Log-normal dağılım - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 Karakterizasyon
    • 1.1 Olasılık yoğunluk fonksiyonu
    • 1.2 Yığmalı dağılım fonksiyonu
    • 1.3 Momentler
    • 1.4 Moment üreten fonksiyon
  • 2 Özellikler
    • 2.1 Ortalama ve standart sapma
    • 2.2 Mod ve medyan
    • 2.3 Geometrik ortalama ve geometrik standart sapma
    • 2.4 Momentler
    • 2.5 Kısmî bekleyişler
  • 3 Parametrelerin maksimum olabilirlilik kestirimi
  • 4 İlişkili dağılımlar
  • 5 Ayrıca bakınız
  • 6 Kaynakça

Log-normal dağılım

  • Български
  • Català
  • Čeština
  • Deutsch
  • English
  • Español
  • فارسی
  • Suomi
  • Français
  • Galego
  • עברית
  • Magyar
  • Bahasa Indonesia
  • İtaliano
  • 日本語
  • 한국어
  • Nederlands
  • Polski
  • Português
  • Русский
  • Slovenščina
  • Shqip
  • Sunda
  • Svenska
  • Українська
  • 中文
  • 粵語
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Wikimedia Commons
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi
Log-normal
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Lognormal için olasılık yoğunluk fonksiyonu gösterimi
μ=0
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Lognormal için yığmalı yoğunluk fonksiyonu için gösterim
μ=0
Parametreler σ > 0 {\displaystyle \sigma >0} {\displaystyle \sigma >0}
− ∞ < μ < ∞ {\displaystyle -\infty <\mu <\infty } {\displaystyle -\infty <\mu <\infty }
Destek [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle [0,+\infty )\!} {\displaystyle [0,+\infty )\!}
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF) 1 x σ 2 π exp ⁡ [ − ( ln ⁡ ( x ) − μ ) 2 2 σ 2 ] {\displaystyle {\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\left(\ln(x)-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]} {\displaystyle {\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\left(\ln(x)-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF) 1 2 + 1 2 e r f [ ln ⁡ ( x ) − μ σ 2 ] {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {erf} \left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]} {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {erf} \left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]}
Ortalama e μ + σ 2 / 2 {\displaystyle e^{\mu +\sigma ^{2}/2}} {\displaystyle e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}
Medyan e μ {\displaystyle e^{\mu }\,} {\displaystyle e^{\mu }\,}
Mod e μ − σ 2 {\displaystyle e^{\mu -\sigma ^{2}}} {\displaystyle e^{\mu -\sigma ^{2}}}
Varyans ( e σ 2 − 1 ) e 2 μ + σ 2 {\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}} {\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}
Çarpıklık ( e σ 2 + 2 ) e σ 2 − 1 {\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}\!\!-1}}} {\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}\!\!-1}}}
Fazladan basıklık e 4 σ 2 + 2 e 3 σ 2 + 3 e 2 σ 2 − 6 {\displaystyle {e^{4\sigma ^{2}}+2e^{3\sigma ^{2}}+3e^{2\sigma ^{2}}-6}} {\displaystyle {e^{4\sigma ^{2}}+2e^{3\sigma ^{2}}+3e^{2\sigma ^{2}}-6}}
Entropi 1 2 + 1 2 ln ⁡ ( 2 π σ 2 ) + μ {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu } {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu }
Moment üreten fonksiyon (mf) (Ham momentler için metine bakin)
Karakteristik fonksiyon

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında log-normal dağılım logaritması normal dağılım gösteren herhangi bir rassal değişken için tek-kuyruklu bir olasılık dağılımdır. Eğer Y normal dağılım gösteren bir rassal değişken ise, bu halde X= exp(Y) için olasılık dağılımı bir log-normal dağılımdır; aynı şekilde eğer X log-normal dağılım gösterirse o halde log(X) normal dağılım gösterir. Logaritma fonksiyonu için bazın ne olduğu önemli değildir: Herhangi iki pozitif sayı olan a, b ≠ 1 için eğer loga(X) normal dağılım gösterirse, logb(X) fonksiyonu da normaldir.


Karakterizasyon

[değiştir | kaynağı değiştir]

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

[değiştir | kaynağı değiştir]

Log-normal dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu x > 0 {\displaystyle x>0} {\displaystyle x>0} için şudur:

f ( x ; μ , σ ) = 1 x σ 2 π e − ( ln ⁡ ( x ) − μ ) 2 2 σ 2 {\displaystyle f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(\ln(x)-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}} {\displaystyle f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(\ln(x)-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}

Burada μ ve σ değişkenin logaritma değerleri için ortalama ve standart sapmasidir. Bu halde parametreler kullanılan logaritma türünde (ya e bazlı, 2 bazlı veya 10 bazlı) birimlerdedir. Ancak radyo komünikasyon incelemelerinde bu parametreler tipik olarak desibel birimleri iledir.

Yığmalı dağılım fonksiyonu

[değiştir | kaynağı değiştir]

Log-normal dağılım için yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:

1 2 + 1 2 e r f [ ln ⁡ ( x ) − μ σ 2 ] {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {erf} \left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]} {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {erf} \left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]}

Momentler

[değiştir | kaynağı değiştir]

Bütün momentler şu ifadelerle verilmiştir:

μ k = e k μ + k 2 σ 2 / 2 . {\displaystyle \mu _{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}.} {\displaystyle \mu _{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}.}

Moment üreten fonksiyon

[değiştir | kaynağı değiştir]

Log-normal dağılım için moment ureten fonksiyon bulunmamaktadır.

Özellikler

[değiştir | kaynağı değiştir]

Ortalama ve standart sapma

[değiştir | kaynağı değiştir]

Beklenen değer (ortalama) şudur:

E ( X ) = e μ + σ 2 / 2 {\displaystyle \mathrm {E} (X)=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}\,\!} {\displaystyle \mathrm {E} (X)=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}\,\!}

Varyans şöyle ifade edilir:

V a r ( X ) = ( e σ 2 − 1 ) e 2 μ + σ 2 {\displaystyle \mathrm {Var} (X)=(e^{\sigma ^{2}}-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}\,\!} {\displaystyle \mathrm {Var} (X)=(e^{\sigma ^{2}}-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}\,\!}

ve standart sapma şu olur:

S t d D e v ( X ) = V a r ( X ) = ( e σ 2 − 1 ) e μ + σ 2 / 2 {\displaystyle \mathrm {StdDev} (X)={\sqrt {\mathrm {Var} (X)}}={\sqrt {(e^{\sigma ^{2}}-1)}}e^{\mu +\sigma ^{2}/2}\,\!} {\displaystyle \mathrm {StdDev} (X)={\sqrt {\mathrm {Var} (X)}}={\sqrt {(e^{\sigma ^{2}}-1)}}e^{\mu +\sigma ^{2}/2}\,\!}

Beklenen değer ve varyans verilmiş olduğu halde μ ve σ2 değerlerini elde etmek için kullanılan bağlantılar şöyle ifade edilir:

μ = ln ⁡ ( E ( X ) ) − 1 2 ln ⁡ ( 1 + V a r ( X ) ( E ( X ) ) 2 ) {\displaystyle \mu =\ln(\mathrm {E} (X))-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+{\frac {\mathrm {Var} (X)}{(\mathrm {E} (X))^{2}}}\right)\,\!} {\displaystyle \mu =\ln(\mathrm {E} (X))-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+{\frac {\mathrm {Var} (X)}{(\mathrm {E} (X))^{2}}}\right)\,\!}
σ 2 = ln ⁡ ( V a r ( X ) ( E ( X ) ) 2 + 1 ) {\displaystyle \sigma ^{2}=\ln \left({\frac {\mathrm {Var} (X)}{(\mathrm {E} (X))^{2}}}+1\right)\,\!} {\displaystyle \sigma ^{2}=\ln \left({\frac {\mathrm {Var} (X)}{(\mathrm {E} (X))^{2}}}+1\right)\,\!}

Mod ve medyan

[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu dağılım için mod şudur:

M o d e ( X ) = e μ − σ 2 {\displaystyle \mathrm {Mode} (X)=e^{\mu -\sigma ^{2}}\,\!} {\displaystyle \mathrm {Mode} (X)=e^{\mu -\sigma ^{2}}\,\!}

Medyan şudur:

X ~ = e μ {\displaystyle {\tilde {X}}=e^{\mu }\,\!} {\displaystyle {\tilde {X}}=e^{\mu }\,\!}

Geometrik ortalama ve geometrik standart sapma

[değiştir | kaynağı değiştir]

Log-normal dağılım için geometrik ortalama e μ {\displaystyle e^{\mu }\,\!} {\displaystyle e^{\mu }\,\!} ve geometrik standart sapma e σ {\displaystyle e^{\sigma }\,\!} {\displaystyle e^{\sigma }\,\!} olur.

Eğer bir örneklem veri serisi log-normal dağılım gösteren bir anakütleden gelmişse, geometrik ortalama ve geometrik standart sapma güvenlilik aralık kestirimi elde etmek için kullanılabilir. Bu noramal dağılım gösteren anakütleden gelen örneklem verilerinden aritmetik ortalama ve standart sapma kullanılarak güvenlilik aralığı bulmaya benzemektedir.

Güvenlik aralığı sınırları Log uzayi Geometrik
3σ alt sınır μ − 3 σ {\displaystyle \mu -3\sigma \,\!} {\displaystyle \mu -3\sigma \,\!} μ g e o / σ g e o 3 {\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}\,\!} {\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}\,\!}
2σ alt sınır μ − 2 σ {\displaystyle \mu -2\sigma \,\!} {\displaystyle \mu -2\sigma \,\!} μ g e o / σ g e o 2 {\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}\,\!} {\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}\,\!}
1σ alt sınır μ − σ {\displaystyle \mu -\sigma \,\!} {\displaystyle \mu -\sigma \,\!} μ g e o / σ g e o {\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }\,\!} {\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }\,\!}
1σ üst sınır μ + σ {\displaystyle \mu +\sigma \,\!} {\displaystyle \mu +\sigma \,\!} μ g e o σ g e o {\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }\,\!} {\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }\,\!}
2σ üst sınır μ + 2 σ {\displaystyle \mu +2\sigma \,\!} {\displaystyle \mu +2\sigma \,\!} μ g e o σ g e o 2 {\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}\,\!} {\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}\,\!}
3σ üst sınır μ + 3 σ {\displaystyle \mu +3\sigma \,\!} {\displaystyle \mu +3\sigma \,\!} μ g e o σ g e o 3 {\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}\,\!} {\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}\,\!}

Burada geometrik ortalama μ g e o = exp ⁡ ( μ ) {\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }=\exp(\mu )\,\!} {\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }=\exp(\mu )\,\!} ve geometrik standart sapma σ g e o = exp ⁡ ( σ ) {\displaystyle \sigma _{\mathrm {geo} }=\exp(\sigma )\,\!} {\displaystyle \sigma _{\mathrm {geo} }=\exp(\sigma )\,\!} olur.

Momentler

[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu dağılım için ilk birkaç ham momentler şunlardır:

μ 1 = e μ + σ 2 / 2 {\displaystyle \mu _{1}=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}\,\!} {\displaystyle \mu _{1}=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}\,\!}
μ 2 = e 2 μ + 4 σ 2 / 2 {\displaystyle \mu _{2}=e^{2\mu +4\sigma ^{2}/2}\,\!} {\displaystyle \mu _{2}=e^{2\mu +4\sigma ^{2}/2}\,\!}
μ 3 = e 3 μ + 9 σ 2 / 2 {\displaystyle \mu _{3}=e^{3\mu +9\sigma ^{2}/2}\,\!} {\displaystyle \mu _{3}=e^{3\mu +9\sigma ^{2}/2}\,\!}
μ 4 = e 4 μ + 16 σ 2 / 2 {\displaystyle \mu _{4}=e^{4\mu +16\sigma ^{2}/2}\,\!} {\displaystyle \mu _{4}=e^{4\mu +16\sigma ^{2}/2}\,\!}
μ k = e k μ + k 2 σ 2 / 2 {\displaystyle \mu _{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}\,\!} {\displaystyle \mu _{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}\,\!}

Kısmî bekleyişler

[değiştir | kaynağı değiştir]

Parametrelerin maksimum olabilirlilik kestirimi

[değiştir | kaynağı değiştir]

İlişkili dağılımlar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Eğer X ∼ N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})} {\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})} bir normal dağılım gösterirse, o halde exp ⁡ ( X ) ∼ L o g - N ⁡ ( μ , σ 2 ) {\displaystyle \exp(X)\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma ^{2})} {\displaystyle \exp(X)\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma ^{2})}.
  • Eğer X m ∼ L o g - N ⁡ ( μ m , σ m 2 ) ,   m = 1 , . . . , n   {\displaystyle X_{m}\sim \operatorname {Log-N} (\mu _{m},\sigma _{m}^{2}),\ m={1,...,n}\ } {\displaystyle X_{m}\sim \operatorname {Log-N} (\mu _{m},\sigma _{m}^{2}),\ m={1,...,n}\ } bağımsız olarak parametreleri aynı μ ve değişik σ olan log-normal dağılım gösteren değişkenlerse ve Y = ∏ m = 1 n X m {\displaystyle Y=\prod _{m=1}^{n}X_{m}} {\displaystyle Y=\prod _{m=1}^{n}X_{m}} ise, o halde Y de log-normal dağılım gösteren değişkendir; yani Y ∼ L o g - N ⁡ ( n μ , ∑ m = 1 n σ m 2 ) {\displaystyle Y\sim \operatorname {Log-N} \left(n\mu ,\sum _{m=1}^{n}\sigma _{m}^{2}\right)} {\displaystyle Y\sim \operatorname {Log-N} \left(n\mu ,\sum _{m=1}^{n}\sigma _{m}^{2}\right)} olur.


Ayrıca bakınız

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Normal dağılım
  • Geometrik ortalama

Kaynakça

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957), The Lognormal Distribution,
  • Brooks, R., Corson, J. ve Wales, J.D, (1994), "The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion" 22 Haziran 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Advances in Futures and Options Research, C7
  • Hull, J. (2005), "Properties of Lognormal Distribution" Options, Futures, and Other Derivatives 6ed'
  • Lee, C.F. ve Lee, J. C. (to appear) "Normal and Lognormal Distribution" Alternative Option Pricing Models: Theory, Methods, and Applications 27 Eylül 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Kluwer Academic Publishers
  • Limpert, M., Stahel, W. ve Abbt, M., (2001) "Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues" 19 Nisan 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., BioScience, C.51 No.5 say. 341-352
  • Swamee, P.K. (2002), "Near Lognormal Distribution"[ölü/kırık bağlantı], Journal of Hydrologic Engineering, C7 No.6 say.441-444
  • Weisstein, E.W. et al. (2006) "Log Normal Distribution" 12 Temmuz 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. 26 Ekim 2006.
  • g
  • t
  • d
Olasılık dağılımları
Ayrık tek değişkenli ve sonlu destekli

Ayrık tekdüze · Benford · Bernoulli · Binom · Kategorik · Hipergeometrik · Rademacher · Zipf · Zipf-Mandelbrot

Ayrık tek değişkenli ve sonsuzluk
destekli

Boltzmann · Conway-Maxwell-Poisson · Bileşik Poisson · Ayrık faz tipi · Genişletilmiş negatif binom · Gauss-Kuzmin · Geometrik · Logaritmalı · Negatif binom · Parabolik fraktal · Poisson · Skellam · Yule-Simon · Zeta

Sürekli tek değişkenli ve
[0,1] gibi bir sınırlı aralıkta destekli

Beta · Irwin-Hall · Kumaraswamy · Kabartılmış kosinus · Üçgensel · U-kuadratik · Sürekli tekdüze · Wigner yarımdaire

Sürekli tek değişkenli ve
genellikle (0,∞) yarı-sonsuz aralığında
destekli

Beta prime · Bose–Einstein · Burr · Ki-kare · Coxian · Erlang · Üstel · F-dağılımı · Fermi-Dirac · Katlanmış normal · Fréchet · Gamma · Genelleştirilmiş uçsal değer · Genelleştirilmiş ters Gauss-tipi · Yarı-logistik · Yarı-normal · Hotelling'in T-kare · Hiper-üstel · Hipo-üstel · Ters ki-kare (Ölçeklenmiş ters ki-kare) · Ters Gauss-tipi · Ters gamma · Lévy · Log-normal · Log-logistik · Maxwell-Boltzmann · Maxwell hız · Nakagami · Merkezsel olmayan ki-kare · Pareto · Faz-tipi · Rayleigh · Relativistik Breit–Wigner · Rice · Rosin–Rammler · Kaydırılmış Gompertz · Kesilmiş normal · 2.tip Gumbel · Weibull · Wilks'in lambda

Sürekli tek değişkenli ve
(-∞,∞) arasındaki tüm reel doğru
üzerinde destekli

Cauchy · Uçsal değer · Üstel güç · Fisher'in z  · Genelleştirilmiş hiperbolik  · Gumbel · Hiperbolik sekant · Landau · Laplace · Lévy çarpık alfa-durağan · Logistik · Normal (Gauss tipi) · Normal ters Gauss-tipi · Çarpık normal · Student'in t · 1.tip Gumbel · Varyans-Gamma · Voigt

Çok değişkenli (birleşik)

Ayrık: Ewens · Beta-binom · Multinom · Çokdeğişirli Polya
Sürekli: Dirichlet · Genelleştirilmiş Dirichlet · Çokdeğişirli normal · Çokdeğişirli Student  · normal-ölçeklenmiş ters gamma  · Normal-gamma
Matris-değerli: Ters-Wishart · Matris normal · Wishart

Yönsel, Bozulmuş ve singuler

Yönsel: Kent  · von Mises · von Mises–Fisher
Bozulmuş: Ayrık bozulmuş · Dirac delta fonksiyonu
Singuler: Cantor ·

Aileler

Üstel · Doğasal üstel · Konum-ölçekli · Maksimum entropi · Pearson · Tweedie

Otorite kontrolü Bunu Vikiveri'de düzenleyin
  • GND: 4221613-8
  • LCCN: sh85078134
  • NLI: 987007536256605171
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Log-normal_dağılım&oldid=35384196" sayfasından alınmıştır
Kategoriler:
  • İstatistik
  • Sürekli olasılık dağılımları
Gizli kategoriler:
  • Webarşiv şablonu wayback bağlantıları
  • Ölü dış bağlantıları olan maddeler
  • GND tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
  • LCCN tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
  • NLI tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
  • Sayfa en son 15.41, 22 Mayıs 2025 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
Log-normal dağılım
Konu ekle