Kalıntı teoremi

Karmaşık analizdeki kalıntı teoremi veya bilinen bir diğer adıyla rezidü teoremi, analitik fonksiyonların kapalı eğriler üzerindeki çizgi integrallerini bulmak için kullanılan önemli bir araçtır ve ayrıca sık bir şekilde gerçel integralleri bulmak için de kullanılır. Cauchy integral teoremini ve Cauchy integral formülünü genelleştirir.

Varsayımların çizimi.

İfadesi ise şöyledir: U, karmaşık düzlem C 'nin basit bağlantılı açık kümesi, a₁,...,a_n U 'nun sonlu çokluktaki noktaları ve f, U \ {a₁,...,a_n} üzerinde tanımlı ve holomorf bir fonksiyon olsun. γ, U içinde a_k'yi sınırlayan ancak hiçbirini kesmeyen doğrultulabilir bir eğriyse ve başlangıç noktası bitiş noktasıyla aynıysa, o zaman

$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k})$

olur. γ Jordan eğrisi ise, I(γ, a_k) = 1 olur ve böylece

$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,a_{k})$

olur. Burada, Res(f, a_k) ifadesi f 'nin a_k 'deki kalıntısını ve I(γ, a_k) ifadesi γ 'nın a_k etrafındaki dolanım sayısını göstermektedir. Dolanım sayısı tam sayıdır ve sezgisel olarak γ 'nın a_k etrafında ne kadar sıklıkla döndüğünü ölçer; γ a_k etrafında saat yönünün tersine dönerse pozitiftir, eğer a_k etrafında γ hiç dönmüyorsa 0'dır.

Gerçel integralleri bulmak için, kalıntı teoremi şu şekilde kullanılır. İntegrali alınan ifade karmaşık düzleme genişletilir ve kalıntıları hesaplanır (ki genelde kolaydır). Gerçel eksenin bir kısmına, yukarı yarı düzlemde veya aşağı yarı düzlemde yarım çember eklenerek, eksenin alınan parçası kapalı bir eğri haline getirilir. Genelde, yarım çemberin yarıçapı büyüdükçe integralin yarım çember üzerindeki kısmı sıfıra doğru gider. Bu da sadece gerçel eksen üzerindeki integrali bırakır ki aslında ilgilendiğimiz bu kısımdır.

Örnek

$\int _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx$

Kontür.

integrali olasılık kuramında Cauchy dağılımının karakteristik fonksiyonunu hesaplarken ortaya çıkar ve basit kalkülüs teknikleriyle kolayca hesaplanamaz. Gerçel eksen üzerinde -a 'dan a 'ya ve sonra da 0 merkezli bir yarıçember üzerinde a 'dan -a 'ya saat yönünün tersi yönde giden bir kontür boyunca alınan kontür integrallerinin bir limiti olarak ifade ederek bu integrali hesaplayacağız. a 'yı 1'den büyük alalım böylece i sanal sayısı eğrinin içinde olsun. Kontür integrali şudur:

$\int _{C}{f(z)}\,dz=\int _{C}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz.$

e^itz bir tam fonksiyon olduğu için (karmaşık düzlemin hiçbir noktasında tekilliği yoktur), bu fonksiyonun sadece paydanın yani z² + 1 'in sıfır olduğu yerlerde tekillikleri vardır. z² + 1 = (z + i)(z - i) olduğu için bu noktalar sadece z = i veya z = -i olabilir. Bu noktalardan sadece bir tanesi ise bu kontür tarafından sınırlıdır.

$f(z)={\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,\!$	${}={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{z-i}}-{\frac {1}{z+i}}\right)\,\!$
	${}={\frac {e^{-t}}{2i}}{\frac {1}{z-i}}+{\frac {e^{-t}}{2i}}\left({\frac {e^{it(z-i)}-1}{z-i}}\right)-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i)}},\,\!$

olduğu için, f 'nin z = i 'deki kalıntısı

$\operatorname {Res} _{z=i}f(z)={e^{-t} \over 2i}$

olur. O zaman, kalıntı teoremine göre,

$\int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}$

olur. C kontürü bir "doğru" parçaya ve eğri yaya ayrılabilir böylece

$\int _{\mbox{dogru}}+\int _{\mbox{yay}}=\pi e^{-t}\,$

ve bu yüzden

$\int _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int _{\mbox{yay}}$

olur. Eğer t > 0 ise

$a\rightarrow \infty \ {\mbox{iken}}\ \int _{\mbox{yay}}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz\rightarrow 0$

olduğu gösterilebilir. Bu yüzden, t > 0 ise

$\int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-t}$

olur. i etrafından dolanmak yerine -i etrafından dolanan bir yay için yapılan benzer bir tartışma t < 0 ise

$\int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{t}$

olduğunu gösterir. Sonuç olarak,

$\int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}$

olur.

(Eğer t = 0 ise, o zaman integralin sonucu basit hesap yöntemleriyle bulunur ve değeri de π 'dir.)

Ayrıca bakınız

• Kontür integrali metotları
• Morera teoremi
• Nachbin teoremi

Kaynakça

• Ahlfors, Lars (1979), Complex Analysis, McGraw Hill, ISBN 0-07-085008-9 
• Mitronivić, Dragoslav; Kečkić, Jovan (1984), The Cauchy method of residues: Theory and applications, D. Reidel Publishing Company, ISBN 90-277-1623-4 
• Lindelöf, Ernst (1905), Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions, Editions Jacques Gabay (1989 tarihinde yayınlandı), ISBN 2-87647-060-8 

Dış bağlantılar

• Kalıntı teoremi 12 Temmuz 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. MathWorld'de
• Kalıntı Teoremi Modülü, John H. Mathews tarafından