinelemeli süreçle, her bir yinelemede daha geometrik medyan için çok uygun yaklaşık değerler bulunabilir. Bu tip yordamların kullanılması temelinde bulunan gerçek uzaklıkların toplamının bir konveks fonksiyon olmasıdır çünkü her örneklem veri noktasına uzaklık konveks olduğu için, konveks fonksiyonların toplamının da konveksdir. Böylece her bir çözüm aşamasında uzaklıkların toplamını azaltan bir yordam bir yoresel optimum noktasına takılıp kalmamaktadır.

Geometrik medyan bulmak için kullanılan bir yineleme ile yaklaşık çözüm bulma işlemine Weiszfeld'in algoritması adi verilmektedir. ve bu yinelemeli tekrar ağırlıklanmış en küçük kareler yönteminin bir değişik şeklidir.

Bose ve arkadaşları (2003) bu probleme bir yaklaşık optimal çözüm değeri bulmak için daha komplike geometrik optimizasyon yöntemlerinin kullanılmasını önermektedirler.

Örtük formül

Eğer y tüm diğer verilmiş noktalar olan x_j lerden belirgin olarak farkı ise, ynin geometrik medyan olması ancak ve ancak şu ifadeyi tatmin ederse mümkündür:

$0=\sum _{j=1}^{m}{\frac {x_{j}-y}{\left\|x_{j}-y\right\|}}.$

Bu ise Weiszfeld'in algoritmasının yakın benzeri olan şu ifadeyle aynıdır:

$\left.y=\left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {x_{j}}{\|x_{j}-y\|}}\right)\right/\left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {1}{\|x_{j}-y\|}}\right)$

Eğer y verilmiş olan noktaların bazılarına eşit ise, o halde ynin geometrik medyan olması ancak ve ancak

$0=\sum _{j=1}^{m}u_{j}$

koşuluna uyan u_j vektörlerinin bulunması ile mümkün olur. Burada x_j ≠ y için

$u_{j}={\frac {x_{j}-y}{\left\|x_{j}-y\right\|}}$

ve x_j = y için

x_j = y

olur.

Ayrıca bakınız

• Merkezsel konum ölçüleri
• Sentroid, Euclid tipi uzaklıkların karelerinin toplamının minimum değeri bulunur.

Kaynakça

• Chandrasekaran, R. ve Tamir, A. (1989) "Open questions concerning Weiszfeld's algorithm for the Fermat-Weber location problem" Mathematical Programming, Series A C.44 say.293–295
• Fekete, S.P., Mitchell, J.S.B. ve Beurer, K. (2003) On the continuous Fermat-Weber problem

• Weber, Alfred (1909), Über den Standort der Industrien, Erster Teil: Reine Theorie des Standortes, Mohr: Tübingen
• Wesolowsky, G. (1993) "The Weber problem: History and perspective" Location Science C.1 say.5–23
• Weiszfeld, E. (1937). "Sur le point pour lequel la somme des distances de n points donnes est minimum". Tohoku Math. Journal 43: 355–386.