Kirişler çokgenleri için Japon teoremi

Dışbükey bir kirişler çokgeni, herhangi bir şekilde üçgenlere ayrıldığında ve bu şekilde oluşturulan her üçgene bir iç teğet çember çizildiğinde Japon teoremi, bu üçgenlerin iç teğet çemberlerinin yarıçapları toplamının, seçilen üçgenlemeden bağımsız bir şekilde sabit olduğunu belirtir. Bu teorem, Carnot teoremi kullanılarak kanıtlanabilir. Japon matematikçilerin eski bir geleneğine göre, bu teorem 1800'de tanrıları ve yazarı onurlandırmak için bir Japon tapınağına asılan tabletlere yazılmış bir Sangaku problemiydi.^[1]

Açıklama

yeşil çemberlerin yarıçaplarının toplamı = kırmızı çemberlerin yarıçaplarının toplamı

Geometride, Japon teoremi, bir kirişler çokgeni üçgenlere nasıl bölünürse bölünsün (üçgenleştirme), üçgenlerin iç teğet çemberlerinin yarıçapları toplamının sabit olduğunu belirtir.^[2] ^{:p. 193}

Tersine, eğer iç teğet üçgenlerin yarıçapları toplamı üçgenlere ayırmadan bağımsız ise, o zaman çokgen kirişler çokgenidir. Japon teoremi, Carnot teoremini takip eder; bu bir Sangaku problemidir.

İspat

Bu teorem, ilk önce özel bir durumu ispatlayarak kanıtlanabilir: Bir kirişler dörtgeni nasıl üçgenleştirilse de (üçgenlere ayrılırsa ayrılsın), üçgenlerin iç teğet çemberlerinin toplamı sabittir.

Dörtgen durumu kanıtladıktan sonra, kirişler çokgeni teoreminin genel durumu doğrudan bir sonuçtur. Dörtgen kuralı, bir kirişler çokgeninin genel bir bölümünün dörtgen bileşenlerine uygulanabilir ve kuralın tekrarlanarak uygulanması, bir köşegeni "çevirme", her "çevirme" iç teğet çember yarıçapları toplamını sağlayacak şekilde herhangi bir bölümden olası tüm bölümleri oluşturacaktır.

Dörtgen durum, kirişler dörtgenleri için Japon teoreminin basit bir genişlemesinden kaynaklanır; bu, dörtgenin iki olası üçgenlemesine karşılık gelen iki çift iç teğet çember merkezi tarafından, bir dikdörtgenin oluşturulduğunu gösterir. Bu teoremin adımları, temel yapıcı Öklid geometrisinin ötesinde hiçbir şey gerektirmez.^[3]

Köşegenlere paralel kenarları olan ve dikdörtgenin köşelerine teğet olan bir paralelkenarın ilave çizimi ile, döngüsel çokgen teoreminin dörtgen durumu birkaç adımda kanıtlanabilir. İki çiftin yarıçaplarının toplamlarının eşitliği, inşa edilen paralelkenarın bir eşkenar dörtgen olması koşuluna eşittir ve bu, çizimde kolayca gösterilebilir.

Dörtgen durumunun bir başka kanıtı Wilfred Reyes'e (2002) dayanmaktadır.^[4] Kanıt olarak, hem kirişler dörtgenleri için Japon teoremi hem de kirişler çokgeni teoreminin dörtgen durumu, Thébault'un III. problemi'nin bir sonucu olarak kanıtlanmıştır.

Ayrıca bakınız

Yukarıdaki teoremin bir kanıtında kullanılan Carnot teoremi
Eş iç teğet çemberler teoremi
Çemberlere teğet doğrular

Notlar

^ Johnson, R. A (1929), Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle, Boston, MA: Houghton Mifflin, s. 193, 21 Mart 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi23 Aralık 2020
^ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
^ Japanese Temple Geometry. Manitoba, Canada: Charles Babbage Research Center. 1989. ss. 125-128. ISBN 0919611214.
^ Reyes (2002). "An Application of Thébault's Theorem" (PDF). Forum Geometricorum. 2: 183-185. 24 Ekim 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF)2 Eylül 2015.

Kaynakça

Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2011), Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images, MAA, ss. 121-125, ISBN 9780883853528
Reyes, Wilfred (2002), "Forum Geometricorum", An Application of Thebault’s Theorem (PDF), 2, ss. 183-185, 24 Ekim 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF)23 Aralık 2020

Dış bağlantılar

Mangho Ahuja, Wataru Uegaki & Kayo Matsushita. "In Search of the Japanese Theorem". 8 Şubat 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi.
Eric W. Weisstein, Japanese theorem (MathWorld)
"Japanese Theorem". 27 Haziran 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi. C.a.R. websitesinde etkileşimli gösterim
Wataru Uegaki. "Japanese Theorem の起源と歴史" [On the Origin and History of the Japanese Theorem - Japon Teoreminin Kökeni ve Tarihi Üzerine]. 15 Ocak 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi.
"The Japanese Theorem for cyclic polygons". GeoGebra. 27 Mart 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Aralık 2020.
"Dynamic Geometry 1480: Japanese Theorem for Cyclic Polygon, Sangaku, Triangulation, Non-intersecting Diagonals, Sum of Inradii, Invariant, Step-by-step Illustration". 18 Mayıs 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. gogeometry.com'da etkileşimli gösterim

İlave okumalar

Ahuja, Mangho; Uegaki, Wataru; Matsushita, Kayo (2004), "Missouri Journal of Mathematical Sciences", Japanese Theorem: A Little Known Theorem with Many Proofs – Part I, 16 (2), ss. 72-81 veya "Alternatif bağlantı" (PDF). 4 Şubat 2017 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi.
Unger, J. Marshall (13 Ocak 2016), A Collection of 30 Sangaku Problems (PDF), ss. 14-15 ^{[ölü/kırık bağlantı]} veya "10 Ağustos 2009 versiyonu" (PDF). 17 Aralık 2016 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi.

[1] Johnson, R. A (1929), Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle, Boston, MA: Houghton Mifflin, s. 193, 21 Mart 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi23 Aralık 2020

[Johnson-2] Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).

[3] Japanese Temple Geometry. Manitoba, Canada: Charles Babbage Research Center. 1989. ss. 125-128. ISBN 0919611214.

[4] Reyes (2002). "An Application of Thébault's Theorem" (PDF). Forum Geometricorum. 2: 183-185. 24 Ekim 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF)2 Eylül 2015.

[1]

[2]

[3]

[4]