König teoremi (karmaşık analiz)

Matematiğin alt dalları olan karmaşık analiz ve sayısal analizde König teoremi, bir fonksiyonun basit kutuplarını veya basit köklerini tahmin etmeye yarayan bir sonuçtur. Özellikle, Newton yöntemi ve bu yöntemin genelleştirilmiş hâli olan Householder yöntemi gibi kök bulma algoritmalarında çok sayıda uygulaması vardır.

Teorem, Macar matematikçi Gyula Kőnig'in adını taşımaktadır.

Teoremin ifadesi

$|z|<R$ üzerinde tanımlı ve bu disk içindeki bir $\zeta$ noktasında (ve sadece bu noktada) bir tane tekilliği olan meromorf bir $f$ fonksiyon ele alalım ve

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n},\qquad c_{0}\neq 0$

yazalım. Bu serinin sadece $z=\zeta$ noktasında basit bir kutbu vardır. O zaman, $|r|<\sigma R$ koşulunu sağlayan bir $0<\sigma <1$ sayısı için

${\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}=r+o(\sigma ^{n+1})$

olur. Özellikle,

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}=r$

olur.

İspat

Fonksiyonun $\zeta$ noktasındaki rezidüsü $r$ ise, $g(z)=f(z)-{\frac {r}{z-\zeta }}=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ fonksiyonu $|z|<R$ diskinde holomorf olur. O zaman, Cauchy-Hadamard teoremi ile

$\limsup |b_{n}|^{1/n}\leq 1/R$

elde edilir. Dahası, $0<s<R$ koşulunu sağlayan her $s$ sayısı için

$|b_{n}|\leq {\frac {C}{s^{n}}}$

sağlayacak bir $C$ sabiti vardır. $|\zeta |<\sigma R$ olduğu için $|\zeta |<\sigma s$ koşulunu sağlayacak bir $s$ sayısı bulunabilir. Bu sayede,

$f(z)=g(z)+{\frac {r}{z-\zeta }}=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}-r\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{\zeta ^{n+1}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(b_{n}-{\frac {r}{\zeta ^{n+1}}}\right)z^{n}$

yazarak $c_{n}=b_{n}-r\zeta ^{-n-1}$ elde edilir. O zaman, bu eşitlik kullanılarak

$\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}-\zeta \right|=\left|{\frac {b_{n}-r\zeta ^{-n-1}}{b_{n+1}-r\zeta ^{-n-2}}}-\zeta \right|=\left|{\frac {b_{n+1}-\zeta b_{n}}{b_{n+1}-r\zeta ^{-n-2}}}\right|$

yazılır. Paya bir üst kestirim bulmak için daha önceden bulunan kestirim kullanılabilir ve

$|b_{n+1}-\zeta b_{n}|\leq {\frac {(1+\sigma R)C}{s^{n}}}$

yazabiliriz. Paydaya bir üst kestirim bulmak için ise

$|b_{n+1}-r\zeta ^{-n-2}|\geq |r||\zeta |^{-n-2}-|b_{n+1}|\geq |r||\zeta |^{-n-2}-Cs^{-n}$

yazabiliriz. O zaman, $A=|r||\zeta |^{-2}$ ve $\rho ={\frac {s}{|\zeta |}}$ alırsak

$\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}-\zeta \right|\leq {\frac {(1+\sigma R)Cs^{-n}}{|r||\zeta |^{-n-2}-Cs^{-n}}}={\frac {(1+\sigma R)C}{A\rho ^{n}-C}}=O(\rho ^{-n})$

yazabiliriz. $s$ sayısının seçiminden dolayı $\rho ^{-1}={\frac {|\zeta |}{s}}<\sigma$ olduğunu biliyoruz. Böylelikle, $O(\rho ^{-n})=o(\sigma ^{n})=o(\sigma ^{n+1})$ elde ederiz.